Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
Von: Triceratops
Datum: Di. 21. Februar 2017 21:24:56
Thema: Mathematik


Zappa-Szép-Produkte

Eine Gruppe heißt semidirektes Produkt von einer Untergruppe und einem Normalteiler, wenn sich jedes Gruppenelement eindeutig als ein Produkt von einem Element der Untergruppe mit einem Element des Normalteilers schreiben lässt. Lässt man anstelle eines Normalteilers eine Untergruppe zu, gelangt man zum Begriff eines Zappa-Szép-Produktes. Genau wie semidirekte Produkte durch eine Wirkung der Untergruppe auf den Normalteiler bestimmt sind, gibt es bei Zappa-Szép-Produkten eine Art gegenseitige Wirkung der beiden Untergruppen aufeinander. Diese Wirkungen werden Distributivgesetze genannt. In diesem 1. Teil soll es um die Korrespondenz zwischen Zappa-Szép-Produkten und Distributivgesetzen gehen. Die genaue Beziehung zu semidirekten Produkten wird ebenfalls besprochen. Weil die Inversenbildung in Gruppen für die Konstruktionen irrelevant sind, werden wir uns stattdessen mit Monoiden befassen, also Mengen zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element. Außerdem werden wir die Axiome eines Distributivgesetzes kompakt anhand von kommutativen Diagrammen umformulieren. Das ist zugleich die Voraussetzung für den 2. Teil, in dem wir das Zappa-Szép-Produkt in einem kategorientheoretischen Rahmen einführen und damit auch eine Brücke zu Distributivgesetzen von Algebren und Monaden schlagen werden.

Das interne Zappa-Szép-Produkt für Monoide

Sei <math>\underline{M}=(M,\cdot,1)</math> ein Monoid, das zwei Untermonoide <math>A \subseteq M</math>, <math>B \subseteq M</math> besitzt derart, dass jedes Element <math>m \in M</math> eine eindeutige Faktorisierung
 
<math>\displaystyle m = a \cdot b</math>
 
mit <math>a \in A</math>, <math>b \in B</math> besitzt. Wir nennen dann <math>\underline{M}</math> ein internes Zappa-Szép-Produkt von <math>\underline{A}=(A,\cdot,1)</math> und <math>\underline{B}=(B,\cdot,1)</math>. Man schreibt dann <math>\underline{M} = \underline{A} \bowtie \underline{B}</math>. Wenn <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math> beides Gruppen sind, dann ist auch <math>\underline{A} \bowtie \underline{B}</math> eine Gruppe. Synonyme für "Zappa-Szép-Produkt" sind "allgemeines Produkt" (general product), "Strickprodukt" (knit product), Gruppe/Monoid mit "exakter Faktorisierung" (exact factorization) sowie "beidseitig verschränktes Produkt" (bicrossed product).
 
Sei <math>\underline{M}</math> ein Zappa-Szép-Produkt von <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math>. Dann können wir für <math>a \in A</math>, <math>b \in B</math> das Element <math>b \cdot a \in M</math> schreiben als

<math>b \cdot a = \sigma_1(b,a) \cdot \sigma_2(b,a)</math>
 
mit <math>\sigma_1(b,a) \in A</math> und <math>\sigma_2(b,a) \in B</math>. Das legt zwei Abbildungen

<math>\displaystyle \sigma_1 : B \times A \to A,\quad \sigma_2 : B \times A \to B</math>

fest, die wir das zum Zappa-Szép-Produkt gehörige Distributivgesetz nennen. Die Multiplikation in <math>M</math> ist durch jene in <math>A</math> und <math>B</math> und die Abbildungen <math>\sigma_1,\sigma_2</math> vollständig festgelegt: Es gilt nämlich
 
<math>(a \cdot b) \cdot (a' \cdot b') = a \cdot (b \cdot a') \cdot b' = a \cdot (\sigma_1(b,a') \cdot \sigma_2(b,a')) \cdot b'</math>

und daher

<math>\displaystyle \text{\color{blue} (M)~~} (a \cdot b) \cdot (a' \cdot b') = (a \cdot \sigma_1(b,a')) \cdot (\sigma_2(b,a') \cdot b').</math>
 
