\blue\ Beweis:
Benutzt wird die Definition \ee:=sum(1/k!,k=0,\inf).

Sei nun \ee=p/q mit p,q\in\IN. Wähle weiter n>q und n>1. Setze weiter \alpha=n!*(\ee-sum(1/k!,k=0,\inf). Dann gilt offenbar \alpha\in\IZ, weil \ee=p/q, n>q und k nur bis n läuft.

Außerdem ist \alpha>0, da \ee-sum(1/k!,k=0,\inf)>0 ist.

Betrachte nun den Ausdruck n!/k! für k>n. Dies ist gleich produkt(i,i=1,n)/produkt(j,j=1,k)=1/produkt(j,j=n+1,k)<=produkt(1/(n+1),j=n+1,k)=(1/(n+1))^(k-n)

Daher gilt:
0<\alpha=sum(n!/k!,k=n+1,\inf)<=sum((1/(n+1))^m,m=1,\inf)=1/(1-1/(n+1))-1=(n+1)/n-1=1/n


Wegen n>1 ist 1/n<1, d.h. 0<\alpha<1. Es gibt aber keine solche ganze Zahl. \blitz
Also ist die Annahme, \ee wäre rational, ist demnach falsch.
\blue\ q.e.d.