Klassifikation beschränkter Torsionsmoduln
Von: Triceratops
Datum: Do. 04. Mai 2017 09:52:26
Thema: Mathematik


Klassifikation beschränkter Torsionsmoduln

Eine abelsche Gruppe <math>A</math> heißt beschränkt, wenn es eine natürliche Zahl <math>n > 0</math> gibt mit <math>n \cdot A = 0</math>. Es hat also jedes Element eine endliche Ordnung, und diese endlichen Ordnungen können beschränkt werden. Zum Beispiel ist jede endliche abelsche Gruppe beschränkt (man kann <math>n=\mathrm{ord}(A)</math> nehmen), aber es ist auch jede (unendliche) direkte Summe <math>A = \bigoplus_{i \in I} \mathds{Z}/n_i </math> endlicher zyklischer Gruppen beschränkt, solange <math>\{n_i : i \in I\}</math> beschränkt ist. Tatsächlich hat jede beschränkte abelsche Gruppe diese Form; das beweisen wir in diesem Artikel. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen. Die Eindeutigkeit der Zerlegung im Falle von Primpotenzen beweisen wir mithilfe der Ulm-Invarianten. Allgemeiner gilt dies alles auch für beschränkte Moduln über einem Hauptidealring.

Existenz der Zerlegung

Satz. Sei <math>R</math> ein Hauptidealring. Sei <math>M</math> ein beschränkter <math>R</math>-Modul, d.h., es gibt ein <math>0 \neq r \in R</math> mit <math>rM = 0</math>. Dann ist <math>M</math> eine direkte Summe von zyklischen <math>R</math>-Moduln.

Beweis. Wir können <math>M</math> als Modul über <math>R/\langle r \rangle</math> auffassen. Wenn <math>r=p_1^{k_1} \dots p_s^{k_s}</math> die Primfaktorzerlegung von <math>r</math> ist, dann ist
 
<math>R/\langle r\rangle  \cong R/\langle p_1^{k_1} \rangle \times \dotsc \times R/\langle p_s^{k_s} \rangle</math>

nach dem chinesischen Restsatz. Daher kann <math>M</math> als <math>M_1 \times \dotsc \times M_s</math> mit <math>R/\langle p_i^{k_i}\rangle</math>-Moduln <math>M_i</math> geschrieben werden. Konkret ist <math>M_i = \{m \in M : \exists k \geq 0.\, p_i^k m = 0\}</math>. Wir können daher annehmen, dass <math>p^k M = 0</math> für ein Primelement <math>p</math> und eine natürliche Zahl <math>k</math>. Wir nennen dann <math>M</math> einen beschränkten <math>p</math>-Torsionsmodul.

Wir machen eine Induktion nach <math>k</math>. Der Fall <math>k=0</math> ist trivial. Nun sei <math>k \geq 1</math>. Es ist <math>pM</math> ein Untermodul von <math>M</math> mit <math>p^{k-1} pM=0</math>. Nach Induktionsannahme ist <math>pM</math> eine direkte Summe von zyklischen Moduln <math>\langle p m_i \rangle</math>, o.B.d.A. <math>p m_i \neq 0</math>. Die Summe der <math>\langle m_i \rangle</math> ist dann ebenfalls direkt: Aus <math>\sum_i r_i m_i = 0</math> folgt <math>\sum_i r_i p m_i = 0</math>, also <math>r_i p m_i=0</math> für alle <math>i</math>. Insbesondere ist <math>\overline{r_i}</math> keine Einheit in <math>R/p^k</math>. In <math>R/p^k</math> gilt daher <math>\overline{r_i} = p \overline{s_i}</math> für ein <math>s_i \in R</math>. Es folgt <math>\sum_i s_i p m_i = 0</math> und daher <math>s_i p m_i=0</math> für alle <math>i</math>, also <math>r_i m_i=0</math> für alle <math>i</math>.

Sei <math>P = \{x \in M : px=0\}</math>. Diesen Untermodul können wir als Vektorraum über <math>R/\langle p \rangle</math> auffassen. Der Untermodul <math>P \cap \sum_i \langle m_i \rangle \subseteq P</math> hat also ein Komplement <math>N \subseteq P</math>. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass <math>N</math> eine direkte Summe von Kopien von <math>R/\langle p \rangle</math> ist. Wir behaupten nun <math>M = N \oplus \sum_i \langle m_i \rangle</math>, woraus die Behauptung folgen wird.

