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buhs Montagsreport: Vier2 - Ein schwarzes Loch pubertiert
Freigegeben von matroid am Mo. 13. März 2017 21:10:38
Verfasst von buh - (237 x gelesen)
Bildung 
Kupfersulfatlösunglogo für buhs Montagsreport
42

Ein schwarzes Loch pubertiert
 

Nach dem Impfen einer Kupfersulfatlösung: Anfangs kaum sichtbar beginnt ein Kristall zu wachsen. Ion für Ion, Schicht für Schicht. Eines Morgens ist er groß. Schön. Unvergleichlich. Der schönste Kristall der Welt.

Es hat keinen Urknall gegeben. Es gab nicht einmal ein leichtes Knacken.
Einer hatte eine Idee und machte sie zur materiellen Gewalt.
Das Internet erweiterte sich ein wenig, kaum spürbar. Ich hatte Glück, ich war dabei.
Dabei bei der Geburt eines schwarzen Lochs.
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 12. März 2017 14:46:21
Verfasst von Triceratops - (77 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Im 1. Teil haben wir uns mit dem Zappa-Szép-Produkt von Gruppen bzw. Monoiden befasst, einer naheliegenden Verallgemeinerung des semidirekten Produktes. Insbesondere haben wir gesehen, dass jedes Distributivgesetz zwischen zwei Monoiden ein Zappa-Szép-Produkt liefert, und umgekehrt. In diesem 2. Teil werden wir nun dasselbe für Monoidobjekte in monoidalen Kategorien beweisen. Es werden daher auch Grundkenntnisse der Kategorientheorie vorausgesetzt. An die Stelle von Rechnungen mit Elementen treten dann kommutative Diagramme. Der Vorteil dieser Allgemeinheit besteht unter anderem darin, dass man für jede konkrete Wahl der monoidalen Kategorie ein eigenes Zappa-Szép-Produkt bekommt. Für die monoidale Kategorie der Moduln bedeutet das etwa, dass man ein Zappa-Szép-Produkt für Algebren bekommt, das üblicherweise schiefes oder veschränktes Produkt genannt wird. Für die monoidale Kategorie der Endofunktoren einer Kategorie bekommt man ein Zappa-Szép-Produkt für Monaden, welches üblicherweise die Komposition von Monaden genannt wird. Wir beweisen zudem eine universelle Eigenschaft des Zappa-Szép-Produktes. Wir beenden den Artikel mit einer 2-kategoriellen Interpretation von Distributivgesetzen und Zappa-Szép-Produkten von Monaden.
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Mathematik: Elemente von Euklid - eine brandneue Online Version mit CC BY-SA 3.0 Lizenz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. Februar 2017 18:40:12
Verfasst von bookofproofs - (462 x gelesen)
Bildung 
Liebe Geometriefreunde und Freunde der axiomatischen Methode,

diese wurde von den Alten Griechen erfunden und das erste Meisterstück, in der sie ausgiebig angewendet wurde, waren die "Elemente" von Euklid.

Ich möchte Euch auf eine neue, englischsprachige, online-gestellte Version dieses epochalen Werkes aufmerksam machen, die sich unter

http://www.bookofproofs.org/branches/euclids-elements/

befindet. Was ich persönlich hilfreich finde, ist die Möglichkeit, dass auf jeder Seite, die einen Satz bzw. eine Definition enthält, gleichzeitig zu sehen ist, welche Sätze aus diesem Satz bzw. dieser Definition folgen (Logical Successors) bzw. welche ihr logisch vorangehen (Logical Predecessors). Auch die Liste der zugrunde liegenden Axiome ist dort zu sehen. Auf diese Weise ist es z.B. einfach, zu erkennen, ab wann im Gesamtwerk das 5. Parallelenpostulat zum ersten Mal verwendet wird, oder zu erkennen, in welchen Beweisen Begriffe wie "circle" oder "straight-line" verwendet werden.
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Stern Mathematik: Differentialgleichungen
Freigegeben von matroid am Sa. 08. November 2003 12:56:28
Verfasst von pendragon302 - (372063 x gelesen)
Mathematik 



  Differentialgleichungen





Dieser, mein fünfter Artikel handelt von Differentialgleichungen. Ich möchte euch zeigen, wie man bestimmte Formen von Differentialgleichungen löst. Bevor man sich ans Lösen einer Differentialgleichung macht, sollte man die DGL erst einmal klassifizieren.
Dazu hat Eckard in seinem Readme.First etwas schönes geschrieben. Dort findet man auch Beispiele zu den in meinem Artikel behandelten Differentialgleichungen, aber auch ein Blick in das Forum Differentialgleichungen kann nicht schaden.

pdf-Version des Artikels

Inhalt:



Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Parametrisierung

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Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Konstante Koeffizienten

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Eulersche Differentialgleichung

