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Mathematik: Zahlentheorie und Kryptologie
Freigegeben von matroid am Mi. 30. November 2016 22:34:17
Verfasst von Gerhardus - (610 x gelesen)
Mathematik 
Zahlentheorie und Kryptologie

Im Anhang als pdf-Datei eine kurze Einführung für Einsteiger mit folgendem Inhalt

1. Extremalprinzip und Primfaktorzerlegung
2. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und euklidische Algorithmus
   - Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen
3. Die Kongruenzmethode und Modularrechnung
   - modularer Kehrwert (multiplikative Inverse)
   - Kleiner Satz von Fermat und chinesischer Restsatz
   - modulare Quadratwurzeln
4. Anwendungen in der Kryptologie
   - Begriffe Protokoll und Einwegfunktion
   - Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch
   - Public-Key-Kryptosysteme RSA und RABIN
5. Kleiner Satz von Fermat, anders bewiesen
   - Begriff zyklische Permutation (Zyklip)
   - Literaturhinweise
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Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
Freigegeben von matroid am Do. 21. August 2014 21:44:28
Verfasst von Dune - (1484 x gelesen)
Mathematik 

Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe <math>G</math> mit gegebenem Normalteiler <math>N</math> zu untersuchen, indem man die Gruppen <math>N</math> und <math>G/N</math> separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von <math>G</math> zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass <math>G</math> auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von <math>N</math> und <math>G/N</math> beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über <math>G</math> aussagen können, wenn wir <math>N</math> und <math>G/N</math> ganz genau kennen.

Es ist keineswegs so, dass <math>G</math> durch <math>N</math> und <math>G/N</math> eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math> viele Gruppen <math>G</math>, die einen zu <math>N</math> isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu <math>Q</math> ist - allen voran das direkte Produkt <math>N \times Q</math>. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von <math>Q</math> um <math>N</math>. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math>) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe <math>Q</math> um eine abelsche Gruppe <math>N</math> vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.
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Mathematik: Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks
Freigegeben von matroid am Mi. 19. Oktober 2016 20:06:15
Verfasst von Yakob - (1045 x gelesen)
Mathematik 

Eine siebzehnstrahlige "Sonne"


Überlegungen zur Vereinfachung der Konstruktion des regulären 17-Ecks


Das Wappen der durch Gemeindefusion im Jahr 2011 entstandenen Gemeinde "Glarus Süd" zeigt eine siebzehnstrahlige gelbe Sonne auf blauem Grund:




Das ist unter den Wappensymbolen eine absolute Rarität. In der Heraldik kommen zum Beispiel Sonnen mit 8, 12, 16 oder 32 Strahlen vor. Sie haben den (wenigstens für frühere Wappendesigner wichtigen) Vorteil, dass man die entsprechenden regelmäßigen Vielecke mit den klassischen Methoden der Geometrie, also mittels Zirkel und Lineal, exakt konstruieren kann. Eine Ausnahme ist da etwa die 28-strahlige Sonne im Wappen von Wiesbaden-Sonnenberg. Das reguläre 28-Eck ist nicht ZL-konstruierbar, weil dies schon für das reguläre Siebeneck nicht der Fall ist.
Für die meisten Laien ziemlich unbegreiflich ist deshalb, dass die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks trotzdem möglich sein soll.

Für den vorliegenden Artikel habe ich, ausgehend von den früher bekannten, recht komplizierten und unübersichtlichen Konstruktionen, eine wesentlich einfachere und kurze Darstellung entwickelt.
mehr... | 9046 Bytes mehr | 14 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Moduln sind möglicherweise frei
Freigegeben von matroid am Do. 13. Oktober 2016 13:11:01
Verfasst von Triceratops - (719 x gelesen)
Mathematik 

Moduln sind möglicherweise frei

Aus der linearen Algebra kennen wir den Beweis, dass ein endlich-erzeugter Vektorraum eine Basis hat. Man nimmt sich ein Erzeugendensystem und streicht solange "überflüssige" Vektoren, bis ein minimales Erzeugendensystem und damit eine Basis vorliegt. In diesem Artikel schauen wir uns die dabei verwendeten logischen Grundlagen an. Aus der Analyse extrahieren wir einen interessanten Satz aus der kommutativen Algebra, der in etwa aussagt, dass gewisse Moduln möglicherweise frei sind.
mehr... | 19865 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: SEAR: Mengen, Elemente und Relationen
Freigegeben von matroid am Do. 22. September 2016 15:52:18
Verfasst von Triceratops - (1268 x gelesen)
Mathematik 