Es gilt <math>N \cap \sum_i \langle m_i \rangle = N \cap P \cap \sum_i \langle m_i \rangle = \{0\}</math>. Nun sei <math>x \in M</math> beliebig. Dann ist <math>px \in pM = \sum_i \langle p m_i \rangle</math>, etwa <math>px = \sum_i r_i p m_i</math>. Für <math>y := x - \sum_i r_i m_i</math> folgt <math>y \in P</math>. Wir finden also <math>n \in N</math> und <math>\sum_i s_i m_i \in P \cap \sum_i \langle m_i \rangle</math> mit <math>y  = n+\sum_i s_i m_i</math>. Dann ist <math>x =n+ \sum_i (r_i+s_i) m_i</math>.  <math>\square</math>
 
Der Satz kann als Verallgemeinerung des Struktursatzes für endlich-erzeugte <math>R</math>-Moduln angesehen werden. Der Satz lässt sich nicht nur auf <math>R=\mathds{Z}</math> anwenden, wo wir also über abelsche Gruppen sprechen, sondern auch auf <math>R=K[T]</math> für einen Körper <math>K</math>, wo wir also über <math>K</math>-Vektorräume <math>V</math> zusammen mit einem Endomorphismus <math>f</math> auf <math>V</math> sprechen. Hierbei ist <math>(V,f)</math> beschränkt, wenn <math>f</math> algebraisch ist (also <math>p(f)=0</math> für ein nichttriviales Polynom <math>p \in K[T]</math>). In diesem Fall zerlegt sich <math>V</math> in eine direkte Summe von zyklischen <math>f</math>-invarianten (und folglich endlich-dimensionalen) Unterräumen.

Ausblick. Der Satz besagt, dass jeder <math>R/\langle r \rangle</math>-Modul eine direkte Summe von zyklischen Moduln ist. Cohen und Kaplansky haben gezeigt, dass ein kommutativer Ring <math>S</math> genau dann die Eigenschaft besitzt, dass jeder <math>S</math>-Modul eine direkte Summe von zyklischen Moduln ist, wenn <math>S</math> ein Artinscher Hauptidealring (nicht notwendigerweise nullteilerfrei) ist.
 

Eindeutigkeit der Zerlegung

Die Zerlegung in zyklische Moduln mit aufsteigenden Teilern ist im Gegensatz zum endlichen Fall nicht ganz eindeutig: Zum Beispiel gilt
 
<math>\mathds{Z}/2 \oplus \mathds{Z}/6 \oplus \mathds{Z}/6 \oplus \dotsc  \cong \mathds{Z}/6 \oplus \mathds{Z}/6 \oplus \mathds{Z}/6 \oplus \dotsc.</math>
 
Wir haben aber im Beweis oben gesehen, dass sich ein beschränkter Modul eindeutig als direkte Summe von endlich vielen beschränkten <math>p</math>-Torsionsmoduln darstellen lässt. Die Zerlegung eines beschränkten <math>p</math>-Torsionsmoduls in zyklische Moduln stellt sich nun als eindeutig heraus.
 
Definition. Sei <math>R</math> ein Hauptidealring, <math>p \in R</math> ein Primelement und <math>M</math> ein beschränkter <math>p</math>-Torsionsmodul über <math>R</math>. Wir definieren den Untermodul <math>M[p] := \{x \in M : px=0\}</math> und die Funktion (mit Werten in Kardinalzahlen)

<math>\displaystyle \alpha_M : \mathds{N} \to \mathsf{Card}, \quad n \mapsto \dim_{R/\langle p \rangle} (M[p] \cap p^n M) / (M[p] \cap p^{n+1} M).</math>
 
Wenn <math>p^k M = 0</math>, dann gilt <math>\alpha_M(n)=0</math> für <math>n \geq k</math>. Es hat also <math>\alpha_M</math> endlichen Träger. Aus <math>M \cong N</math> folgt natürlich <math>\alpha_M = \alpha_N</math>.
 
Lemma. Wenn <math>M</math> ein beschränkter <math>p</math>-Torsionmodul ist, der sich als direkte Summe von Untermoduln <math>M_i</math> schreiben lässt, so gilt <math>\alpha_M = \sum_i \alpha_{M_i}</math>.

Das ist klar.

