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Stern Mathematik: Vollständige Indoktrination
Freigegeben von matroid am Mi. 23. März 2016 20:42:30
Verfasst von Martin_Infinite - (2419 x gelesen)
Mathematik 

Vollständige Indoktrination

Die vollständige Induktion steht im ersten Semester auf dem Lehrplan und wird mit vielen einfachen Aufgaben eingeübt. Das hat oftmals zur Folge, dass Studienanfänger alles, wo eine natürliche Zahl vorkommt, mittels vollständiger Induktion beweisen möchten, oder sogar beweisen sollen.

Was diese Einschränkung für Auswirkungen auf die mathematische Kreativität hat, und dass andere Beweismethoden oftmals viel erhellender und eleganter sind, darum wird es in diesem Artikel gehen. Dazu werden viele Beispiele herangezogen. Es werden auch genügend Beispiele dafür besprochen, wo eine vollständige Induktion sinnvoll oder sogar notwendig ist.
 
Dieser Artikel richtet sich v.a. an fortgeschrittene Schüler und Studienanfänger.
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Stern Mathematik: Die Jordan-Normalform
Freigegeben von matroid am So. 29. Oktober 2006 18:13:40
Verfasst von calabi-yau - (16878 x gelesen)
Lineare Algebra 
BildDas Theorem über die Jordan-Normalform ist wohl eines der schwierigsten der elementaren Linearen Algebra. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten die Existenz und Eindeutigkeit dieser eleganten Normalform zu beweisen. Da wäre zum Beispiel jene Methode, die den Zerlegungssatz endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen benutzt. In diesem Artikel will ich aber einen anderen Weg gehen, nämlich einen des geringsten Widerstandes. Dieser Weg ist elementarer als der über die Modultheorie und ist überdies konstruktiv.

Es werden nur elementare Resultate aus der Linearen Algebra vorausgesetzt.

Viel Spass beim Lesen...

EDIT (Juni 2012): Da nun doch so manch einer hierher findet, habe ich eine pdf angehängt, wo der Inhalt kurz und knapp, aber überarbeitet, dargestellt ist. Neben wesentlich besserem Layout gibt es dort genauere Referenzen, einen eleganteren Beweis zu Satz 1 und einen strukturierteren zu Satz 3 (näher an der Referenz).
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Stern Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium
Freigegeben von matroid am Mi. 06. August 2014 02:00:25
Verfasst von huepfer - (1810 x gelesen)
Mathematik 
Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet
man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen:
 
injektiv, surjektiv, bijektiv


Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre
Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart grundlegend, dass
sie manchem zu Beginn Schwierigkeiten bereiten. Wir werden aber an Hand von
einigen Beispielen erkennen, dass ihr Grundprinzip denkbar einfach ist.
Wir werden nach den Definitionen mit den einfachsten Beispielen in der Mengentheorie beginnen und uns dann mit verschiedenen anderen Bereichen beschäftigen und sehen, dass die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv von herausragender Bedeutung sind, wenn man über Abbildungen und Funktionen spricht.
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Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
Freigegeben von matroid am Do. 21. August 2014 21:44:28
Verfasst von Dune - (1476 x gelesen)
Mathematik 

Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe <math>G</math> mit gegebenem Normalteiler <math>N</math> zu untersuchen, indem man die Gruppen <math>N</math> und <math>G/N</math> separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von <math>G</math> zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass <math>G</math> auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von <math>N</math> und <math>G/N</math> beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über <math>G</math> aussagen können, wenn wir <math>N</math> und <math>G/N</math> ganz genau kennen.

Es ist keineswegs so, dass <math>G</math> durch <math>N</math> und <math>G/N</math> eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math> viele Gruppen <math>G</math>, die einen zu <math>N</math> isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu <math>Q</math> ist - allen voran das direkte Produkt <math>N \times Q</math>. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von <math>Q</math> um <math>N</math>. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math>) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe <math>Q</math> um eine abelsche Gruppe <math>N</math> vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.
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Stern Mathematik: Vom (erfolgreichen?) Versuch, die Form der Erde zu berechnen
Freigegeben von matroid am Fr. 27. Juni 2014 19:29:11
Verfasst von MontyPythagoras - (1254 x gelesen)
Mathematik 

