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Stern Mathematik: Vollständige Indoktrination
Freigegeben von matroid am Mi. 23. März 2016 20:42:30
Verfasst von Martin_Infinite - (3347 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Vollständige Indoktrination

Die vollständige Induktion steht im ersten Semester auf dem Lehrplan und wird mit vielen einfachen Aufgaben eingeübt. Das hat oftmals zur Folge, dass Studienanfänger alles, wo eine natürliche Zahl vorkommt, mittels vollständiger Induktion beweisen möchten, oder sogar beweisen sollen.

Was diese Einschränkung für Auswirkungen auf die mathematische Kreativität hat, und dass andere Beweismethoden oftmals viel erhellender und eleganter sind, darum wird es in diesem Artikel gehen. Dazu werden viele Beispiele herangezogen. Es werden auch genügend Beispiele dafür besprochen, wo eine vollständige Induktion sinnvoll oder sogar notwendig ist.
 
Dieser Artikel richtet sich v.a. an fortgeschrittene Schüler und Studienanfänger.
\(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Starker Raucher
Freigegeben von matroid am Mo. 19. November 2001 00:01:25
Verfasst von matroid - (12504 x gelesen)
Vermischtes  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Stefan Banach war ein starker Raucher (Ja, der mit dem Raum!). Ein Kollege von mir ist auch einer, und der hat immer mindestens 3 Feuerzeuge in der Tasche - nur für den Fall.
Aber Banach lebte in einer Zeit ohne Einweg-Feuerzeuge. In seiner Zeit hatte er vergleichbare Vorsichtsmaßnahmen getroffen. Er hatte nämlich immer 2 Schachteln Streichhölzer dabei - eine in der linken Hosentasche, eine in der rechten. Um eine Zigarette anzuzünden, griff er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine seiner beiden Hosentaschen, entnahm die dortige Streichholzschachtel und entzündete seine Zigarette. Wenn er eine leere Schachtel gezogen hatte, dann ersetzte er sofort beide Schachteln durch neue, voll gefüllte!
Zündholzschachtel von Matroids Matheplanet

Immer wurden beide Schachteln ersetzt, die eine davon leer, aber was war mit der anderen? In den meisten Fällen wird diese noch einige Hölzer enthalten haben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die weggeworfene zweite Schachtel noch eine bestimmte Anzahl Hölzer enthalten hat? \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch
Freigegeben von matroid am Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06
Verfasst von shadowking - (1842 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)


<math>\huge{\textsf{Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht}}</math>


Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ist weniger eine Frage seines Inhalts oder seiner Bedeutung, sondern eine Frage der Reklame. Und dafür hatten Herr Mandelbrot und seine Mitstreiter definitiv die schöneren Bilder produziert - und das in einer Zeit, da Rechenmaschinen noch groß wie Schränke waren und weniger konnten als etwa heute ein Smartphone. Da die numerische Rechenpower heute leicht zu bekommen und kostengünstig ist, siegt allzu oft die schiere Rechnerkraft über eine Betrachtungsweise, die den Phänomenen mit klassischer Mathematik auf den Grund geht.


\(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Grundlegendes zur Normalverteilung
Freigegeben von matroid am Do. 23. April 2015 19:25:19
Verfasst von Calculus - (3295 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Grundlegendes zur Normalverteilung


Die Normalverteilung gehört zu den wichtigsten Verteilungen in der Stochastik. Aufgrund ihrer Rolle im zentralen Grenzwertsatz tritt sie an vielen Stellen in der Statistik auf. Die eng mit der Normalverteilung verbundenen <math>\chi^2</math>- t- und F-Verteilungen sind Grundlage vieler wichtiger Tests in der Statistik.

Trotzdem wird die Normalverteilung in Vorlesungen oft nur sehr oberflächlich und unvollständig behandelt. Typischerweise wird die (mehrdimensionale) Normalverteilung nur über ihre Dichte definiert, wodurch einige wichtige Spezialfälle außenvor bleiben und viele Rechnungen unnötig verkompliziert werden.

Dieser Artikel zeigt einen alternativen Ansatz auf, bei dem Dichten eher als Nebenprodukt der Herangehensweise auftreten. Die Konsequenzen davon sind im eindimensionalen Fall noch überschaubar, werden jedoch im Zusammenhang mit der mehrdimensionalen Normalverteilung umso gravierender.

Im ersten Abschnitt werden (eindimensional) normalverteilte Zufallsvariablen untersucht, woraus im zweiten Abschnitt der Begriff der mehrdimensionalen Normalverteilung hergeleitet wird. Im dritten Abschnitt zeigen einige Beispiele die Nützlichkeit von Matrizen im Zusammenhang mit der (mehrdimensionalen) Normalverteilung.

Für das Verständnis dieses Artikels sind grundlegende Kenntnisse im Bereich der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie nötig. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium
Freigegeben von matroid am Mi. 06. August 2014 02:00:25
Verfasst von huepfer - (1980 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet
man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen:
 
injektiv, surjektiv, bijektiv


Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre
Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart grundlegend, dass
sie manchem zu Beginn Schwierigkeiten bereiten. Wir werden aber an Hand von
einigen Beispielen erkennen, dass ihr Grundprinzip denkbar einfach ist.
Wir werden nach den Definitionen mit den einfachsten Beispielen in der Mengentheorie beginnen und uns dann mit verschiedenen anderen Bereichen beschäftigen und sehen, dass die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv von herausragender Bedeutung sind, wenn man über Abbildungen und Funktionen spricht. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
Freigegeben von matroid am Do. 21. August 2014 21:44:28
Verfasst von Dune - (1599 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe <math>G</math> mit gegebenem Normalteiler <math>N</math> zu untersuchen, indem man die Gruppen <math>N</math> und <math>G/N</math> separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von <math>G</math> zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass <math>G</math> auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von <math>N</math> und <math>G/N</math> beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über <math>G</math> aussagen können, wenn wir <math>N</math> und <math>G/N</math> ganz genau kennen.

