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Mathematik: Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann
Freigegeben von matroid am Sa. 07. Oktober 2017 10:11:20
Verfasst von Triceratops - (1156 x gelesen)
Mathematik 

Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann

Wenn man mit dem Studium der Mathematik beginnt, kommt es einem manchmal so vor, als ob Beweise sehr schwierig zu finden sind und ein hohes Maß an Kreativität und Talent erfordern. Selbst wenn man die Musterlösung sieht, denkt man sich manchmal "Darauf wäre ich nie gekommen", "Ich bin zu blöd dafür" oder "Das ist total schwierig". Viele Beweise in den ersten Semestern lassen sich aber ohne Mühe finden. Die Beweisschritte sind regelrecht erzwungen. Man muss sich dabei nur ein paar universelle Denkmethoden oder -muster aneignen, die oft zum Ziel führen. Dieser Artikel richtet sich an Studienanfänger und stellt diese Methoden anhand von einigen Beispielen vor.
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Mathematik: Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege
Freigegeben von matroid am Do. 24. August 2017 08:26:14
Verfasst von Triceratops - (412 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege


In diesem Artikel zählen wir die Wege, die durch ein endliches Gitter von unten links nach oben rechts laufen und sich nicht selbst schneiden. Dabei betrachten wir auch die Option, dass jeder Gitterpunkt genau einmal besucht wird. Solche Gitterwege werden selbstmeidend bzw. Hamiltonsch genannt.
 
<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (3,0) to (3,3) to (1,3) to (1,2) to (2,2) to (2,1) to (0,1) to (0,4) to (2,4) to (2,5) to (0,5) to (0,6) to (5,6) to (5,5) to (3,5) to (3,4) to (4,4) to (4,2) to (6,2) to (6,1) to (4,1) to (4,0) to (7,0) to (7,3) to (5,3) to (5,4) to (7,4) to (7,5) to (6,5) to (6,6) to (7,6);
\end{tikzpicture}
\hspace{10ex}
\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (0,4) to (4,4) to (4,3) to (3,3) to (3,2) to (2,2) to (2,3) to (1,3) to (1,0) to (2,0) to (2,1) to (3,1) to (3,0) to (4,0) to (4,2) to (5,2) to (5,5) to (0,5) to (0,6) to (6,6) to (6,1) to (5,1) to (5,0) to (7,0) to (7,6);
\end{tikzpicture}</math>
 
Wir benutzen die Transfer-Matrix-Methode, um die erzeugenden Funktionen der gesuchten Anzahlen effizient zu bestimmen. Ein Programm nimmt uns die Rechnungen ab.
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Stern Mathematik: Potenzsummen
Freigegeben von matroid am Fr. 30. Mai 2008 20:46:03
Verfasst von trunx - (3537 x gelesen)
Mathematik 
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Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Den in diesem Artikel vorgestellten Rechenweg hat Manuel (subdubito) auf dem MPCT VIII skizziert, hier soll er etwas ausführlicher erläutert und zu Ende gebracht werden.
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Rätsel und Spiele: Endspieldatenbanken im Schach
Freigegeben von matroid am Mi. 16. August 2017 21:56:16
Verfasst von Delastelle - (451 x gelesen)
Software 
Schach wird mit 32 Steinen gespielt.
Computerprogramme berechnen in einer gegebenen Stellung (einige) mögliche Fortsetzungszüge und bewerten sie auch.
Es entsteht ein Baum mit guten Zügen.
Aber es gibt auch eine andere Herangehensweise um einen Teilaspekt des Schachspiels zu beherrschen - nämlich das Endspiel.
mehr... | 11214 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Rätsel und Spiele


Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 12. August 2017 14:41:09
Verfasst von Yakob - (250 x gelesen)
Mathematik 

Regelmäßiges  9 - Eck :

Näherungskonstruktion


Gerade hatte ich eine Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck entworfen und hier eingebracht
    http://matheplanet.com/default3.html?article=1798  
Anschließend fragte ich mich, ob ich mit denselben Mitteln (also mit dem einfachen Suchprogramm für gute Approximationswerte) auch z.B. eine analoge Konstruktion für andere Vielecke, zum Beispiel für das reguläre Neuneck, finden könne. Dazu änderte ich einfach das vorherige Suchprogramm etwas ab für die Suche nach einfachen Approximationen etwa für Werte wie <math>2*sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\, ,\ cos\left(\frac{2\,\pi}{9}\right)\, ,\ tan\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>  usw.
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Mathematik: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken
Freigegeben von matroid am So. 30. Juli 2017 21:09:52
Verfasst von Triceratops - (822 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

