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Mathematik: Allgemeine Darstellung einer nichtlinearen Rekursionsgleichung
Freigegeben von matroid am Di. 24. Januar 2017 00:01:06
Verfasst von trunx - (632 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Allgemeine Darstellung einer nichtlinearen Rekursionsgleichung



Von rekursiv gegebenen Zahlenfolgen <math>c_{n+1} = f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> ist oft eine allgemeine Darstellung <math>c_n =g(n)</math> gesucht. Diese ist für lineare Rekursionsgleichungen, also für <math>f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> - linear, berechenbar, ich habe dies hier ausführlich besprochen.

Ist dagegen <math>f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> nichtlinear, so ist in aller Regel eine allgemeine Darstellung nicht möglich. Mehr noch, ich bin erstaunt, dass es tatsächlich nichtlineare Rekursionen gibt, die allgemein darstellbar sind. Darum soll es in diesem Artikel gehen.

Konkret geht es um folgende Klasse von Rekursionen (dem altbekannten Heron-Verfahren zur Ermittlung von <math>\sqrt{a}</math>):
<math>\displaystyle c_{n+1} = \frac{1}{2} \Bigl(c_n +\frac{a}{c_n}\Bigr)</math> mit <math>a, c_i \neq 0 \in \mathds{Q}</math>. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Freigegeben von matroid am Sa. 06. März 2010 00:35:51
Verfasst von Florian - (15995 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?

Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

 Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

 Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen  nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
\(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: Verleihung der 15. MP-Awards
Freigegeben von matroid am So. 22. Januar 2017 15:00:01
Verfasst von matroid - (1898 x gelesen)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Verleihung
der 15. Matheplanet-Mitglieder-Awards
22. Januar 2017
 
\(\endgroup\)
mehr... | 148164 Bytes mehr | 14 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Matheplanet-Award


Mathematik: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
Freigegeben von matroid am Fr. 20. Januar 2017 17:00:33
Verfasst von Triceratops - (897 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen


Dieser Artikel stellt eine Standard-Methode vor, mit der man einfache Beispiele von Galoisgruppen (und allgemeiner von Automorphismengruppen von endlichen Körpererweiterungen) gut berechnen kann, wie sie etwa im Rahmen einer Algebravorlesung auftreten. Die Idee ist, eine endliche Erweiterung durch einfache Erweiterungen sukzessive auszuschöpfen, und dann eine Beschreibung der Homomorphismen auf einfachen Erweiterungen mit Hilfe von Minimalpolynomen zu geben. Es werden einige Beispiele von Galoisgruppen berechnet.
\(\endgroup\)
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Mathematik: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
Freigegeben von matroid am Mi. 18. Januar 2017 18:01:36
Verfasst von MontyPythagoras - (708 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)

Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös


In meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" beschäftige ich mich diesmal mit der speziellen Relativitätstheorie. Zu diesem Thema gibt es ohne Zweifel schon unzählige Artikel, Aufsätze, Threads und Internetseiten, von Wissenschaftlern wie auch von Laien, die sämtliche Aspekte schon von allen Seiten gründlich beleuchtet haben. Na also, kommt es auf einen Artikel mehr oder weniger auch nicht an...
In der Mehrzahl dieser Werke geht es darum, die Massenzunahme, die Längenkontraktion und die Zeitdilatation herzuleiten, manchmal noch die berühmte Masse-Energie-Äquivalenz E=mc². Auch ein sehr beliebtes Thema sind Zeitreisen, Zwillingsparadoxon und so weiter, sprich: alles, was das Herz des Science-Fiction-Fans höher schlagen lässt. Oft liest man dann Sätze wie "Nehmen wir an, der Astronaut reist mit seinem Raumschiff mit 90% der Lichtgeschwindigkeit...". Ich habe mir mal Gedanken darüber gemacht, was an Aufwand notwendig ist, um die Tachonadel auf 0,9c zu bekommen und - genauso wichtig - wieder anzuhalten, denn welcher Astronaut möchte schon mit 90% der Lichtgeschwindigkeit am Ankunftsort aufschlagen. Gut, man würde der Redewendung "einen bleibenden Eindruck hinterlassen" eine ganz neue Bedeutung geben, aber man wäre ziemlich tot und könnte sich über seine vielen neuen Follower auf Spacebook nicht mehr richtig freuen.
Betrachten wir also die bekannte Raketengrundgleichung von Ziolkowski mal relativistisch und überlegen uns die Konsequenzen. Wir untersuchen dabei den Beschleunigungsvorgang, den Bremsvorgang, den Kurven"flug", und überlegen anschließend, wie ein energiesparendes Flugmanöver aussehen muss. Zum Abschluss berechnen wir den Energiebedarf für eine Runde auf einem intergalaktischen Ovalkurs. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: DER*: Was wird sein in …
Freigegeben von matroid am Mo. 16. Januar 2017 20:05:29
Verfasst von buh - (234 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
DER*: Was wird sein in …

Sooo! wird es sein.
 

