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Mathematik: Einladung zum MPCT 2017
Freigegeben von matroid am So. 09. April 2017 21:49:01
Verfasst von MontyPythagoras - (1050 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
 
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Mathematik: Ableitungen mit dualen Zahlen
Freigegeben von matroid am Di. 04. April 2017 16:19:13
Verfasst von Triceratops - (525 x gelesen)
Mathematik 

Ableitungen mit dualen Zahlϵn

In diesem Artikel geht es um den Ring der dualen Zahlen <math>R[\varepsilon]</math> und wie sich mit ihm elegant ohne einen Limesprozess Ableitungen von Polynomen, rationalen Funktionen und Potenzreihen definieren und berechnen lassen. Grundlage dafür ist die Gleichung <math>f(T+\varepsilon)=f(T) + f'(T) \varepsilon</math>. Dieses Vorgehen hat Anwendungen auf das automatische Differenzieren und kann zugleich als elementarer Einstieg in die glatte infinitesimale Analysis gesehen werden.
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buhs Montagsreport: Gefahr durch schwarze Löcher gebannt
Freigegeben von matroid am Mo. 03. April 2017 19:48:24
Verfasst von buh - (232 x gelesen)
Bildung 
Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport
Gefahr durch schwarze Löcher gebannt

Neutralisierung quasi gelungen
 

03869 Duemmer. Erschien uns der „Erbe der Titanen“, der „PI-Oberrat der Geometrie“ oder „Zahlando der Rechenkunst“ bisher nur als Nerv im Fleische der Mathematik, ist es Gerno Twolte und Team®  nun auch gelungen, weitere Wissenschaftsbereiche aufzureißen und dort Sensationelles zu vollbringen:
Schwarze Löcher sind nicht länger eine Gefahr!

In der 2017-er Ausgabe der „AnnPhysofl“ veröffentlichte der neu zum Team® hinzugestoßene  Tr. mess*. Vysco Bolidi einen Artikel, in dem er überzeugend nachweist, dass
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buhs Montagsreport: In eigener Sache
Freigegeben von matroid am Sa. 01. April 2017 22:05:35
Verfasst von matroid - (348 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport
In eigener Sache

buh gibt auf
 

Berlin: In den letzten Monaten und Jahren hat sich einiges um den Montagsreport herum verändert.
Zum einen konnte der ursprünglich* wöchentlich erscheinende MontagsReport durch verschiedene Ursachen bedingt
nicht mehr regelmäßig, zeitweise sogar gar nicht erscheinen. Zum anderen sind in letzter Zeit gerade montags um den MR, dessen Seriosität** unbestritten ist, herum zunehmend zweifelhafte Tiraden von Winkeldreiteilenden, Pizzafotografierenden und fermatierten Goldbachiasten zu finden, die der Intention des MontagsReports grundlegend fremd sind.
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Stern Mathematik: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
Freigegeben von matroid am Mi. 06. Februar 2008 09:24:50
Verfasst von flx - (14624 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
Der "Rubiks Cube", in Deutschland auch "Zauberwürfel" genannt, ist wohl das bekannteste Spielzeug aus den 80er Jahren! Jeder hatte damals einen. Es handelt sich um einen kleinen Würfel mit Aufklebern in sechs verschiedenen Farben auf allen Seiten, an dem sich jede Seite drehen lässt. Ziel ist es, den Würfel in die Ausgangssituation zurückzudrehen, d.h. so, dass jede Seite einheitlich gefärbt ist.

In diesem Artikel möchte ich eine Einführung zu diesem Spielzeug geben und kurz (!) anschneiden, wie man ihn mathematisch beschreiben kann. Es stellt sich nämlich heraus, dass der Rubiks Cube ein schönes Beispiel für eine Permutationsgruppe ist, nämlich eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf 48 bzw. 54 Elementen. Meiner Ansicht nach das perfekte Hobby (nicht unbedingt nur für Mathe-Fans).
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 12. März 2017 14:46:21
Verfasst von Triceratops - (122 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Im 1. Teil haben wir uns mit dem Zappa-Szép-Produkt von Gruppen bzw. Monoiden befasst, einer naheliegenden Verallgemeinerung des semidirekten Produktes. Insbesondere haben wir gesehen, dass jedes Distributivgesetz zwischen zwei Monoiden ein Zappa-Szép-Produkt liefert, und umgekehrt. In diesem 2. Teil werden wir nun dasselbe für Monoidobjekte in monoidalen Kategorien beweisen. Es werden daher auch Grundkenntnisse der Kategorientheorie vorausgesetzt. An die Stelle von Rechnungen mit Elementen treten dann kommutative Diagramme. Der Vorteil dieser Allgemeinheit besteht unter anderem darin, dass man für jede konkrete Wahl der monoidalen Kategorie ein eigenes Zappa-Szép-Produkt bekommt. Für die monoidale Kategorie der Moduln bedeutet das etwa, dass man ein Zappa-Szép-Produkt für Algebren bekommt, das üblicherweise schiefes oder veschränktes Produkt genannt wird. Für die monoidale Kategorie der Endofunktoren einer Kategorie bekommt man ein Zappa-Szép-Produkt für Monaden, welches üblicherweise die Komposition von Monaden genannt wird. Wir beweisen zudem eine universelle Eigenschaft des Zappa-Szép-Produktes. Wir beenden den Artikel mit einer 2-kategoriellen Interpretation von Distributivgesetzen und Zappa-Szép-Produkten von Monaden.
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Mathematik: Elemente von Euklid - eine brandneue Online Version mit CC BY-SA 3.0 Lizenz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. Februar 2017 18:40:12
Verfasst von bookofproofs - (495 x gelesen)
Bildung 
Liebe Geometriefreunde und Freunde der axiomatischen Methode,