Dass <math>\underline{M}</math> ein Monoid ist, äußert sich nun, davon abgesehen, dass <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math> ebenfalls Monoide sind, in einigen Gleichungen, die <math>\sigma_1</math> und <math>\sigma_2</math> erfüllen müssen. So impliziert etwa <math>1 \cdot a = a \cdot 1</math> die Gleichungen
 
<math>\text{\color{blue} (1)~~} \sigma_1(1,a) = a\smallskip\\
\text{\color{blue} (2)~~} \sigma_2(1,a)=1</math>
 
Ähnlich erhalten wir aus <math>b \cdot 1 = 1 \cdot b</math> die Gleichungen
 
<math>\text{\color{blue} (3)~~} \sigma_1(b,1) = 1\smallskip\\
\text{\color{blue} (4)~~} \sigma_2(b,1) = b</math>

Als Nächstes nutzen wir die Assoziativität von <math>M</math> aus. Es gilt einerseits
 
<math>\displaystyle (b \cdot b') \cdot a = \sigma_1(b \cdot b',a) \cdot \sigma_2(b \cdot b',a),</math>
 
und andererseits
 
<math>\displaystyle b \cdot (b' \cdot a)=b \cdot \sigma_1(b',a) \cdot \sigma_2(b',a) = \sigma_1(b,\sigma_1(b',a)) \cdot \sigma_2(b,\sigma_1(b',a)) \cdot \sigma_2(b',a).</math>
 
Wegen <math>(b \cdot b') \cdot a = b \cdot (b' \cdot a)</math> ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

<math>\text{\color{blue} (5)~~} \sigma_1(b \cdot b',a) = \sigma_1(b,\sigma_1(b',a))\smallskip\\
\text{\color{blue} (6)~~}\sigma_2(b \cdot b',a) &= \sigma_2(b,\sigma_1(b',a)) \cdot \sigma_2(b',a)</math>

Ganz ähnlich erhalten wir aus <math>b \cdot (a \cdot a') = (b \cdot a) \cdot a'</math> die beiden Gleichungen

<math>\text{\color{blue} (7)~~}\sigma_1(b,a \cdot a') &= \sigma_1(b,a) \cdot \sigma_1(\sigma_2(b,a),a')\smallskip\\
\text{\color{blue} (8)~~}\sigma_2(b,a \cdot a') &= \sigma_2(\sigma_2(b,a),a')</math>

Die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (1)}</math>, <math>\text{\color{blue} (3)}</math>, <math>\text{\color{blue} (5)}</math> kann man so zusammenfassen: Es ist <math>\sigma_1</math> eine Linkswirkung des Monoids <math>\underline{B}</math> auf der punktierten Menge <math>(A,1)</math>. Entsprechend lassen sich die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (2)}</math>, <math>\text{\color{blue} (4)}</math>, <math>\text{\color{blue} (8)}</math> so zusammenfassen: Es ist <math>\sigma_2</math> eine Rechtswirkung des Monoids <math>\underline{A}</math> auf der punktierten Menge <math>(B,1)</math>. Die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (6)}</math> und <math>\text{\color{blue} (7)}</math> stellen einen Zusammenhang zwischen <math>\sigma_1</math> und <math>\sigma_2</math> her.

Das externe Zappa-Szép-Produkt

Wir gehen nun umgekehrt von zwei Monoiden <math>\underline{A}=(A,\cdot,1)</math>, <math>\underline{B}=(B,\cdot,1)</math> und zwei Abbildungen

<math>\displaystyle \sigma_1 : B \times A \to A,\quad \sigma_2 : B \times A \to B</math>

aus, welche die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (1)}</math> bis <math>\text{\color{blue} (8)}</math> erfüllen. Wir nennen die dazu korrespondierende Abbildung <math>\sigma=(\sigma_1,\sigma_2) : B \times A \to A \times B</math> auch ein Distributivgesetz (distributive law, matched pair, twisting map). Dann können wir ein Monoid <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> konstruieren: Die Trägermenge sei <math>A \times B = \{(a,b) : a \in A,\, b \in B\}</math>. Die Eins sei <math>(1,1)</math>. Die Multiplikation sei definiert durch

<math>\text{\color{blue} (M')~~} (a,b) \cdot (a',b') := (a \cdot \sigma_1(b,a'),\sigma_2(b,a') \cdot b').</math>
 
