Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
Von: Marbin
Datum: So. 04. Februar 2018 20:34:57
Thema: Mathematik


Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen



Im Folgenden beweisen wir, dass

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$

in Dezimaldarstellung für alle \(k\in\mathbb{N}_{0}\) mit der Führungsziffer 5 beginnt. Zur Entstehungsgeschichte von \((1)\) sei auf diesen langen aber teils sehr interessanten und (zumindest für mich) lehrreichen Thread verwiesen.


Wir betrachten zunächst die Ungleichung

$\begin{align}512\cdot 1024^{n}<6\cdot 10^{2+k}\cdot 1000^{n},\quad k,n\in \mathbb{N}_{0}.\end{align}$

Die Ungleichung \((2)\) ist genau dann erfüllt, wenn

$\begin{align}n<\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Wir zeigen zunächst, dass \(\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für kein \(k\) ganzzahlig sein kann. Sei \(p\in\mathbb{N}\), dann beginnen wir mit der Annahme, dass

$\begin{align}\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}=p\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \ln(10^{k})=\ln\left ( \frac{64}{75}\cdot \left ( \frac{128}{125} \right )^{p} \right )\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow 10^{k}=\frac{2^{7\cdot p+6}}{3\cdot 5^{3\cdot p+2}}.\end{align}$

\((6)\) ist jedoch ein Widerspruch zu der Annahme, \(p\) sei ganzzahlig.
Da \(\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für kein \(k\) ganzzahlig ist, gilt auch

$\begin{align}\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor<\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Substitution von \(n\) durch \(\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor\) in \((2)\) führt zu

$\begin{align}512\cdot 1024^{\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor}<6\cdot 10^{2+k}\cdot 1000^{\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor}\end{align}$

und weiter vereinfacht zu

$\begin{align}\frac{2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}}{10^{3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2}}<6.\end{align}$

Um eine natürliche Zahl \(a>0\) zur Basis \(b\) darzustellen, werden \(1+\left \lfloor \log_{b} (a)\right \rfloor\) Stellen benötigt. Dementsprechend werden \(1+\left \lfloor \log_{10} (a)\right \rfloor=1+\left \lfloor \frac{\ln (a)}{\ln (10)}\right \rfloor\) Stellen benötigt, um \(a\) zur Basis \(10\) darzustellen. Wollen wir die führende Ziffer von \(a\) in Dezimaldarstellung berechnen, müssen wir also \(a\) durch \(10^{\left \lfloor \frac{\ln (a)}{\ln (10)}\right \rfloor}\) teilen und dann gegebenenfalls noch den Nachkommaanteil mittels Abrundfunktion entfernen, was für unser Vorhaben hier aber nicht nötig ist. Wir ersetzen  \(a\) durch \(2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\) in \(10^{\left \lfloor \frac{\ln (a)}{\ln (10)}\right \rfloor}\) und erhalten

$\begin{align}10^{\left \lfloor \frac{\ln \left ( 2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9} \right )}{\ln (10)}\right \rfloor}=10^{\left \lfloor \frac{\ln(1024)\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\ln(512)}{\ln (10)}\right \rfloor}.\end{align}$

Wir vermuten, dass für alle \(k\)

$\begin{align}3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2=\left \lfloor \frac{\ln(1024)\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\ln(512)}{\ln (10)}\right \rfloor\end{align}$

gilt. Ist die Vermutung wahr, beginnt \(2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\) in Dezimaldarstellung für alle \(k\) mit einer Führungsziffer < 6. Um zu zeigen, dass die Vermutung wahr ist, benutzen wir die Eigenschaft \(\left \lfloor x \right \rfloor = m \Leftrightarrow m\leq x < m+1\) bzw. \(\left \lfloor x \right \rfloor=m \Leftrightarrow  x-1 < m\leq x\) für alle \(x \in \mathbb{R};~m \in \mathbb{Z}\), also

$\begin{align}\underbrace{{\left \lfloor \frac{\ln(1024)\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\ln(512)}{\ln (10)}\right \rfloor}}_{\substack{\left \lfloor x \right \rfloor}}=\underbrace{{3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2}}_{\substack{m}}.\end{align}$

Wir beweisen zunächst \(m\leq x\):

$\begin{align}3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2\leq  \frac{\ln(1024)}{\ln(10)}\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\frac{\ln(512)}{\ln(10)}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow k+2-\frac{\ln(512)}{\ln(10)} \leq \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor\cdot \left ( \frac{\ln(1024)}{\ln(10)}-3 \right )\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \frac{k\cdot \ln(10)-\ln\left (\frac{128}{25} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \leq \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \frac{k\cdot \ln(10)-\ln\left (\frac{128}{25} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \leq \left \lfloor \frac{k\cdot \ln(10)-\ln\left (\frac{128}{25} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}+\frac{\ln(6)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor.\end{align}$

Wegen \(\frac{\ln(6)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}>1\) gilt die Ungleichung \((13)\) für alle \(k\), da ja \(x<\left \lfloor x+1 \right \rfloor \quad \forall x\).

Als nächstes beweisen wir \(x < m+1\), demnach

$\begin{align}\frac{\ln(1024)}{\ln(10)}\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\frac{\ln(512)}{\ln(10)}<3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+3\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10) + \ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor \cdot \left (\frac{\ln(1024)}{\ln(10)} -3 \right)< k + 3-\frac{\ln(512)}{\ln(10)}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10) + \ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor < \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{125}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10) + \ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor < \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}+\frac{\ln\left (\frac{5}{3} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Wir haben bereits bewiesen, dass \(\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor<\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für alle \(k\) gilt, deshalb gilt auch Ungleichung \((17)\) für alle \(k\), und die Vermutung \((12)\) ist wahr für alle \(k\).

Um den kompletten Beweis abzuschließen, müssen wir nun noch zeigen, dass

$\begin{align}\frac{2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor +9}}{10^{3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor +k+2}} > 5\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor \cdot \left ( \frac{\ln(1024)}{\ln(10)} -3\right ) > \frac{\ln(5)-\ln(512)}{\ln(10)}+k+2\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor > \frac{k\cdot \ln(10)-\ln(512)+2\cdot \ln(10)+\ln(5)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor > \frac{k\cdot \ln(10)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}-1\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} +1\right \rfloor > \frac{k\cdot \ln(10)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Da \(\left \lfloor x+1 \right \rfloor > x \quad \forall x\) und \(\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} > \frac{k\cdot \ln(10)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für alle \(k\), ist auch dies gezeigt. \(\square\)

Ich bedanke mich recht herzlich bei Buri für's Korrekturlesen.

Schlussbemerkung:

Den obigen Beweis kann man übrigens fortführen und zeigen, dass sogar

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{k}{7} \right \rfloor\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+10\cdot k-51-70\cdot \left \lfloor \frac{k}{7} \right \rfloor}\end{align}$

für alle \(k\) immer eine Zweierpotenz in Dezimaldarstellung mit der Führungsziffer 5 liefert.


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