MP-Notizbuch von Gockel (Matroids Matheplanet)

Die Mathe-Redaktion - 26.05.2013 08:05

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2013-05-26 07:47 U ?
Teilbarkeit durch Primzahlen

2013-05-26 07:45 U <
Ableitung CES production function

2013-05-26 07:14 U <
(partielle) Ableitung f: IR² -> IR²

2013-05-26 07:09 U <
Hornerschema

2013-05-26 07:01 A <
Transformation:Viereck -> Kreis

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Öffentliches Notizbuch von Gockel

⁵⁴ ⁹ ¹⁴ ⁹ ²¹ ³³ [RegView] [Hilfe]

Einträge aus allen Registern, die initial gezeigt werden sollen:

Gruppentheorie

Inhalt

<ul style='list-style-image:url(uploads/6/4177_bullet.gif);font-size:12pt'> <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'><a href='#inhalt1'>Übungsaufgaben und Grundlagen der Gruppentheorie <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'><a href='#inhalt2'>Strukturaussagen <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'><a href='#inhalt3'>Klassifizierungen <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'><a href='#inhalt4'>Interessante Eigenschaften aller Art <li style='margin-top:5px;padding-left:3px'><a href='#inhalt5'>High-End Gruppentheorie: Die schweren Geschütze

Übungsaufgaben und Grundlagen der Gruppentheorie

: semidirektes Produkt :

Semidirekte Produkte

Schwierigkeit:

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Beweis, dass das semidirekte Produkt eine Gruppe definiert.

: Operationen :: Permutationsgruppen :

MP-Forum: Bahnenformel verwenden

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ein gruppentheoretischer Beweis dafür, dass ein n-Menge genau (n über k) Teilmengen mit k Elementen hat

: Normalteiler :

MP-Forum: Gruppe mit Normalteilern

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Hat die Gruppe G drei Normalteiler mit paarweise trivialem Durchschnitt, von denen je zwei die Gruppe erzeugen, so ist G abelsch und alle drei Normalteiler isomorph.

: exakte Sequenzen :: Normalteiler :

MP-Forum: S_3 als Normalteiler und Faktorgruppe

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'> Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ist N ein NT von G, so dass S₃~=N~=G/N, dann ist G~=S₃ x S₃

: semidirektes Produkt :: Isomorphien :

MP-Forum: 2 kleine Beweise zum Isomorphismus

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Die Isomorphien D_2n~=D_n x Z₂ (n ungerade) und D₃~=S₃

: Einfachheit :: Auflösbarkeit :: Sylowgruppen :: Operationen :

MP-Forum: keine einfache Gruppe der Ordnung 300

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ein Trick um Normalteiler zu konstruieren, indem man eine Gruppe auf der Menge ihrer p-Sylowgruppen operieren lässt

: Permutationsgruppen :: Operationen :

MP-Forum: Transitive Permutationsgruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Das Kapitel aus dem Lüneburg inkl. diverser Sätze und Beweise

: Normalteiler :

MP-Forum: (fast) disjunkte Normalteiler

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ein bisschen was zu eins-disjunkten Normalteilern

: Erzeuger und Relationen :

MP-Forum: G wird erzeugt von {x,y}

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ein semidirektes Produkt aus IZ₈ und IZ₄ wird durch Erzeuger und Relationen beschrieben: < x,y | x⁸=y⁴=yxy^-1x=1 >

Strukturaussagen

: Normalteiler :: Operationen :

MP-Forum: Nicht einfache Gruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Verallgemeinerung der Aussage "|G:U|=2 => U normal" auf den kleinsten Primteiler von |G|.

: semidirektes Produkt :: Zentrum :

Struktur semidirekter Produkte

: Einfachheit :: Sylowgruppen :: Untergruppen :

Gruppen mit |G|=2m, m ungerade, sind nicht-einfach.

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Eine solche Gruppe enthält eine charakteristische Untergruppe der Ordnung m

MP-Forum: Normalteiler der S(n) für n>4 ?

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:S_n hat für n>4 genau 3 Normalteiler

: Normalteiler :: Untergruppen :

MP-Forum: Wie erkenne ich bestimmte Untergruppen?

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Interessantes Statement: Ist U<=G mit |G:U|<5 und existiert keine UG mit kleinerem Index, so ist U normal.

