Forum:  Grenzwerte
Thema: Limes
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Mani98
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Dabei seit: 24.09.2017
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Themenstart: 2017-09-24 20:45

Habe folgendes Problem:
weiß zwar, dass bei der ersten Aufgabe 0 die Lösung ist, aber nicht wie ich es mathematisch korrekt angeben kann. Bei der 2.Aufgabe bräuchte ich auch Hilfe.




PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-24 20:46

Hallo,

bei der a) könnte dir das Sandwich-Lemma helfen.
Bei b) der Satz von L' Hospital.


Mani98
Aktiv
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 37
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-25 19:20

Ok, habe mich in die Materie mal eingelesen. Könntest du mir bitte zum ersten Grenzwert einen Ansatz geben. So wie ich das verstanden habe, muss man bei diesem Sandwich einfach zwei Funktionen g(x) und u(x) finden, so dass gilt g(x)<meine Funktion<u(x) , oder? Zur zweiten Funktion: Könnte man dies nicht mit der Potenzreihenmethode lösen, da die zweite Ableitung vom Cosinus doch recht lang ist? Allerdings weiß ich auch nicht wie die Potenzreihe für cos(7x^2) ausschaut und wäre auch hier über einen Ansatz sehr dankbar  :-D


Master_Serdar
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Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-26 15:14

Hallo,

a) beachte, dass der cos beschränkt ist, d.h. der Wertebereich im Intervall [-1,1] liegt. Dann kann man schön nach oben abschätzen und anschließend $x$ gegen $\infty$ laufen lassen.

bei b) einfach de l'Hospital anwenden. Beim Ableiten auf Kettenregel achten.

Viele Grüße


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.4, eingetragen 2017-09-26 15:39


So wie ich das verstanden habe, muss man bei diesem Sandwich einfach zwei Funktionen g(x) und u(x) finden, so dass gilt g(x)<meine Funktion<u(x) , oder?

Nein. Denn das würde im allgemeinen nichts nützen.
Die Aussage ist spezieller. Siehe etwa: de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz#Einschn.C3.BCrungssatz_f.C3.BCr_Funktionen

Wenn wir eine Funktion f(x) haben und diese mit anderen Funktionen "einschnüren" können so, dass gilt <math>g(x)\leq f(x)\leq h(x)</math> und

<math>\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L</math>, dann gilt auch

<math>\lim_{x\to a} f(x)=L</math>

Dazu verwenden wir, dass der Cosinus bereits durch -1 nach unten beschränkt und durch 1 nach oben beschränkt wird.


 Könnte man dies nicht mit der Potenzreihenmethode lösen, da die zweite Ableitung vom Cosinus doch recht lang ist?

Du kannst die Aufgabe bestimmt auch lösen indem du den Cosinus als Potenzreihe entwickelst.
Das ist aber wahrscheinlich sehr viel aufwendiger als die Regel von L'Hospital anzuwenden. Denn die zweite Ableitung von <math>\cos(7x^2)</math> ist nicht sehr schwer zu bilden. :)
Wie machst du das?

Die Potenzreihe des Cosinus findest du etwa hier: de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Beispiele


Mani98
Aktiv
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-26 18:09

Danke für die zahlreichen schnellen Antworten!  :-D
Bekomme jetzt für beide Grenzwerte 0 heraus.
Für das erste Beispiel (0 oder 2)/unendlich=0
Für das zweite: 0/2=0

Hätte allerdings noch eine Frage:
Und zwar wie löst man das erste Beispiel?



Ich soll ja quasi die Funktion ableiten und dann a so wählen, dass die Ableitung auf ganz R stetig ist. Dies sollte doch für alle a aus R der Fall sein?


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.6, eingetragen 2017-09-26 18:15


Danke für die zahlreichen schnellen Antworten!

Allgemein erhältst du hier auf fast jede Frage sehr schnell eine Antwort.
Es lohnt sich also in den meisten Fällen zeitnah noch einmal in den Thread reinzuschauen. :)

Diese Frage hat mit der ursprünglichen Frage eher weniger zu tun. Es empfiehlt sich daher einen neuen Thread zu eröffnen.
Am besten postet du dort auch direkt deine eigenen Ansätze.
Es kann ja auch erstmal nur eine Vermutung sein.

Gerne kannst du auch noch deinen Rechenweg zur Kontrolle posten.
Die Ergebnisse stimmen.
Allerdings schreibst du es (zumindest hier) nur sehr naiv auf.


Mani98
Aktiv
Dabei seit: 24.09.2017
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-26 19:17

Ok, danke, dann werde ich die Frage in einem neuen Thread nochmal stellen!
Ja, das stimmt, sehr einfach, aber leider war das Foto von meiner Rechnung zu groß.




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Druckdatum: 2017-11-25 02:55