SEAR: Mengen, Elemente und Relationen

Eine strukturelle Mengenlehre


Die Mathematik wird üblicherweise mithilfe der Mengenlehre fundiert, und die Mengenlehre wird üblicherweise als die Theorie des Axiomensystems <math>\mathsf{ZF}</math> von Zermelo und Fraenkel bzw. seiner Varianten angesehen. Es gibt allerdings noch andere Axiomensysteme, welche zu einer äquivalenten Mengenlehre führen. Ich stelle in diesem Artikel eines dieser Axiomensysteme vor. Es heißt <math>\mathsf{SEAR}</math>, was eine Abkürzung für sets, elements and relations ist. Es wurde vor einigen Jahren von Michael Shulman entwickelt und bisher nur im nLab veröffentlicht. Das Axiomensystem verdient aber eine größere Aufmerksamkeit, weil es im Gegensatz zu <math>\mathsf{ZF}</math> eine typisierte und strukturelle Mengenlehre ist.
mehr... | 55160 Bytes mehr | 12 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz
Freigegeben von matroid am Do. 21. Juli 2016 21:19:44
Verfasst von Marbin - (659 x gelesen)
Mathematik 
<math>$${\Large \textbf{Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz}}</math>

Die Gompertz- sowie die logistische Funktion sind in der Onkologie eine populäre Methode, die empirischen Wachstumskurven von avaskulären und vaskulären Tumoren im Frühstadium zu modellieren. Diese phänomenologischen Modelle sind jedoch ausschließlich beschreibender Art, eine biologische Rechtfertigung fehlt. Motivation dieses Artikels ist es nun, eine mögliche biologische Begründung der Gompertz- und logistischen Funktion bei Anwendung auf Tumorwachstumsmodellierung zu liefern.
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Mathematik: Der große Bruder des Harborth-Graphen
Freigegeben von matroid am So. 17. Juli 2016 17:57:58
Verfasst von Slash - (417 x gelesen)
Mathematik 

Der große Bruder des Harborth-Graphen

In diesem Artikel stelle ich einen neuen 4-regulären Streichholzgraphen mit 108 Kanten vor. Dieser Graph - siehe rechts - wurde von StefanVogel, haribo und mir als Team im Verlauf unseres Streichholzgraphen-Threads hier auf dem Matheplaneten entdeckt und auch erstmals präsentiert. Er ist nach dem sehr ähnlich aussehenden Harborth-Graphen mit 104 Kanten das neue zweitkleinste bekannte Beispiel eines 4-regulären Streichholzgraphen, und löst damit den erst kürzlich hier präsentierten Graphen mit 114 Kanten ab. Wie sich der neue Graph in wenigen Schritten aus dem Harborth-Graphen konstruieren lässt, und dass beide Graphen wirklich existieren, soll hier gezeigt werden.
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Mathematik: Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen
Freigegeben von matroid am Sa. 09. Juli 2016 13:06:44
Verfasst von StefanVogel - (329 x gelesen)
Mathematik 
Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen

<math>\begin{array}{r} \textit{1,58} \\ \textit{-0,15} \\ \textit{-0,34} \\ \textit{\underline{-0,73}}\\ \textit{0,36} \end{array}</math>
3 plus 4 ist 7, plus 5 ist 12, 8 minus 12 geht nicht, also 1 borgen, 18-12 ist 6. So haben meine Großeltern immer den Einkauf vorgerechnet, extra ausführlich, damit ich etwas lerne dabei. Es war auch ein besonderer Moment, wenn dann die geborgte 1 in der Zehnerspalte eingetragen und dort im nächsten Durchlauf mit dazugezählt wurde. Also wenn es nicht weitergeht, 1 borgen und dazuzählen.



Mit dieser Methode möchte ich nun ein Gleichungssystem lösen und darauf aufbauend die Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen. Verwendet werden die Begriffe inverse, reguläre, singuläre, transponierte Matrix, Lösungsmenge von homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen, Basis, linear abhängige Zeilen und Spalten, Determinante sowie aus der Mechanik der Begriff Freiheitsgrad.

mehr... | 71387 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Verbesserung von Eingebetteten Runge-Kutta-Verfahren
Freigegeben von matroid am So. 03. Juli 2016 20:56:22
Verfasst von Higlav - (930 x gelesen)
Mathematik 


Vorwort

Im Rahmen einer kleineren Projektarbeit zur Verbesserung meines Notenschnittes in meinem Numerik-Modul entwickelte ich eher am Rande und per Zufall eine Schrittweitensteuerung für eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, welche eine gewisse Verbesserung zum klassischen Algorithmus bietet. In diesem Artikel werde ich diese Optimierung vorstellen.
Vielleicht ist "Verbesserung" etwas unglücklich gewählt. Bei Bedarf ändere ich es auch auf "Modifikation".



Navigation

  1. Einführung
  2. Grundlagen
    1. Schrittweitensteuerung
    2. Eingebettete Verfahren
  3. Die verbesserte Schrittweitenabschätzung
  4. Programmierung
  5. Vergleich zum herkömmlichen Algorithmus
  6. Fazit


mehr... | 61855 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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This book in the German language, is a revised edition of the book by D. Rasch “Mathematische Statistik”, Joh. Ambrosius Barth (Heidelberg) , (1995), pages 851. From this book of 1995 the first seven chapters are deleted, namely “1. Mathematische Hilfsmittel, 2. Charakterisieru ... [mehr...]
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