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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
Freigegeben von matroid am Di. 21. Februar 2017 21:24:56
Verfasst von Triceratops - (474 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Eine Gruppe heißt semidirektes Produkt von einer Untergruppe und einem Normalteiler, wenn sich jedes Gruppenelement eindeutig als ein Produkt von einem Element der Untergruppe mit einem Element des Normalteilers schreiben lässt. Lässt man anstelle eines Normalteilers eine Untergruppe zu, gelangt man zum Begriff eines Zappa-Szép-Produktes. Genau wie semidirekte Produkte durch eine Wirkung der Untergruppe auf den Normalteiler bestimmt sind, gibt es bei Zappa-Szép-Produkten eine Art gegenseitige Wirkung der beiden Untergruppen aufeinander. Diese Wirkungen werden Distributivgesetze genannt. In diesem 1. Teil soll es um die Korrespondenz zwischen Zappa-Szép-Produkten und Distributivgesetzen gehen. Die genaue Beziehung zu semidirekten Produkten wird ebenfalls besprochen. Weil die Inversenbildung in Gruppen für die Konstruktionen irrelevant sind, werden wir uns stattdessen mit Monoiden befassen, also Mengen zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element. Außerdem werden wir die Axiome eines Distributivgesetzes kompakt anhand von kommutativen Diagrammen umformulieren. Das ist zugleich die Voraussetzung für den 2. Teil, in dem wir das Zappa-Szép-Produkt in einem kategorientheoretischen Rahmen einführen und damit auch eine Brücke zu Distributivgesetzen von Algebren und Monaden schlagen werden.
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buhs Montagsreport: Bellevue und die Prozente
Freigegeben von matroid am Mo. 13. Februar 2017 21:09:26
Verfasst von buh - (410 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport
Bellevue und die Prozente

Postfaktische Zahlen
 

Berlin: Natürlich haben Sie ihn im ersten Wahlgang zum Bundespräsidenten gemacht; das war ja auch nicht das Interessante.
Interessant war (zumindest nach Meinung der MoPo*), ob man diesmal wohl den Wahlrekord von Theodor Heuss knacken würde**. Naja, dafür kann man schon mal die Seite 3 opfern.
Opfern mussten die Verfasser wohl auch ihre Mathenote, denn mit statistisierenden Grafiken und bewegenden Worten teilen sie mit, dass Heuss damals 1954 mit 88,2% und Weizsäcker 1989 mit 86,2% die Rekordhalter sind.
Grafisch sieht das dann so aus (leicht zusammengeschnitten von mir):
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Physik: Verschwindendes Feld im Inneren einer Hohlkugel: Elementarer Beweis
Freigegeben von matroid am Sa. 11. Februar 2017 17:29:53
Verfasst von Yakob - (364 x gelesen)
Physik 
Der Satz ist möglicherweise vielen bekannt, insbesondere allen, die auch einmal Physik studiert haben:

Das elektrische Feld einer Sphäre, deren Oberfläche eine homogen verteilte Ladung trägt, ist in jedem inneren Punkt der Kugel gleich Null. Ebenso verschwindet auch die Gravitation, die von einer homogen mit Masse belegten Hohlkugel auf eine kleine, irgendwo im Inneren  dieser Kugelschale befindliche Probemasse ausgeübt wird.



Bewiesen wird diese interessante Eigenschaft normalerweise mittels (nicht ganz einfacher) Doppelintegrale oder mittels der Integralsätze (insbesondere Satz von Gauß).

Man kann zu dem gleichen Ergebnis aber auch durch eine relativ einfache, fast schon elementargeometrische Überlegung kommen. Eine Grundidee aus der Analysis, nämlich Betrachtungen an Differentialen, spielt aber trotzdem herein.
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Mathematik: Allgemeine Darstellung einer nichtlinearen Rekursionsgleichung
Freigegeben von matroid am Di. 24. Januar 2017 00:01:06
Verfasst von trunx - (474 x gelesen)
Mathematik 

Allgemeine Darstellung einer nichtlinearen Rekursionsgleichung



Von rekursiv gegebenen Zahlenfolgen <math>c_{n+1} = f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> ist oft eine allgemeine Darstellung <math>c_n =g(n)</math> gesucht. Diese ist für lineare Rekursionsgleichungen, also für <math>f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> - linear, berechenbar, ich habe dies hier ausführlich besprochen.

Ist dagegen <math>f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> nichtlinear, so ist in aller Regel eine allgemeine Darstellung nicht möglich. Mehr noch, ich bin erstaunt, dass es tatsächlich nichtlineare Rekursionen gibt, die allgemein darstellbar sind. Darum soll es in diesem Artikel gehen.

Konkret geht es um folgende Klasse von Rekursionen (dem altbekannten Heron-Verfahren zur Ermittlung von <math>\sqrt{a}</math>):
<math>\displaystyle c_{n+1} = \frac{1}{2} \Bigl(c_n +\frac{a}{c_n}\Bigr)</math> mit <math>a, c_i \neq 0 \in \mathds{Q}</math>.
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Matheplanet-Award: Verleihung der 15. MP-Awards
Freigegeben von matroid am So. 22. Januar 2017 15:00:01
Verfasst von matroid - (1247 x gelesen)
Matheplanet-Award 
Verleihung
der 15. Matheplanet-Mitglieder-Awards
22. Januar 2017
 
mehr... | 148164 Bytes mehr | 14 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Matheplanet-Award


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