Diese Definition ist durch <math>\text{\color{blue} (M)}</math> motiviert. Man kann nun einfach nachrechnen, dass dies tatsächlich ein Monoid ist. Wir führen das hier nicht vor, zumal wir es im 2.  Teil in einem allgemeineren Rahmen tun werden. Es gibt injektive Homomorphismen von Monoiden

<math>\underline{A} \to \underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B},\quad a \mapsto (a,1)\smallskip\\
\underline{B} \to \underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B},\quad b \mapsto (1,b)</math>
 
Wir können daher <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math> mit Untermonoiden von <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> identifizieren. Und tatsächlich ist dann <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> ein Zappa-Szép-Produkt dieser Untermonoide: Es gilt nämlich

<math>\displaystyle (a,b) = (a,1) \cdot (1,b).</math>

Wir nennen daher <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> das externe Zappa-Szép-Produkt von <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math> bezüglich <math>\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)</math>. Wenn <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math> beides Gruppen sind, dann ist auch <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> eine Gruppe.

Im externen Zappa-Szép-Produkt <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> gilt die Gleichung

<math>\displaystyle (1,b) \cdot (a,1) = (\sigma_1(b,a),\sigma_2(b,a)) = (\sigma_1(b,a),1) \cdot (1,\sigma_2(b,a)).</math>

Das zugehörige Distributivgesetz ist also gerade <math>\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)</math>. Umgekehrt gilt: Wenn <math>\underline{M}=(M,\cdot,1)</math> ein internes Zappa-Szép-Produkt von zwei Untermonoiden <math>A\subseteq M</math>, <math>B \subseteq M</math> ist, und <math>\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)</math> das zugehörige Distributivgesetz ist, so ist nach Konstruktion

<math>\displaystyle \underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B} \to \underline{M},\quad (a,b) \mapsto a \cdot b</math>

ein Isomorphismus von Monoiden. Die beiden Konstruktionen sind also zueinander invers.

Wir können diese Beobachtung auch noch etwas anders formulieren: Seien <math>\underline{A}=(A,\cdot,1)</math>, <math>\underline{B}=(B,\cdot,1)</math> zwei Monoide. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Distributivgesetze <math>\sigma : B \times A \to A \times B</math>, also den Abbildungen, welche die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (1)}</math> bis <math>\text{\color{blue} (8)}</math> erfüllen, und der Menge der Monoidstrukturen auf der Menge <math>A \times B</math>, welche die folgenden drei Eigenschaften besitzen:

• Die Abbildung <math>a \mapsto (a,1)</math> ist ein Homomorphismus.
• Die Abbildung <math>b \mapsto (1,b)</math> ist ein Homomorphismus.
• Für alle <math>a \in A</math>, <math>b \in B</math> gilt <math>(a,b) = (a,1) \cdot (1,b)</math>.

Semidirekte Produkte

Beim internen oder externen Zappa-Szép-Produkt kann der Speziallfall <math>\sigma_2(b,a)=b</math> eintreten, d.h. dass die Rechtswirkung von <math>\underline{A}</math> auf <math>B</math> die triviale Wirkung ist. Es bleibt also als relevantes Datum nur noch <math>\varphi := \sigma_1 : B \times A \to A</math> übrig. Man schreibt dann <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> als <math>\underline{A} \rtimes_{\varphi} \underline{B}</math> und nennt dies ein externes semidirektes Produkt von <math>\underline{B}</math> mit Wirkung <math>\varphi</math> auf <math>\underline{A}</math>. Die Multiplikation ist gegeben durch

<math>\displaystyle (a,b) \cdot (a',b') = (a \cdot \varphi(b,a'),b \cdot b').</math>

Die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (1)}</math> bis <math>\text{\color{blue} (8)}</math> vereinfachen sich hier wesentlich: Die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (2)}</math>, <math>\text{\color{blue} (4)}</math>, <math>\text{\color{blue} (6)}</math>, <math>\text{\color{blue} (8)}</math> gelten automatisch. Die restlichen Gleichungen besagen:

<math>\displaystyle \varphi(1,a)=a,\quad \varphi(bb',a)=\varphi(b,\varphi(b',a)),\quad \varphi(b,1)=1,\quad \varphi(b,aa')=\varphi(b,a) \varphi(b,a')</math>

Das heißt also: Es muss <math>\varphi</math> eine Linkswirkung des Monoids <math>\underline{B}</math> auf dem Monoid <math>\underline{A}</math> sein.
 
