Regelmäßiges Siebeneck: neue Näherungskonstruktion
Von: Yakob
Datum: Sa. 10. Juni 2017 14:10:22
Thema: Mathematik


Regelmäßiges   7 - Eck :
                    eine neue Näherungskonstruktion


Nachdem ich mich vor längerer Zeit einmal mit einer vereinfachten Darstellung einer (exakten) Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks beschäftigt hatte http://matheplanet.com/default3.html?article=1766, steckte ich mir nun ein etwas anderes Ziel:  Ich wollte eine möglichst gute Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck finden, und zwar unabhängig von den schon bekannten Approximationen.

Nun ist mir dies (nachdem ich die Idee dazu vor einigen Tagen hatte) innert eines Tages gelungen, indem ich zuerst ein numerisches Suchprogramm schrieb und laufen ließ und dann vom besten Approximationswert aus eine dazu passende Konstruktion entwarf und mittels Geogebra realisierte.

Das Ergebnis:  Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge (einer Diagonalen) vom exakten Wert im regulären Siebeneck beträgt nur etwa  0.17  Promille.  Damit ist die Konstruktion genauer als die im Wikipedia-Artikel zum Siebeneck angegebenen Alternativen (https://de.wikipedia.org/wiki/Siebeneck#N.C3.A4herungskonstruktionen).  
Die erste Idee war die, dass man für eine Konstruktion eine geeignete Strecke im regelmäßigen Siebeneck möglichst exakt durch Werte darstellen muss, welche sich (mittels Zirkel und Lineal) konstruieren lassen. Natürlich soll die Konstruktion möglichst einfach bleiben, also sollte man sich wenn immer möglich auf wenige und kleine ganzzahlige Werte oder Brüche mit kleinen Zählern und Nennern und auf (via Satz von Pythagoras) leicht konstruierbare Quadratwurzelwerte als Ausgangsmaterial beschränken.
Also entwarf ich zuerst ein Suchprogramm, das versucht, mit solchem Material durch ganz einfache Operationen gute Näherungswerte für einen geeigneten Sinus- oder Cosinuswert von irgendeinem Winkel der Form  <math>\varphi\ =\ k \cdot \pi / 7\quad (k \in \IZ)</math>  zu finden.  Die getesteten Werte  sollten die Form <math>f \cdot \sqrt{a} + \frac  p q </math> haben, wobei für f, p und q  nur kleine ganzzahlige Werte und für a nur die 10 Werte 2,3,5,10,13,15,17,24,26  zugelassen sind.

Nachdem das Programm lief, lieferte es auch bald ein paar gute Approximationen, von welchen ich die beste auswählte, nämlich:

<math>2\, sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right)\ \approx\ 3.8 - \sqrt{5}\ =\ 1.56393.....</math>    (exakter Wert <math>1.56366.....</math>)

Ausgehend von dieser Approximation war es dann auch nicht besonders schwer, eine dazu passende Konstruktion zu erfinden. Da ich sie ohnehin in Geogebra realisieren wollte, stützte ich mich dabei auf das dort verfügbare Koordinatensystem und wählte für den Umkreisradius des zu zeichnenden Siebenecks den Wert  <math>r\ =\ 5</math>. Damit wird die Länge der Schlüsselstrecke (Diagonale von einem Eckpunkt zum übernächsten Eckpunkt) gleich  <math>d\ =\ 19\, - \sqrt{10^2+5^2} </math>.
Der exakte Wert dieser Diagonalenlänge wäre  <math>10 \ sin \left( \frac {2 \pi}{7}  \right)</math> .
Die Konstruktion sieht nun so aus:






Man beginnt mit dem Umkreis mit dem Radius  r = 5  und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O.
Der obere Schnittpunkt des Umkreises mit der vertikalen Achse sei der Eckpunkt A des zu konstruierenden Siebenecks.
Man markiert die Punkte  P(10|0)  und  Q(-9|0)  auf der x-Achse. Man kann diese Punkte natürlich auch nach allen Regeln der Kunst konstruieren.
Nun zeichnet man den Strahl  PA  sowie einen Kreisbogen um den Punkt P, der durch Q geht und diesen Strahl im Punkt S schneidet. Man kann nun (zuerst einmal rechnerisch) verifizieren, dass die Länge d der Strecke  <math> \overline{AS} </math>  fast exakt der Länge der jeweils eine Ecke überspringenden Diagonalen entspricht.
Die Konstruktion geht also so weiter, dass man den Kreisbogen um A mit dem Radius  <math>d\ =\ |\overline{AS}| </math> mit dem Umkreis schneidet und so die Eckpunkte C und F  erhält.  Die restlichen Eckpunkte erhält man (natürlich alle nur näherungsweise) mittels weiterer Kreisbögen mit demselben Radius d  und den Zentren C, F, D und E. Die Genauigkeit der Näherung übertrifft jedenfalls die übliche Zeichengenauigkeit auch eines versierten Zeichners.

Kleiner Hinweis:  Der Eckpunkt G liegt nicht auf dem Strahl PA, sondern knapp darüber !

Und zum Schluss noch ein Tipp für alle, die Geometrie in der Schule unterrichten:  Die Konstruktion eignet sich hervorragend zur Ausführung als Wandtafelzeichnung, insbesondere auf einer mit  5cm x 5cm Karierung. Man wählt dann 1 Kästchen als Maßeinheit.

Auch für das regelmäßige Neuneck habe ich mit denselben Mitteln eine ganz analoge und gute Näherungskonstruktion entwickelt:
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