Es ist keineswegs so, dass <math>G</math> durch <math>N</math> und <math>G/N</math> eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math> viele Gruppen <math>G</math>, die einen zu <math>N</math> isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu <math>Q</math> ist - allen voran das direkte Produkt <math>N \times Q</math>. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von <math>Q</math> um <math>N</math>. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math>) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe <math>Q</math> um eine abelsche Gruppe <math>N</math> vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.
\(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Vom (erfolgreichen?) Versuch, die Form der Erde zu berechnen
Freigegeben von matroid am Fr. 27. Juni 2014 19:29:11
Verfasst von MontyPythagoras - (1365 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Vom (erfolgreichen?) Versuch, die Form der Erde zu berechnen


Nicht so einfach...In meinem vorigen Artikel habe ich dargelegt, wie man anhand des Kräftegleichgewichts an der Erdoberfläche eine Gleichung aufstellt, die die annähernd ellipsoide Form der Erde beschreibt. Das war gar nicht so schwer, aber um so überraschender war die erhebliche Abweichung zwischen Realität und Theorie.
Natürlich ist die Abweichung relativ betrachtet gering, da sich die Erde nun einmal sehr langsam dreht und die Abplattung nur etwa 0,3% beträgt. Mit bloßem Auge also gar nicht erkennbar. Will man aber die Abplattung theoretisch berechnen, führt kein Weg daran vorbei, die Gravitationskraft als Integral der Dichte über das Erdvolumen zu berechnen. Dadurch wird die ganze Thematik mathematisch erheblich erschwert.
Aber es gibt ja bekanntlich keine Probleme, nur Herausforderungen, wie Motivationstrainer nicht müde werden zu behaupten, also habe ich sie angenommen. Das Ergebnis ist wiederum erstaunlich... \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Vom (gescheiterten) Versuch, die Form der Erde zu berechnen
Freigegeben von matroid am Fr. 13. Juni 2014 19:36:55
Verfasst von MontyPythagoras - (1449 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)

Vom (gescheiterten) Versuch, die Form der Erde zu berechnen


Kugel oder Würfel?
Wenn auch der mürrisch dreinblickende Zausel auf dem Bild rechts noch unentschlossen scheint, hat sich der größte Teil der Menschheit längst festgelegt: die Erde ist eine Kugel. Welchen Sinn würde sonst ein Globus machen?
Klugscheißer werden nun einwenden, dass das nicht genau stimmt, denn schließlich rotiert die Erde ja um ihre Polachse, wenn man dem italienischen Revoluzzer, der dem Typen auf dem Bild rechts verdächtig ähnlich sieht, Glauben schenkt. Und deshalb wäre die Erde aufgrund der Fliehkraftwirkung ein Rotationsellipsoid.
Klug²scheißer wenden nun ein: nein, auch kein Rotationsellipsoid, sondern ein Geoid. Von den ganzen Anomalien aufgrund der Gebirge etc. einmal ganz zu schweigen.
Kurzum, da ich eher zur letztgenannten Fraktion gehöre, habe ich mich aufgemacht, die (zumindest theoretisch) genaue Form der Erde zu berechnen.
\(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Das 4-Farben Problem
Freigegeben von matroid am Do. 05. Juni 2014 22:10:47
Verfasst von Ueli - (3767 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Einleitung

Oft ist es sehr viel leichter ein mathematisches Problem zu stellen, als es zu lösen. Dies gilt beispielsweise für die Goldbach Vermutung und auch für das 4-Farben Problem. Aber ist das Färben von Landkarten in irgendeiner Weise relevant für die Mathematik?
Als David Hilbert im Jahr 1900 seine 23 ungelösten Probleme der Mathematik [1] vorstellte, dachte er, dass die Beschäftigung mit diesen Fragen die Mathematik voranbringen würden. In seiner Rede am zweiten internationalen Mathematikerkongress in Paris hat er auch zum Ausdruck gebracht, dass ein vollkommenes mathematisches Problem einfach zu fassen sein soll [2]. Dies gilt sicher auch (oder gerade) für das 4-Farben Problem.
Dieses wurde allerdings nicht in die Liste der großen Probleme aufgenommen. Es schien wahrscheinlich zu isoliert in der mathematischen Landschaft zu stehen und die Lösung besteht auch nur in der einfachen Erkenntnis, dass die Vermutung richtig ist. In Hilbert's Nachlass wurde allerdings ein 24. Problem [3] gefunden. Darin geht es um die Kriterien für einfache Beweise und die Beziehung zwischen verschiedenen Beweisen für ein Problem. Dazu bietet der 4-Farben Satz ein lehrreiches Beispiel. Ausserdem war das 4-Farben-Problem oft Anlass für die Beschäftigung mit planaren Graphen und Topologie und hat daher diese Disziplinen weiter gebracht gemäß dem Stichwort: "Der Weg ist das Ziel".

In diesem Artikel werde ich einige historische Versuche aufzeigen das Problem zu lösen und auch wesentliche Schritte, welche zur Lösung führten.

[1]: Hilberts 23 Probleme: Wikipedia
[2]: Hilberts Rede am Mathematiker-Kongress in Paris, S1-2: ps-Datei
[3]: Hilberts 24. Problem: Wikipedia \(\endgroup\)
mehr... | 41436 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


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