: Auflösbarkeit :: Normalteiler :: Einfachheit :

MP-Forum: Auflösbarkeit der Ordnung p^n q

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Der Beweis zu |G|=pⁿq => G auflösbar

: Auflösbarkeit :: Sylowgruppen :

MP-Forum: Gruppe der Ordnung 36

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:In jeder Gruppe der Ordnung 36 ist entweder die 2- oder die 3-Sylowgruppe normal.

: Normalteiler :: Permutationsgruppen :: Automorphismengruppe :

MP-Forum: Normalteiler von S4

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Warum S₄ nur die nichttrivialen Normalteiler A₄ und V₄ hat sowie weitere interessante Fakten über Permuationsgruppen. Es wird z.B. Aut(V₄)~=S₃ bewiesen.

: Einfachheit :: externe Links :: Normalteiler :: Allgemeine Lineare Gruppe :

Die einfache nicht-abelsche Gruppe mit 168 Elementen (externes PDF)

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Hier finden sich die Konstruktion einer einfachen Gruppe mit 168 Elementen sowie der Beweis, dass es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe gibt, die durch GL₃(IF₂)~=PSL(2,7) gegeben ist.

: Auflösbarkeit :: Normalteiler :: Nilpotente Gruppen :

MP-Forum: Normalteiler von Gruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:In jeder endlichen p-Gruppe (und sogar jeder endlichen nilpotenten Gruppe) gibt es zu jedem Teiler der Gruppenordnung einen Normalteiler mit dieser Ordnung.

: Automorphismengruppe :

Fast alle Gruppen besitzen nichttriviale Automorphismen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Aut(G)=1 <=> |G|=1 oder 2

: Auflösbarkeit :: Einfachheit :

MP-Forum: Gruppen wehren sich gegens Auflösen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Herleitung eines notwendigen Kriteriums für Auflösbarkeit endlicher Gruppen: Damit eine endliche Gruppe G nicht-auflösbar ist, muss eine endliche, einfache Gruppe E existieren, so dass |E| ein Teiler von |G| ist.

: Operationen :: Untergruppen :

Satz von Cauchy

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ist p ein Teiler von |G|, so besitzt G mind. ein Element der Ordnung p.

: Abelsche Gruppen :: Zahlentheorie :

MP-Forum: Bijektion RSA

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Die Exponential-Abbildung x->x^e ist genau dann bijektiv auf Z/nZ, wenn n quadratfrei und ggT(e,phi(n))=1 ist.

: exakte Sequenzen :: Normalteiler :: semidirektes Produkt :

MP-Forum: Isomorphien des Semidirekten Produkts

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Wie kann man semidirekte Produkte bis auf Isomorphie charakterisieren? Unter welchen Bedingungen gilt die Isomorphie?

: Homomorphismen :: Abelsche Gruppen :

MP-Forum: Warum torsionsfreie Gruppen mit Potenz-Homomorphismen abelsch sind

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Wenn x->xⁿ Ein Homomorphismus und G torsionsfrei ist, ist G abelsch. Eine Verallgemeinerung des Satzes (xy)²=x²y² <=> G abelsch

: Untergruppen :

MP-Forum: Potenz-Untergruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Endliche Produkte von n-ten Potenzen bilden eine Untergruppe.

: Untergruppen :

Untergruppen eines direkten Produkts

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Lässt sich jede UG von GxH als dir.Produkt von Untergruppen von G und von H darstellen? Im Allgemeinen nicht, wie Buri hier demonstriert. Es gilt aber, wenn G und H endlich mit ggT(|G|,|H|)=1 ist.

Klassifizierungen

: Topologische Gruppen :: Topologie :

MP-Forum: lokal proendliche Gruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Eine topologische Gruppe ist lokal-kompakt und total unzusammenhängend gdw. jede Umgebung der 1 eine offen-kompakte Untergruppe enthält.

: Allgemeine Lineare Gruppe :: Sylowgruppen :: Spezielle Lineare Gruppe :

p-Sylowgruppen in GL(n,q)

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:p-Sylowgruppen von GL(n,q) und SL(n,q), ihre Normalisatoren und ihre Anzahl.

: Abelsche Gruppen :: Einbettung :: Einheitswurzeln :

Prime Restklassengruppen und ihre Untergruppen enthalten alle Isomorphietypen endlicher, abelscher Gruppen.