Zinbiel: Der Berg teilte sich, und Le Ghu Anh trat hervor. Neben sich ein Rhind**, das einen unerwartet konservativen Papyrus auf seinem Rücken balancierte. Bedächtig schritt der Le zum Podest, nahm den Papyrus und begann zu lesen*:

„Liebe Witten, Chatten, Solingen! Liebe ausgestorbene Skripten! Es
(…) konservativ, das ich …  gefunden habe. Vielleicht (…) selbst auch nicht immer elekt(…) Dennoch ist (…)icht emittierendes Druckerzeug(…), die Zukunft (…) Matheplan(…) sehen, auch wenn (…) Wie gewohnt werde ich (…) Hat jemand (…)schenlampe? Fein. Dann(…)  ...verkünden:

\(\endgroup\)
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Mathematik: Calculation of the torsion subgroup of Abelian varieties over number fields
Freigegeben von matroid am So. 15. Januar 2017 17:45:24
Verfasst von rofler - (347 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

4. Calculating the torsion subgroup of Abelian varieties over number fields



Wir beschreiben ein Verfahren, mit dem man die Torsionsuntergruppe Abelscher Varietäten über Zahlkörpern berechnen kann. Als Beispiel berechnen wir die Torsionsuntergruppe der elliptischen Kurven, die beim Kongruente-Zahlen-Problem auftreten.
Dies ist der dritte Teil meiner Artikelserie über rationale Punkte auf Abelschen Varietäten über globalen Körpern, siehe die Links ganz unten. \(\endgroup\)
mehr... | 7457 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Zahlentheorie und Kryptologie
Freigegeben von matroid am Mi. 30. November 2016 22:34:17
Verfasst von Gerhardus - (703 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Zahlentheorie und Kryptologie

Im Anhang als pdf-Datei eine kurze Einführung für Einsteiger mit folgendem Inhalt

1. Extremalprinzip und Primfaktorzerlegung
2. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und euklidische Algorithmus
   - Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen
3. Die Kongruenzmethode und Modularrechnung
   - modularer Kehrwert (multiplikative Inverse)
   - Kleiner Satz von Fermat und chinesischer Restsatz
   - modulare Quadratwurzeln
4. Anwendungen in der Kryptologie
   - Begriffe Protokoll und Einwegfunktion
   - Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch
   - Public-Key-Kryptosysteme RSA und RABIN
5. Kleiner Satz von Fermat, anders bewiesen
   - Begriff zyklische Permutation (Zyklip)
   - Literaturhinweise \(\endgroup\)
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Mathematik: Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks
Freigegeben von matroid am Mi. 19. Oktober 2016 20:06:15
Verfasst von Yakob - (1258 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Eine siebzehnstrahlige "Sonne"


Überlegungen zur Vereinfachung der Konstruktion des regulären 17-Ecks


Das Wappen der durch Gemeindefusion im Jahr 2011 entstandenen Gemeinde "Glarus Süd" zeigt eine siebzehnstrahlige gelbe Sonne auf blauem Grund:




Das ist unter den Wappensymbolen eine absolute Rarität. In der Heraldik kommen zum Beispiel Sonnen mit 8, 12, 16 oder 32 Strahlen vor. Sie haben den (wenigstens für frühere Wappendesigner wichtigen) Vorteil, dass man die entsprechenden regelmäßigen Vielecke mit den klassischen Methoden der Geometrie, also mittels Zirkel und Lineal, exakt konstruieren kann. Eine Ausnahme ist da etwa die 28-strahlige Sonne im Wappen von Wiesbaden-Sonnenberg. Das reguläre 28-Eck ist nicht ZL-konstruierbar, weil dies schon für das reguläre Siebeneck nicht der Fall ist.
Für die meisten Laien ziemlich unbegreiflich ist deshalb, dass die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks trotzdem möglich sein soll.

Für den vorliegenden Artikel habe ich, ausgehend von den früher bekannten, recht komplizierten und unübersichtlichen Konstruktionen, eine wesentlich einfachere und kurze Darstellung entwickelt. \(\endgroup\)
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