Vom (erfolgreichen?) Versuch, die Form der Erde zu berechnen


Nicht so einfach...In meinem vorigen Artikel habe ich dargelegt, wie man anhand des Kräftegleichgewichts an der Erdoberfläche eine Gleichung aufstellt, die die annähernd ellipsoide Form der Erde beschreibt. Das war gar nicht so schwer, aber um so überraschender war die erhebliche Abweichung zwischen Realität und Theorie.
Natürlich ist die Abweichung relativ betrachtet gering, da sich die Erde nun einmal sehr langsam dreht und die Abplattung nur etwa 0,3% beträgt. Mit bloßem Auge also gar nicht erkennbar. Will man aber die Abplattung theoretisch berechnen, führt kein Weg daran vorbei, die Gravitationskraft als Integral der Dichte über das Erdvolumen zu berechnen. Dadurch wird die ganze Thematik mathematisch erheblich erschwert.
Aber es gibt ja bekanntlich keine Probleme, nur Herausforderungen, wie Motivationstrainer nicht müde werden zu behaupten, also habe ich sie angenommen. Das Ergebnis ist wiederum erstaunlich...
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Stern Mathematik: Vom (gescheiterten) Versuch, die Form der Erde zu berechnen
Freigegeben von matroid am Fr. 13. Juni 2014 19:36:55
Verfasst von MontyPythagoras - (1377 x gelesen)
Physik 

Vom (gescheiterten) Versuch, die Form der Erde zu berechnen


Kugel oder Würfel?
Wenn auch der mürrisch dreinblickende Zausel auf dem Bild rechts noch unentschlossen scheint, hat sich der größte Teil der Menschheit längst festgelegt: die Erde ist eine Kugel. Welchen Sinn würde sonst ein Globus machen?
Klugscheißer werden nun einwenden, dass das nicht genau stimmt, denn schließlich rotiert die Erde ja um ihre Polachse, wenn man dem italienischen Revoluzzer, der dem Typen auf dem Bild rechts verdächtig ähnlich sieht, Glauben schenkt. Und deshalb wäre die Erde aufgrund der Fliehkraftwirkung ein Rotationsellipsoid.
Klug²scheißer wenden nun ein: nein, auch kein Rotationsellipsoid, sondern ein Geoid. Von den ganzen Anomalien aufgrund der Gebirge etc. einmal ganz zu schweigen.
Kurzum, da ich eher zur letztgenannten Fraktion gehöre, habe ich mich aufgemacht, die (zumindest theoretisch) genaue Form der Erde zu berechnen.
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Stern Mathematik: Das 4-Farben Problem
Freigegeben von matroid am Do. 05. Juni 2014 22:10:47
Verfasst von Ueli - (2904 x gelesen)
Mathematik 

Einleitung

Oft ist es sehr viel leichter ein mathematisches Problem zu stellen, als es zu lösen. Dies gilt beispielsweise für die Goldbach Vermutung und auch für das 4-Farben Problem. Aber ist das Färben von Landkarten in irgendeiner Weise relevant für die Mathematik?
Als David Hilbert im Jahr 1900 seine 23 ungelösten Probleme der Mathematik [1] vorstellte, dachte er, dass die Beschäftigung mit diesen Fragen die Mathematik voranbringen würden. In seiner Rede am zweiten internationalen Mathematikerkongress in Paris hat er auch zum Ausdruck gebracht, dass ein vollkommenes mathematisches Problem einfach zu fassen sein soll [2]. Dies gilt sicher auch (oder gerade) für das 4-Farben Problem.
Dieses wurde allerdings nicht in die Liste der großen Probleme aufgenommen. Es schien wahrscheinlich zu isoliert in der mathematischen Landschaft zu stehen und die Lösung besteht auch nur in der einfachen Erkenntnis, dass die Vermutung richtig ist. In Hilbert's Nachlass wurde allerdings ein 24. Problem [3] gefunden. Darin geht es um die Kriterien für einfache Beweise und die Beziehung zwischen verschiedenen Beweisen für ein Problem. Dazu bietet der 4-Farben Satz ein lehrreiches Beispiel. Ausserdem war das 4-Farben-Problem oft Anlass für die Beschäftigung mit planaren Graphen und Topologie und hat daher diese Disziplinen weiter gebracht gemäß dem Stichwort: "Der Weg ist das Ziel".