Auf wieviele verschiedene Weisen lässt sich ein <math>3 {\times} 4</math>-Gitter mit Rechtecken pflastern? Hier ein paar Beispiele dafür:

<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (2,1) to (2,0);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,2) to (1,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (4,1);
\draw (3,0) to (3,1);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,3) to (2,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (2,0) to (2,2) to (0,2);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (2,1) to (3,1);
\draw (3,2) to (4,2);
\draw (3,0) to (3,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (1,0) to (1,1) to (0,1);
\draw (0,2) to (3,2) to (3,1) to (1,1);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (3,2) to (3,3);
\draw (3,1) to (4,1);
\end{tikzpicture}</math>

Tatsächlich gibt es <math>3164</math> solcher Pflasterungen. Um solche Anzahlen rekursiv zu bestimmen, betrachten wir allgemeiner die Zahl der Pflasterungen eines <math>n {\times m}</math>-Gitters durch Rechtecke. In diesem Artikel schauen wir uns besonders die Fälle <math>n=1,2,3</math> an. Dabei lernen wir verschiedene Methoden kennen, insbesondere die Transfer-Matrix-Methode, die sogar für jedes feste <math>n</math> funktioniert. Wir bekommen sowohl erzeugende Funktionen als auch Rekursionsgleichungen für die gesuchten Anzahlen.
mehr... | 35199 Bytes mehr | 19 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


buhs Montagsreport: Alternative Mathematik
Freigegeben von matroid am Mo. 19. Juni 2017 23:07:49
Verfasst von leonardo_ver_wuenschmi - (568 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
Reverses Urlogo für buhs Montagsreport

Alternative Mathematik

Es ist an der Zeit

Zinbiel: Traditionell wird im Marthermatischen Museum zu Zinbiel an der Weiterentwicklung der Marthermatik und der Physikohologie geforscht. In unregelmäßigen Abständen treffen sich bedeutende Marthermatiker der Rückseite, um über ihre Forschungsergebnisse zu berichten*.
In diesem Jahr nun huldigt man auf dem für das dritte Pental** geplanten Symposium dem/den Revolutionären: Schwerpunkt sind Vorträge und Diskussionen zur postfaktischen oder auch alternativen Marthermatik.
mehr... | 2031 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | buhs Montagsreport


buhs Montagsreport: „buh: Sonn‘ am Abend“
Freigegeben von matroid am So. 11. Juni 2017 18:48:57
Verfasst von buh - (206 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport
„buh: Sonn‘ am Abend“

Vier Zeilen
 


Traum
In dem Morgen erging ich mich im Garten der Künste
und ein Raunen umgab mich, dass es doch wohlgeraten und herrlich sei.
Und ich begann mich zu freuen, aber Ach!,
Es war die Stimme der Mathematik, und  sie   sprach    nicht     zu      mir.
 
 
Hitzegeplagt grüßt
buh2k+17
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Mathematik: Regelmäßiges Siebeneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 10. Juni 2017 14:10:22
Verfasst von Yakob - (471 x gelesen)
Mathematik 

Regelmäßiges   7 - Eck :
                    eine neue Näherungskonstruktion


Nachdem ich mich vor längerer Zeit einmal mit einer vereinfachten Darstellung einer (exakten) Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks beschäftigt hatte http://matheplanet.com/default3.html?article=1766, steckte ich mir nun ein etwas anderes Ziel:  Ich wollte eine möglichst gute Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck finden, und zwar unabhängig von den schon bekannten Approximationen.

Nun ist mir dies (nachdem ich die Idee dazu vor einigen Tagen hatte) innert eines Tages gelungen, indem ich zuerst ein numerisches Suchprogramm schrieb und laufen ließ und dann vom besten Approximationswert aus eine dazu passende Konstruktion entwarf und mittels Geogebra realisierte.

Das Ergebnis:  Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge (einer Diagonalen) vom exakten Wert im regulären Siebeneck beträgt nur etwa  0.17  Promille.  Damit ist die Konstruktion genauer als die im Wikipedia-Artikel zum Siebeneck angegebenen Alternativen (https://de.wikipedia.org/wiki/Siebeneck#N.C3.A4herungskonstruktionen).  
mehr... | 5237 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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