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Für jede endliche, abelsche Gruppe existiert ein n, so dass die Gruppe zu einer Untergruppe und zu einer Faktorgruppe von IZ_n^x isomorph ist

: Auflösbarkeit :: Nilpotente Gruppen :: Sylowgruppen :: semidirektes Produkt :

Gruppen mit zyklischen Sylowgruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Alle endlichen Gruppen, deren sämtliche Sylowgruppen zyklisch sind, sind auflösbar der Stufe zwei und insbesondere sogar isomorph zu einem semidirekten Produkt zweier zyklischer Gruppen

: Automorphismengruppe :: Permutationsgruppen :: Operationen :

Aut(S_n)

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Aut(S_n) ~= S_n für n!=2,6. S₆ besitzt einen äußeren Automorphismus.

: Freie Gruppe :

MP-Forum: Gruppenordnung 333

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Die Klassifzierung aller Gruppen der Ordnung 333. Freie Gruppen sowie Erzeuger-Relation-Darstellungen werden hier definiert und besprochen.

: exakte Sequenzen :: Gruppenerweiterungen :: semidirektes Produkt :: Automorphismengruppe :

Erweiterungen durch vollständige Gruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ist 1->N->G->Q->1 exakt und N vollständig, so ist G~=N x Q

: Abelsche Gruppen :: Untergruppen :: p-Gruppen :

Endliche Gruppe mit genau einer max. UG

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Eine endliche Gruppe ist genau dann eine zyklische p-Gruppe, wenn sie genau eine maximale Untergruppe besitzt.

: Automorphismengruppe :

MP-Forum: Automorphismengruppen von Graphen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Jede Gruppe ist Automorphismengruppe eines (gerichteten, gefärbten) Graphen

: Automorphismengruppe :: Freie Gruppe :

MP-Forum: Automorphismen der Freien Gruppen

Interessante Eigenschaften aller Art

: Untergruppen :: Normalteiler :: Auflösbarkeit :: Kommutatorgruppe :

Kommutatorgruppe

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Ist G = < E > und E invariant unter Konjugation, so ist [G,G]=[E,E].

: Automorphismengruppe :

MP-Forum: Automorphismen direkter Produkte

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Aut(G) x Aut(H) ist zu einer Untergruppe von Aut(G x H) isomorph und manchmal sogar die ganze Gruppe

: Darstellungstheorie :: Homomorphismen :: Matrizen :

Die orthogonale Darstellung von SU(2)xSU(2)

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Es gibt einen surjektiven Homomorphismus SU₂ x SU₂->SO₄.

: Einfachheit :: Einbettung :

MP-Forum: Einbettung in einfache Gruppe

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Jede endliche Gruppe lässt sich in eine einfache Gruppe einbetten.

: Matrizen :: Automorphismengruppe :: Darstellungstheorie :

Die orthogonale Darstellung von SU(2)

: Matrizen :: Spezielle Lineare Gruppe :

MP-Forum: Erzeuger von SL(2,Z) nachweisen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Buri weist nach, dass zwei Elemente Erzeuger von SL₂(Z) sind

: Topologie :: Matrizen :: Topologische Gruppen :: Allgemeine Lineare Gruppe :: Spezielle Lineare Gruppe :

Wegzusammenhang der linearen Gruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:SL_n(IR), SL_n(IC) und GL_n(IC) sind wegzusammenhängend; die Wegzusammenhangskomponente der 1 in GL_n(IR) hat Index 2.

High-End Gruppentheorie: Die schweren Geschütze

: Permutationsgruppen :: Mengenlehre :

MP-Forum: Permutationsgruppen

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Es gilt |S_X|=2^|X| und S_X~=S_Y => |X|=|Y|. Mit GCH gilt sogar |S_X|=|S_Y| => |X|=|Y|

: Kategorientheorie :

MP-Forum: Gruppen in Kategorien

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Man kann diverse Arten von Gruppen (normale Gruppen, Lie-Gruppen, topologische Gruppen) auf einen Schlag definieren und bestimmte Eigenschaften direkt nachweisen.

: Normalteiler :: Operationen :: Primzahlen :

Index = kleinster Primteiler => Normal

<table style='font-size:12px;border-collapse:collapse;width:200px'>Schwierigkeit: <table style='font-size:12px;border-collapse:collapse'>Beschreibung:Der übliche Beweis, dass eine Untergruppe H einer endlichen Gruppe G mit |G:H|=p=kleinster Primteiler von |G| automatisch ein Normalteiler ist, benutzt Gruppenoperationen. Hier ist ein elementarer Beweis.

Van Kampen diagrams and Tarski Monster Groups

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