Lemma. Sei <math>k \geq 1</math> und <math>M = R/ \langle p^k \rangle</math>. Dann ist <math>\alpha_M(k-1)=1</math>, und für <math>n \neq k-1</math> gilt <math>\alpha_M(n)=0</math>.

Beweis. Es gilt <math>p^k M = 0</math>. Für <math>n \geq k</math> gilt also <math>\alpha_M(n)=0</math>. Beobachte <math>M[p] = p^{k-1} M</math>. Für <math>n \leq k-1</math> gilt <math>M[p] \cap p^n M = p^{k-1} M \cap p^n M = p^{k-1} M</math>. Für <math>n<k-1</math> gilt also <math>M[p] \cap p^n M = M[p] \cap p^{n+1} M</math> und damit <math>\alpha_M(n)=0</math>. Für <math>n=k-1</math> hingegen gilt <math>\alpha_M(n) = \dim_{R/\langle p \rangle} p^{k-1} M = 1</math>.  <math>\square</math>

Satz. Sei <math>R</math> ein Hauptidealring und <math>M</math> ein beschränkter <math>p</math>-Torsionsmodul über <math>R</math>. Ist dann <math>M \cong \bigoplus_i R/\langle p^{k_i} \rangle</math> irgendeine Zerlegung in zyklische Moduln mit <math>k_i \geq 1</math>, so gibt <math>\alpha_M(n)</math> die Anzahl der Summanden der Form <math>R/\langle p^{n+1} \rangle</math> an. Insbesondere ist diese Anzahl eindeutig bestimmt, und es gilt
 
<math>\displaystyle M \cong \bigoplus_{n \in \mathds{N}} (R/\langle p^{n+1} \rangle)^{\oplus \alpha_M(n)}.</math>
 
Beweis. Dies folgt aus den beiden Lemmata.  <math>\square</math>

Korollar. Sei <math>R</math> ein Hauptidealring. Zwei beschränkte <math>p</math>-Torsionsmoduln <math>M,N</math> über <math>R</math> sind genau dann isomorph, wenn <math>\alpha_M(n)=\alpha_N(n)</math> für alle <math>n \in \mathds{N}</math> gilt.

Schließlich gibt es auch für jede Funktion <math>\alpha : \mathds{N} \to \mathsf{Card}</math> mit endlichem Träger einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten beschränkten <math>p</math>-Torsionsmodul <math>M</math> über <math>R</math> mit <math>\alpha_M(n)=\alpha(n)</math> für alle <math>n \in \mathds{N}</math>, nämlich
 
<math>\displaystyle M = \bigoplus_{n \in \mathds{N}} (R/\langle p^{n+1} \rangle)^{\oplus \alpha(n)}.</math>
 
Damit ist die Klassifikation der beschränkten Torsionsmoduln vollständig.

Ausblick. Ein beliebiger <math>R</math>-Modul zerlegt sich in eine direkte Summe von einem teilbaren <math>R</math>-Modul und einem reduzierten <math>R</math>-Modul (d.h. ein solcher, der keine nichttrivialen teilbaren Untermoduln besitzt). Die teilbaren <math>R</math>-Moduln sind vollständig klassifiziert (wenn wie bei uns <math>R</math> ein Hauptidealring ist), sie sind direkte Summen von Kopien von <math>Q(R)</math> und <math>R/p^{\infty} = R[1/p]/R</math> für Primelemente <math>p \in R</math>. Man kann sich also auf reduzierte Moduln beschränken. Es gibt nun eine Klassifikation abzählbar-erzeugter reduzierter <math>p</math>-Torsionsmoduln über <math>R</math>. Hierbei muss allerdings die Funktion <math>\alpha_M : \mathds{N} \to \mathsf{Card}</math> zu einer Funktion auf der Klasse aller Ordinalzahlen ausgedehnt werden (die erst ab einer gewissen Ordinalzahl Null wird). Diese Kardinalzahlen <math>\alpha_M(n)</math> heißen die Ulm-Invarianten von <math>M</math>, und der Satz von Ulm besagt <math>M \cong N \Leftrightarrow \alpha_M=\alpha_N</math>. Der Beweis baut den Isomorphismus schrittweise über endlich-erzeugte Untermoduln auf.

Literatur.
Irving Kaplansky, Infinite Abelian Groups, The University of Michigan Press, 1954


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