Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
Von: Yakob
Datum: Sa. 12. August 2017 14:41:09
Thema: Mathematik


Regelmäßiges  9 - Eck :

Näherungskonstruktion


Gerade hatte ich eine Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck entworfen und hier eingebracht.
http://matheplanet.com/default3.html?article=1798
Anschließend fragte ich mich, ob ich mit denselben Mitteln (also mit dem einfachen Suchprogramm für gute Approximationswerte) auch z.B. eine analoge Konstruktion für andere Vielecke, zum Beispiel für das reguläre Neuneck, finden könne. Dazu änderte ich einfach das vorherige Suchprogramm etwas ab für die Suche nach einfachen Approximationen etwa für Werte wie <math>2*sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\, ,\ cos\left(\frac{2\,\pi}{9}\right)\, ,\ tan\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>  usw.
Auch dies erwies sich als recht leicht. Zur Konstruktion wählte ich dann zwei mögliche Approximationen aus, nämlich:

1.)  <math>sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ \frac{20}{3}\, - \, 2\,\sqrt{10}</math>

2.)  <math>tan\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ 2.6\, - \, \sqrt{5}</math>

Die Konstruktion nach der zweiten Formel gefiel mir besser, weil sie genauer ist und insbesondere auch, weil ich sie fast analog zu meiner vorherigen Näherungskonstruktion für das Siebeneck anordnen konnte. Wieder wählte ich den Umkreisradius  r = 5 , um ohne Brüche als Ausgangswerte auszukommen. Die Konstruktion:





Man beginnt mit dem Umkreis mit dem Radius  r = 5  und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O.
Der obere Schnittpunkt des Umkreises mit der vertikalen Achse sei der Eckpunkt A des zu konstruierenden Neunecks.
Man markiert die Punkte  P(10|0)  und  Q(-3|0)  auf der x-Achse. Man kann diese Punkte natürlich auch nach allen Regeln der Kunst konstruieren.
Nun zeichnet man den Strahl  PA  sowie einen Kreisbogen um den Punkt P, der durch Q geht und diesen Strahl im Punkt S schneidet. Man kann nun (zuerst einmal rechnerisch) verifizieren, dass die Länge m der Strecke  <math> \overline{AS} </math>  fast exakt dem 5-fachen Tangenswert des Winkels  20° = <math>\pi /\,  9</math>  entspricht.
Die Konstruktion geht so weiter, dass man die Streckenlänge m von A aus auf der Tangente nach rechts bis zum Punkt T abträgt und dann den Kreis um T mit Radius m mit dem Umkreis schneidet. So kommt man zum Eckpunkt  I  des Neunecks. Anschließend kann man die Figur durch wiederholtes Abtragen der Seitenlänge  <math>|\overline{AI}|</math> entlang des Umkreises und z.B. durch Nutzung der Symmetrie bezüglich der y-Achse ergänzen.

Die Genauigkeit der Näherung übertrifft auch hier die übliche Zeichengenauigkeit für geometrische Konstruktionen. Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge beträgt für diese Konstruktion ziemlich genau 0.1 Promille.


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