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Mathematik: Martins Axiom
Freigegeben von matroid am Mo. 05. Juni 2017 10:33:27
Verfasst von Triceratops - (694 x gelesen)
Mathematik \(\begingroup\)

Martins Axiom

Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Kardinalzahlen zwischen \(\omega\) und \(2^{\omega}\) gibt. Diese Hypothese lässt sich nicht aus den üblichen Axiomen der Mengenlehre ableiten. Man kann sich also fragen, was passiert, wenn es doch solche Kardinalzahlen \(\kappa\) mit \(\omega<\kappa<2^\omega\) gibt: Verhalten diese sich wenigstens genauso gut wie \(\omega\)? Gilt zum Beispiel der Bairesche Kategoriensatz auch für \(\kappa\) viele Mengen? Und ist die Vereinigung von \(\kappa\) vielen Lebesgue-Nullmengen ebenfalls eine Lebesgue-Nullmenge? Martins Axiom, benannt nach Donald Martin, ist eine Aussage aus der unendlichen Kombinatorik, mit der dieser Wunsch in Erfüllung geht. In diesem Artikel stellen wir dieses Axiom vor und beweisen einige interessante Folgerungen aus der Mengenlehre, der Kombinatorik, der Analysis sowie der Topologie. Einige von ihnen stellen sich zudem als äquivalent zu Martins Axiom heraus.
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Stern Mathematik: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
Freigegeben von matroid am Mi. 06. Februar 2008 09:24:50
Verfasst von flx - (14880 x gelesen)
Spiele+Rätsel \(\begingroup\)
Der "Rubiks Cube", in Deutschland auch "Zauberwürfel" genannt, ist wohl das bekannteste Spielzeug aus den 80er Jahren! Jeder hatte damals einen. Es handelt sich um einen kleinen Würfel mit Aufklebern in sechs verschiedenen Farben auf allen Seiten, an dem sich jede Seite drehen lässt. Ziel ist es, den Würfel in die Ausgangssituation zurückzudrehen, d.h. so, dass jede Seite einheitlich gefärbt ist.

In diesem Artikel möchte ich eine Einführung zu diesem Spielzeug geben und kurz (!) anschneiden, wie man ihn mathematisch beschreiben kann. Es stellt sich nämlich heraus, dass der Rubiks Cube ein schönes Beispiel für eine Permutationsgruppe ist, nämlich eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf 48 bzw. 54 Elementen. Meiner Ansicht nach das perfekte Hobby (nicht unbedingt nur für Mathe-Fans).\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Inklusion in der Mathematik
Freigegeben von matroid am Mo. 29. Mai 2017 19:17:00
Verfasst von buh - (623 x gelesen)
Bildung \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Inklusion in der Mathematik

Über Grundsätze ethischen Rechnens
 
Berlin. In einer Gesellschaft aktiver Teilhabe aller am gesellschaftlichen Leben, unabhängig von Religion, Immobilität oder Intelligenz, können gewisse, aus historischem Kontext gewachsene Regeln und Normen der Mathematik heute nicht mehr als ethisch korrekt bezeichnet werden.
 
Daher ist im Bundesministerium für Bildung und Forschung ein Gesetz in Vorbereitung, das diese Diskriminierungen zukünftig verhindern soll.
 
Konkret sieht das so aus:\(\endgroup\)
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Mathematik: Klassifikation beschränkter Torsionsmoduln
Freigegeben von matroid am Do. 04. Mai 2017 09:52:26
Verfasst von Triceratops - (453 x gelesen)
Mathematik \(\begingroup\)

Klassifikation beschränkter Torsionsmoduln

Eine abelsche Gruppe \(A\) heißt beschränkt, wenn es eine natürliche Zahl \(n > 0\) gibt mit \(n \cdot A = 0\). Es hat also jedes Element eine endliche Ordnung, und diese endlichen Ordnungen können beschränkt werden. Zum Beispiel ist jede endliche abelsche Gruppe beschränkt (man kann \(n=\mathrm{ord}(A)\) nehmen), aber es ist auch jede (unendliche) direkte Summe \(A = \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}/n_i \) endlicher zyklischer Gruppen beschränkt, solange \(\{n_i : i \in I\}\) beschränkt ist. Tatsächlich hat jede beschränkte abelsche Gruppe diese Form; das beweisen wir in diesem Artikel. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen. Die Eindeutigkeit der Zerlegung im Falle von Primpotenzen beweisen wir mithilfe der Ulm-Invarianten. Allgemeiner gilt dies alles auch für beschränkte Moduln über einem Hauptidealring.
\(\endgroup\)
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Mathematik: Ableitungen mit dualen Zahlen
Freigegeben von matroid am Di. 04. April 2017 16:19:13
Verfasst von Triceratops - (835 x gelesen)
Mathematik \(\begingroup\)

Ableitungen mit dualen Zahlϵn

In diesem Artikel geht es um den Ring der dualen Zahlen \(R[\varepsilon]\) und wie sich mit ihm elegant ohne einen Limesprozess Ableitungen von Polynomen, rationalen Funktionen und Potenzreihen definieren und berechnen lassen. Grundlage dafür ist die Gleichung
\[f(T+\varepsilon)=f(T) + f'(T) \varepsilon.\] Dieses Vorgehen hat Anwendungen auf das automatische Differenzieren und kann zugleich als elementarer Einstieg in die glatte infinitesimale Analysis gesehen werden.
\(\endgroup\)
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 12. März 2017 14:46:21
Verfasst von Triceratops - (206 x gelesen)
Mathematik \(\begingroup\)

