Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
Von: FlorianM
Datum: Di. 29. August 2006 20:07:17
Thema: Lineare Algebra


FlorianM und hugoles schreiben:

Logo: Oberstufenmathematik leicht gemacht

Lineare Gleichungssysteme & Co.




Liebe Matheplanetarier,
hugoles und ich wollen den Matheplaneten mit einer Serie erweitern, die sich mit dem Thema Lineare Algebra und Analytische Geometrie befasst.
Wir werden in unserem Kapitel 1 auf Lineare Gleichungssysteme eingehen und nach und nach auf das weite Gebiet der Vektoren vorstoßen.

Ziel dieser Serie soll es sein, Schülern das große Gebiet der Analytischen Geometrie auf verständliche Art und Weise näher zu bringen und anhand zahlreicher Beispiele die (Rechen-) Verfahren im Umgang mit Vektoren vorzuführen.
1 Einführung
2 Grundlagen aus der Mittelstufe
   2.1 Einzelne lineare Gleichungen
   2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
   2.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen
3 Gaußsches Eliminationsverfahren
  3.1 Einführung
  3.2 Welche Umformungen sind erlaubt?
  3.3 Anwenden auf das Beispiel
  3.4 Schema
4 Matrixform
  4.1 LGS in Matrixforum
  4.2 LGS hat keine Lösung
  4.3 LGS hat unendlich viele Lösungen
5 Abschluss
1 Einführung

Die Artikelserie, die wir hiermit beginnen wollen, erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit und verzichtet der Übersichtlichkeit halber überwiegend auf Beweise der verwendeten Sätze und Gesetzmäßigkeiten. Die Artikel werden daher nicht unbedingt der mathematischen Exaktheit gerecht, die für derartige Arbeiten sonst gefordert wird.

Daraus ergibt sich schon, dass sich diese Artikelserie nicht an die „ausgebildeten Mathematiker“ richtet, sondern an diejenigen, die „nur“ einen Streifzug durch die Analytische Geometrie machen wollen oder die bestimmte Verfahren nochmals nachlesen möchten.
Zum Adressatenkreis sollen ausdrücklich Schüler der oberen Mittelstufe bzw. der Oberstufe gehören.

Unsere Artikel sollen zum einen unterhaltsam und locker sein und zum anderen jedoch so umfangreich, dass ein Oberstufenschüler hier möglichst viele Beispiele, Regeln und Anwendungen findet.
2 Grundlagen aus der Mittelstufe

Um auch das zentrale Thema dieses Artikels, das Gaußsche Eliminationsverfahren, nachvollziehen zu können, wollen wir in diesem Abschnitt die Grundlagen aus der Mittelstufe etwas auffrischen.

2.1 Einzelne lineare Gleichungen



In diesem Beispiel haben wir alle Verfahren angewendet, die beim Umformen einzelner Gleichungen erlaubt, also äquivalent sind:
Addieren/Subtrahieren von Termen auf beiden Seiten der Gleichung, sowie das Multiplizieren oder Dividieren von Termen, ungleich Null, auf beiden Seiten der Gleichung.

2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen



  • Das Einsetzungsverfahren



  • Das Gleichsetzungsverfahren



  • Additionsverfahren



  • Welches Verfahren eignet sich am besten für welches Gleichungssystem



  • 2.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen


    3 Gaußsches Eliminationsverfahren

    3.1 Einführung







    3.2 Welche Umformungen sind erlaubt?



    3.3 Anwenden auf das Beispiel



    Dreiecksform

    Danach multiplizieren wir die erste Gleichung mit –3, addieren dieser zur dritten Gleichung und ersetzen die dritte Gleichung durch dieses Ergebnis.

    So haben wir das LGS auf Dreiecksform gebracht. Hier die Schritte im Einzelnen:

    Beispiel



    3.4 Schema


    4 Matrixform

    4.1 LGS in Matrixform


    Matrix1




    Matrix 2



    Matrix 2

    Matrix 3



    4.2 Klassifikationen / Fallunterscheidungen


    1. Fall




    2. Fall




    3. Fall

    5 Abschluss

    Dies soll uns im Moment als Grundwissen reichen.
    Wer noch mehr über LGS und das Gauß-Eliminationsverfahren erfahren möchte, dem sei der Artikel von Siah ans Herz gelegt.

    In diesem Kapitel haben wir ein wichtiges Hilfsmittel aus der Analytischen Geometrie bereit gestellt, das wir in den folgenden Abschnitten, zu denen wir noch kurz einen kleinen Überblick geben wollen, intensiv nutzen werden.

    Trennlinie
  • Kapitel 1: Lineare Gleichungsysteme & Co
  • Kapitel 2: Einführung in die analytische Geometrie
  • Kapitel 3: Geraden und Ebenen
  • Kapitel 4: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 5: Das Vektorprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 6: Das Spatprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 7: Exkurs: Die Plückerform
  • Kapitel 8: Abstandsberechnungen
  • Kapitel 9: Lageuntersuchungen
  • Kapitel 10: Kreise und Kugeln
  • Kapitel 11: Wichtige Formeln fürs Abitur


  • Der Name "Oberstufenmathematik leicht gemacht" dieser Artikelreihe stammt von dem beim pd-Verlag erschienenden Buch Oberstufenmathematik leicht gemacht. Ein verständliches Buch, das die Themen der Oberstufenmathematik anschaulich und präzise erklärt.


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