Semidirekte Produkte von Gruppen sind ebenfalls Gruppen, weil das allgemeiner für Zappa-Szép-Produkte gilt. Was diesen Fall besonders macht, ist dass <math>\underline{B}</math> automatisch durch Automorphismen auf <math>\underline{A}</math> wirkt.

Ein Monoid <math>\underline{M}=(M,\cdot,1)</math> ist genau dann ein internes semidirektes Produkt von zwei Untermonoiden <math>A \subseteq M</math>, <math>B \subseteq M</math>, wenn sich jedes Element <math>m \in M</math> eindeutig schreiben lässt als <math>m = a \cdot b</math> mit <math>a \in A</math>, <math>b \in B</math> und zusätzlich jedes Element der Form <math>b \cdot a</math> als <math>a' \cdot b</math> geschrieben werden kann. Im Falle von Gruppen bedeutet dies, dass <math>A</math> ein Normalteiler ist, und es gilt <math>\varphi(b,a)=b a b^{-1}</math>.
 
Man kann auch den Fall betrachten, in dem <math>\sigma_1(b,a)=a</math> gilt. Hier bleibt nur noch <math>\sigma_2 : B \times A \to B</math> übrig, was sich als eine Rechtswirkung von <math>\underline{A}</math> auf dem Monoid <math>\underline{B}</math> erweist.
 

Ein einfaches Beispiel

Sei <math>n \geq 1</math>. Dann ist die symmetrische Gruppe <math>S_n</math> ein internes Zappa-Szép-Produkt der Untergruppen <math>\underline{A}=\{\pi \in S_n : \sigma(n)=n\} \cong S_{n-1}</math> und <math>\underline{B}=\langle (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)\rangle \cong C_n</math>. Für <math>\pi \in S_n</math> gilt nämlich die eindeutige Produktzerlegung

<math>\displaystyle \pi = \bigl(\pi \circ (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^{\pi^{-1}(n)}\bigr) \circ (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^{-\pi^{-1}(n)}.</math>

Für <math>n \geq 4</math> sind beide Untergruppen keine Normalteiler, sodass kein semidirektes Produkt vorliegt. Berechnen wir nun das Distributivgesetz: Für <math>\pi \in A</math> und <math>0 \leq k < n</math> gilt

<math>\displaystyle ((1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^k \circ \pi)^{-1}(n) = \pi^{-1}((1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^{-k}(n))=\pi^{-1}(n-k)</math>

und daher

<math>\displaystyle \sigma_2((1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^k,\pi)=(1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^{-\pi^{-1}(n-k)}</math>

und
 
<math>\displaystyle \sigma_1((1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^k,\pi) = (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^k \circ \pi \circ (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^{\pi^{-1}(n-k)}.</math>

Der letzte Ausdruck wird zwar in <math>S_n</math> gebildet, ist aber tatsächlich nach Konstruktion in <math>A</math> enthalten. In Anbetracht der Gleichungen <math>\text{\color{blue}(1)}</math> bis <math>\text{\color{blue}(8)}</math> sind die Abbildungen <math>\sigma_1</math> und <math>\sigma_2</math> durch die folgenden Werte bereits bestimmt:

<math>\displaystyle \sigma_1((1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n),(j ~ j{+}1)) = \left\{\begin{array}{ll} (j{+}1  ~ j{+}2) & \text{falls } j < n-2 \\ (n{-}1 ~ \dotsc ~ 2 ~ 1) & \text{falls } j = n-2 \end{array}\right.</math>

<math>\displaystyle \sigma_2((1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n),(j ~ j{+}1)) = \left\{\begin{array}{ll} (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n) & \text{falls } j < n-2 \\ (1 ~ 2 ~ \dotsc ~ n)^2 & \text{falls } j = n-2\end{array}\right.</math>
 

Die vier Diagramme eines Distributivgesetzes

Die acht Gleichungen, die ein Distributivgesetz <math>(\sigma_1,\sigma_2)</math> erfüllen muss, lassen sich sehr kompakt darstellen, indem wir zum einen die gepaarte Abbildung

<math>\displaystyle \sigma = (\sigma_1,\sigma_2) : B \times A \to A \times B</math>

betrachten, und zum anderen kommutative Diagramme verwenden.