In diesem Artikel werde ich einige historische Versuche aufzeigen das Problem zu lösen und auch wesentliche Schritte, welche zur Lösung führten.

[1]: Hilberts 23 Probleme: Wikipedia
[2]: Hilberts Rede am Mathematiker-Kongress in Paris, S1-2: ps-Datei
[3]: Hilberts 24. Problem: Wikipedia
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Stern Physik: Rollwiderstand von Fahrradreifen
Freigegeben von matroid am Do. 29. Mai 2014 19:09:29
Verfasst von MontyPythagoras - (3616 x gelesen)
Physik 
Hallo lieber Mathe-Planet,
ich möchte gerne einen Artikel über ein Thema beisteuern, das alltäglich, um nicht zu sagen banal erscheint, nämlich den Rollwiderstand, hier speziell an Fahrradreifen.
Was gibt es schon groß über den Rollwiderstand zu sagen? Ist das nicht simpel? Reibkraft ist gleich Normalkraft mal irgendein Koeffizient, den ich in irgendeiner Tabelle oder bei Wikipedia nachschlage?
Tatsächlich wird in den Vorlesungen zur technischen Mechanik wenig ausführlich über dieses Thema referiert. Möglicherweise auch zurecht, denn selbst mir als Maschinenbau-Ingenieur passiert es selten bis nie, dass ich mich mit dem Thema Rollwiderstand auseinandersetzen muss.
Aber als Rennradfahrer hat mich schon immer interessiert, wie es sich mit dem Rollwiderstand eigentlich genau verhält.
  • Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich statt mit 8bar Reifendruck nur mit 6 oder 4bar fahre?
  • Welcher Reifen rollt besser, der schmale oder der breite?
  • Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich 20kg Gepäck mitnehme (ganz zu schweigen von meinem mentalen Widerstand)?
  • Was führt überhaupt zu den Verlusten, wo doch die Aufstandsfläche eigentlich symmetrisch ist und die Kräfte vektoriell addiert demnach null ergeben müssten? Und Haftreibung führt ja schon mangels Bewegung per Definition nicht zu Reibverlusten?
    Dieser Artikel richtet sich also an diejenigen, die über den Vorlesungsstoff aus "Technische Mechanik I" hinaus verstehen wollen, wie der Rollwiderstand an einem Luftreifen funktioniert. Und natürlich auch an die mathematikinteressierten Radfahrer, die einfach auch mal anhand von Formeln sehen wollen, was sie eigentlich schon immer wussten...
    Ziel dieses Artikels ist es, eine Formel für den Rollwiderstandskoeffizienten zu entwickeln und grundlegende Zusammenhänge darzustellen ("was ist proportional wozu?") und einer einfachen Berechnung, im Idealfall mit dem Taschenrechner, zugänglich zu machen.
  • mehr... | 45474 Bytes mehr | 26 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Physik


    Stern Mathematik: Warum Mathematik
    Freigegeben von matroid am Mo. 07. Oktober 2013 11:28:41
    Verfasst von Kiddycat - (1751 x gelesen)
    Mathematik 
    BildImmer wieder erzähle ich Leuten, dass ich Mathematik studiere. Sei es irgendwelchen Leuten im Zug, den Ärzten, Leuten, die man neu kennen lernt. Ich bekomme ganz unterschiedliche Reaktionen.
    Manche sagen. "Mathe konnt ich noch nie." oder "Oh, das hätte mich auch interessiert."

    Aber eines haben die Leute, die fragen, doch gemeinsam. Sie fragen:
    "Und? War es die richtige Wahl? Macht es noch Spaß?"

    Lange Zeit habe ich mir die gleiche Frage gestellt.

    Immer wieder habe ich mich gefragt, warum ich mir das überhaupt alles antue. Ich hätte irgendein leichtes Fach studieren können. In der Schule war ich zum Beispiel auch gut in Deutsch und in Biologie, zum Teil sogar besser als in Mathe. Aber beides hat mich nie so begeistert.

    Viele sagen, ihnen gefalle das abstrakte Denken, die Klarheit, der strukturierte Aufbau. Mir gefällt an der Mathematik etwas ganz anderes. Ich nenne es "Formbarkeit".
    mehr... | 5315 Bytes mehr | 13 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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