Zappa-Szép-Produkte

Im 1. Teil haben wir uns mit dem Zappa-Szép-Produkt von Gruppen bzw. Monoiden befasst, einer naheliegenden Verallgemeinerung des semidirekten Produktes. Insbesondere haben wir gesehen, dass jedes Distributivgesetz zwischen zwei Monoiden ein Zappa-Szép-Produkt liefert, und umgekehrt. In diesem 2. Teil werden wir nun dasselbe für Monoidobjekte in monoidalen Kategorien beweisen. Es werden daher auch Grundkenntnisse der Kategorientheorie vorausgesetzt. An die Stelle von Rechnungen mit Elementen treten dann kommutative Diagramme. Der Vorteil dieser Allgemeinheit besteht unter anderem darin, dass man für jede konkrete Wahl der monoidalen Kategorie ein eigenes Zappa-Szép-Produkt bekommt. Für die monoidale Kategorie der Moduln bedeutet das etwa, dass man ein Zappa-Szép-Produkt für Algebren bekommt, das üblicherweise schiefes oder veschränktes Produkt genannt wird. Für die monoidale Kategorie der Endofunktoren einer Kategorie bekommt man ein Zappa-Szép-Produkt für Monaden, welches üblicherweise die Komposition von Monaden genannt wird. Wir beweisen zudem eine universelle Eigenschaft des Zappa-Szép-Produktes. Wir beenden den Artikel mit einer 2-kategoriellen Interpretation von Distributivgesetzen und Zappa-Szép-Produkten von Monaden.
\(\endgroup\)
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Mathematik: Elemente von Euklid - eine brandneue Online Version mit CC BY-SA 3.0 Lizenz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. Februar 2017 18:40:12
Verfasst von bookofproofs - (554 x gelesen)
Bildung \(\begingroup\)
Liebe Geometriefreunde und Freunde der axiomatischen Methode,

diese wurde von den Alten Griechen erfunden und das erste Meisterstück, in der sie ausgiebig angewendet wurde, waren die "Elemente" von Euklid.

Ich möchte Euch auf eine neue, englischsprachige, online-gestellte Version dieses epochalen Werkes aufmerksam machen, die sich unter

http://www.bookofproofs.org/branches/euclids-elements/

befindet. Was ich persönlich hilfreich finde, ist die Möglichkeit, dass auf jeder Seite, die einen Satz bzw. eine Definition enthält, gleichzeitig zu sehen ist, welche Sätze aus diesem Satz bzw. dieser Definition folgen (Logical Successors) bzw. welche ihr logisch vorangehen (Logical Predecessors). Auch die Liste der zugrunde liegenden Axiome ist dort zu sehen. Auf diese Weise ist es z.B. einfach, zu erkennen, ab wann im Gesamtwerk das 5. Parallelenpostulat zum ersten Mal verwendet wird, oder zu erkennen, in welchen Beweisen Begriffe wie "circle" oder "straight-line" verwendet werden.\(\endgroup\)
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
Freigegeben von matroid am Di. 21. Februar 2017 21:24:56
Verfasst von Triceratops - (632 x gelesen)
Mathematik \(\begingroup\)

Zappa-Szép-Produkte

Eine Gruppe heißt semidirektes Produkt von einer Untergruppe und einem Normalteiler, wenn sich jedes Gruppenelement eindeutig als ein Produkt von einem Element der Untergruppe mit einem Element des Normalteilers schreiben lässt. Lässt man anstelle eines Normalteilers eine Untergruppe zu, gelangt man zum Begriff eines Zappa-Szép-Produktes. Genau wie semidirekte Produkte durch eine Wirkung der Untergruppe auf den Normalteiler bestimmt sind, gibt es bei Zappa-Szép-Produkten eine Art gegenseitige Wirkung der beiden Untergruppen aufeinander. Diese Wirkungen werden Distributivgesetze genannt. In diesem 1. Teil soll es um die Korrespondenz zwischen Zappa-Szép-Produkten und Distributivgesetzen gehen. Die genaue Beziehung zu semidirekten Produkten wird ebenfalls besprochen. Weil die Inversenbildung in Gruppen für die Konstruktionen irrelevant sind, werden wir uns stattdessen mit Monoiden befassen, also Mengen zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element. Außerdem werden wir die Axiome eines Distributivgesetzes kompakt anhand von kommutativen Diagrammen umformulieren. Das ist zugleich die Voraussetzung für den 2. Teil, in dem wir das Zappa-Szép-Produkt in einem kategorientheoretischen Rahmen einführen und damit auch eine Brücke zu Distributivgesetzen von Algebren und Monaden schlagen werden.
\(\endgroup\)
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Physik: Verschwindendes Feld im Inneren einer Hohlkugel: Elementarer Beweis
Freigegeben von matroid am Sa. 11. Februar 2017 17:29:53
Verfasst von Yakob - (536 x gelesen)
Physik \(\begingroup\)
Der Satz ist möglicherweise vielen bekannt, insbesondere allen, die auch einmal Physik studiert haben:

Das elektrische Feld einer Sphäre, deren Oberfläche eine homogen verteilte Ladung trägt, ist in jedem inneren Punkt der Kugel gleich Null. Ebenso verschwindet auch die Gravitation, die von einer homogen mit Masse belegten Hohlkugel auf eine kleine, irgendwo im Inneren  dieser Kugelschale befindliche Probemasse ausgeübt wird.



Bewiesen wird diese interessante Eigenschaft normalerweise mittels (nicht ganz einfacher) Doppelintegrale oder mittels der Integralsätze (insbesondere Satz von Gauß).

Man kann zu dem gleichen Ergebnis aber auch durch eine relativ einfache, fast schon elementargeometrische Überlegung kommen. Eine Grundidee aus der Analysis, nämlich Betrachtungen an Differentialen, spielt aber trotzdem herein.\(\endgroup\)
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