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Mathematik: Elemente der Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am So. 31. Dezember 2017 10:31:20
Verfasst von Nichtarchimedes - (435 x gelesen)
Mathematik 

Elemente der Kategorientheorie



Elemente und Kategorientheorie in derselben Überschrift? Passt das zusammen? Es passt. In diesem Artikel soll eine Möglichkeit vorgestellt werden, den Elementkalkül der elementaren Mengenlehre in allgemeinen Kategorien zu entwickeln und mit der neu gewonnen Sichtweise Konzepte aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien zu übertragen. Bei diesem Vorgehen werden wir ganz natürlich (wie passend!) auf das bekannte Yoneda-Lemma stoßen, welches uns den Artikel über begleiten wird. Anschließend werden wir einige Konzepte, wie Teilmengen, kartesische Produkte, und Gruppen in allgemeinen Kategorien interpretieren. Zur Lektüre wird kein Vorwissen über Kategorien vorausgesetzt, alles Nötige wird im Artikel eingeführt. Tatsächlich könnte man den Artikel auch als eine unkonventionelle Einführung in einige Konzepte der Kategorientheorie verstehen.

Hier gibt es eine PDF-Version des Artikels (aktualisiert am 02.01.2018).
mehr... | 35999 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Freigegeben von matroid am Sa. 06. März 2010 00:35:51
Verfasst von Florian - (15754 x gelesen)
Mathematik 

Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?

Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

 Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

 Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen  nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
mehr... | 27612 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Matheplanet-Award: MP-Awards für 2017
Freigegeben von matroid am Sa. 30. Dezember 2017 00:00:28
Verfasst von matroid - (701 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
Abstimmung zum Matheplanet-Award für 2017





 
  Matheplanet-Mitglieder-Award
für 2017


Awards werden in 10 Kategorien vergeben. Für die Awards sollen Mitglieder nominiert werden, die im Jahr 2017 in der jeweiligen Kategorie positiv hervorgetreten sind.

Grundsätzlich kann jedes Mitglied jedes Mitglied nominieren und wählen.

Bitte gib Deine Stimme ab, denn damit drückst Du Deine Zufriedenheit und Anerkennung aus. Wähle in jeder Kategorie Deinen Favoriten unter den Nominierten, oder trage Deine Nominierung ein.

Jedes Mitglied kann in jeder Kategorie beliebig viele Stimmen abgeben, solange die Stimmen verschiedenen Kandidaten gegeben werden. Um weitere Stimmen abzugeben, rufe das Wahlformular bitte mehrfach auf.

Du kannst abstimmen bis zum 19.1.2018. Die feierliche Verleihung der Matheplanet-Awards findet am 21.1.2018 hier auf dem Matheplaneten statt.
mehr... | 10531 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Matheplanet-Award


Mathematik: Divisormatrizen
Freigegeben von matroid am Do. 28. Dezember 2017 13:25:59
Verfasst von blindmessenger - (750 x gelesen)
Mathematik 
Divisormatrizen:

Für ungerade Zahlen lassen sich Divisormatrizen erzeugen, die eine Struktur aufweisen, aus der man bestimmte Eigenschaften schließen kann. Wie man diese Divisormatrizen erzeugt und was für Eigenschaften man daraus ableiten kann will ich euch in diesem Artikel näher bringen:

Zuerst definieren wir eine Matrix, die ich im folgenden Mersennematrix $M_M$ nennen will.

mehr... | 11341 Bytes mehr | 36 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Physik: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
Freigegeben von matroid am Mi. 27. Dezember 2017 00:09:40
Verfasst von Frances - (394 x gelesen)
Physik 
In diesem Artikel werden nicht-relativistische Herleitungen des Äquivalenzprinzips Energie-Masse und der dynamischen Massenformel gezeigt.
mehr... | 2182 Bytes mehr | 11 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Physik


buhs Montagsreport: Der Letzte Report - Am Ende der Zeit
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Dezember 2017 19:42:42
Verfasst von leonardo_ver_wuenschmi - (178 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
Urlogo für buhs Montagsreport
Der Letzte Report

Am Ende der Zeit
 

Zinbiel: Unerbittlich naht es. Das Ende der Zeit. Und damit naht auch die Nachzeit, in der auf allen Kanälen resümiert, also Fazit gezogen wird. Nach dem Ende.
Noch ist die Vorzeit-Zeit, in der Facetten noch eine Rolle spielen und man in der Fußgängerzone auch auf tierische Esel trifft.
Zeit also ist es wieder für den LETZTEN REPORT, für die Abrechnung zum Tag des Längsten Gesichts, Zeit auch für die Spenden an K.Mehl@buhnet.com für die bedauernswerten Menschen, denen der Rechen fehlt.
Und weil es im Dezember schon immer so war, ist es auch in diesem Jahr im Dezember letztmalig endzeitig so, dass buhs Montagsreport bilanziert, wie, ob und wodurch die Prophezeiungen des Le eingetreten sind:
mehr... | 7873 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | buhs Montagsreport


Mathematik: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
Freigegeben von matroid am Mo. 11. Dezember 2017 21:20:41
Verfasst von Marbin - (616 x gelesen)
Mathematik 
Im folgenden Artikel zeigen wir die Identität \[ -\frac{4}{3}\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot \left ( \psi^{(0)} \left (k+\frac{1}{2} \right)+\gamma +\ln(4) \right)}{k}=\zeta (2). \]
\(\psi^{(0)}\) ist hier die Digamma-Funktion und \(\gamma\) die Euler-Mascheroni-Konstante.
mehr... | 331 Bytes mehr | 13 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Ein kleines Programm zum Zeichnen des Apfelmännchens in Java
Freigegeben von matroid am So. 03. Dezember 2017 21:19:56
Verfasst von Delastelle - (320 x gelesen)
Software 
Leider wurden das DOS-Programm Fractint und das Windows-Programm Winfract nicht mehr weiterentwickelt. Um trotzdem Fraktale zu erzeugen, habe ich hier ein Java-Programm zur Erzeugung des Apfelmännchens. Im Anschluss noch einige Fraktale, die mit Fractint erzeugt wurden.
mehr... | 7437 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Physik: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. November 2017 10:30:38
Verfasst von StefanVogel - (618 x gelesen)
Physik 
Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz

Über die Maxwell-Gleichungen ist an verschiedenen Stellen zu lesen, dass davon nur einige Gleichungen physikalische, experimentell bestätigte Annahmen sein müssen und die übrigen sind geometrische und mathematische Schlussfolgerungen. Auch bei der Auswahl der physikalischen Annahmen kann man anscheinend variieren, entweder man leitet aus den einen die anderen her oder umgekehrt. In diesem Artikel möchte ich so eine Herleitung versuchen, und zwar ausgehend

von der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \)

und dem Satz von Schwarz \( {\dfrac {\partial }{\partial x}}\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\dfrac {\partial }{\partial y}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right) \).

mehr... | 13708 Bytes mehr | 8 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Physik


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Buchbesprechung

Härterich, Jörg
Mathematik für Physiker 2 - Lineare Algebra

Rezensiert von Phi1:
Das vorliegende Buch "Mathematik für Physiker 2 - Lineare Algebra" von Jörg Härterich ist der zweite und momentan letzte Band seiner Buchreihe zur mathematischen Grundausbildung für Physiker. Wie schon im ersten Band findet man auch im zweiten eine schöne Darstellung der Lineare ... [mehr...]
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