diese wurde von den Alten Griechen erfunden und das erste Meisterstück, in der sie ausgiebig angewendet wurde, waren die "Elemente" von Euklid.

Ich möchte Euch auf eine neue, englischsprachige, online-gestellte Version dieses epochalen Werkes aufmerksam machen, die sich unter

http://www.bookofproofs.org/branches/euclids-elements/

befindet. Was ich persönlich hilfreich finde, ist die Möglichkeit, dass auf jeder Seite, die einen Satz bzw. eine Definition enthält, gleichzeitig zu sehen ist, welche Sätze aus diesem Satz bzw. dieser Definition folgen (Logical Successors) bzw. welche ihr logisch vorangehen (Logical Predecessors). Auch die Liste der zugrunde liegenden Axiome ist dort zu sehen. Auf diese Weise ist es z.B. einfach, zu erkennen, ab wann im Gesamtwerk das 5. Parallelenpostulat zum ersten Mal verwendet wird, oder zu erkennen, in welchen Beweisen Begriffe wie "circle" oder "straight-line" verwendet werden.
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
Freigegeben von matroid am Di. 21. Februar 2017 21:24:56
Verfasst von Triceratops - (511 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Eine Gruppe heißt semidirektes Produkt von einer Untergruppe und einem Normalteiler, wenn sich jedes Gruppenelement eindeutig als ein Produkt von einem Element der Untergruppe mit einem Element des Normalteilers schreiben lässt. Lässt man anstelle eines Normalteilers eine Untergruppe zu, gelangt man zum Begriff eines Zappa-Szép-Produktes. Genau wie semidirekte Produkte durch eine Wirkung der Untergruppe auf den Normalteiler bestimmt sind, gibt es bei Zappa-Szép-Produkten eine Art gegenseitige Wirkung der beiden Untergruppen aufeinander. Diese Wirkungen werden Distributivgesetze genannt. In diesem 1. Teil soll es um die Korrespondenz zwischen Zappa-Szép-Produkten und Distributivgesetzen gehen. Die genaue Beziehung zu semidirekten Produkten wird ebenfalls besprochen. Weil die Inversenbildung in Gruppen für die Konstruktionen irrelevant sind, werden wir uns stattdessen mit Monoiden befassen, also Mengen zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element. Außerdem werden wir die Axiome eines Distributivgesetzes kompakt anhand von kommutativen Diagrammen umformulieren. Das ist zugleich die Voraussetzung für den 2. Teil, in dem wir das Zappa-Szép-Produkt in einem kategorientheoretischen Rahmen einführen und damit auch eine Brücke zu Distributivgesetzen von Algebren und Monaden schlagen werden.
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Physik: Verschwindendes Feld im Inneren einer Hohlkugel: Elementarer Beweis
Freigegeben von matroid am Sa. 11. Februar 2017 17:29:53
Verfasst von Yakob - (432 x gelesen)
Physik 
Der Satz ist möglicherweise vielen bekannt, insbesondere allen, die auch einmal Physik studiert haben:

Das elektrische Feld einer Sphäre, deren Oberfläche eine homogen verteilte Ladung trägt, ist in jedem inneren Punkt der Kugel gleich Null. Ebenso verschwindet auch die Gravitation, die von einer homogen mit Masse belegten Hohlkugel auf eine kleine, irgendwo im Inneren  dieser Kugelschale befindliche Probemasse ausgeübt wird.



Bewiesen wird diese interessante Eigenschaft normalerweise mittels (nicht ganz einfacher) Doppelintegrale oder mittels der Integralsätze (insbesondere Satz von Gauß).

Man kann zu dem gleichen Ergebnis aber auch durch eine relativ einfache, fast schon elementargeometrische Überlegung kommen. Eine Grundidee aus der Analysis, nämlich Betrachtungen an Differentialen, spielt aber trotzdem herein.
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