Wir stellen zunächst fest, dass die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (1)}</math> und <math>\text{\color{blue} (2)}</math> äquivalent dazu sind, dass das Diagramm

<math>\text{\color{blue} (U1)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=20pt]
 & A \ar{dl}[swap]{\eta_B \times A} \ar{dr}{A \times \eta_B} & \\
B \times A \ar{rr}{\sigma} && A \times B
\end{tikzcd}</math>
 
kommutiert. Dabei bezeichnen wir die Eins von <math>B</math> nun der Klarheit halber mit <math>\eta_B</math>, und <math>\eta_B \times A</math> bezeichnet die Abbildung <math>A \to B \times A</math>, <math>a \mapsto (\eta_B,a)</math>. Analog bedeuten die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (3)}</math> und <math>\text{\color{blue} (4)}</math>, dass das Diagramm

<math>\text{\color{blue} (U2)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=20pt]
 & B \ar{dl}[swap]{B \times \eta_A} \ar{dr}{\eta_A \times B} & \\
B \times A \ar{rr}{\sigma} && A \times B
\end{tikzcd}</math>
 
kommutiert. Die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (5)}</math> und <math>\text{\color{blue} (6)}</math> wiederum, die ja zu <math>(b \cdot b') \cdot a = b \cdot (b' \cdot a)</math> äquivalent waren, entsprechen der Kommutativität des folgenden Diagramms, wobei <math>\mu_A : A \times A \to A</math>, <math>(a,a') \mapsto a \cdot a'</math> die Multiplikation bezeichnet.

<math>\text{\color{blue} (A1)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=25pt]
B \times B \times A \ar[swap]{d}{\mu_B \times A} \ar{r}{B \times \sigma} & B \times A \times B \ar{r}{\sigma \times B} & A \times B \times B \ar{d}{A \times \mu_B} \\
B \times A \ar{rr}{\sigma} && A \times B
\end{tikzcd}</math>
 
Analog bedeuten die Gleichungen <math>\text{\color{blue} (7)}</math> und <math>\text{\color{blue} (8)}</math>, dass das Diagramm

<math>\text{\color{blue} (A2)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=25pt]
B \times A \times A \ar[swap]{d}{B \times \mu_A} \ar{r}{\sigma \times A} & A \times B \times A \ar{r}{A \times \sigma} & A \times A \times B \ar{d}{\mu_A \times B} \\
B \times A \ar{rr}{\sigma} && A \times B
\end{tikzcd}</math>
 
kommutiert.

Wir bemerken schließlich, dass die Multiplikationsabbildung des externen Zappa-Szép-Produktes für <math>\sigma</math> gerade die Komposition

<math>\displaystyle A \times B \times A \times B \xrightarrow{ ~ A \times \sigma \times B ~ } A \times A \times B \times B \xrightarrow{ ~ \mu_A \times \mu_B ~ } A \times B</math>

ist (vgl. <math>\text{\color{blue} (M')}</math>). Die Eins ist <math>(\eta_A,\eta_B) \in A \times B</math>.

Quellen

Hier eine Sammlung von Quellen, die ich teilweise benutzt habe, teilweise aber auch lediglich zum Weiterlesen hier aufführe.

• Wikipedia, Semidirect product, Link
• Wikipedia, Zappa-Szép product, Link
• Wikipedia, Distributive law between monads, Link
• Wikipedia, Ore extension, Link
• A. L. Agore, A. Chirvasitu, B. Ion, G. Militaru, Bicrossed products for finite groups, Link
• A. L. Agore, G. Militaru, Schreier type theorems for bicrossed products, Link
• A. L. Agore, G. Militaru, Classifying complements for groups. Applications, Link
• R. Wisbauer, Algebras versus coalgebras, Link
• S. Caenepeel, B. Ion, G. Militaru, S. Zhu, The factorization problem and the smash biproduct of algebras and coalgebras, Link
• Z. Jiao, R. Wisbauer, The braided structures for T-smash product Hopf algebras, Link
• nlab, Distributive law, Link
• Jon Beck, Distributive laws, Link (S. 95-112)
• Ross Street, The formal theory of monads, Link
• Stephen Lack, Ross Street, The formal theory of monads II, Link


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