Forum:  Mengenlehre
Thema: \(\begingroup\)Mengen und Abbildungen\(\endgroup\)
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Nyamh
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Dabei seit: 21.10.2017
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Themenstart: 2017-10-21 18:45

f: M -> N eine Abbildung von Mengen,, und seien <math>A,B \subseteq M</math> Teilmengen von M. Zeigen oder widerlegen Sie die Aussage

Zu zeigen: <math> f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)</math>

<math>f(x)|x \in (A \cap B) = (f(x)|x \in A) \cap (f(x)|x \in B)</math>

<math>\Leftarrow \Rightarrow f(x)| x\in A \wedge x \ in B</math>

<math>\Leftarrow \Rightarrow f(x)| x\in A \cap B</math>

Stimmt das so?

und Außerdem noch folgende Aufgabe:
<math>f(A^{C}) \subseteq f(A)^{C}</math>
Da kam ich jetzt nur auf die Idee, dass:
<math>f(A^{C}) = f(M\\A)</math> und

<math> (f(A))^{C} = N\\f(A).</math>

Kann mir bitte jemand weiterhelfen, ich verzweifele, Danke!


ochen
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Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-21 18:59

Hallo,

leider kann ich damit wenig anfangen. Du solltest mehr Fließtext schreiben.

Du willst überprüfen, dass beide Mengen gleich sind. Also nimmst du ein Element <math>y\in f(A\cap B)</math> und untersuchst, ob es auch in der Menge auf der rechten Seite der Gleichung ist. Wenn <math>y\in f(A\cap B)</math> ist, gibt es ein <math>x\in A\cap B</math> mit <math>y=f(x)</math>. Nun ist <math>x\in A</math>, da <math>(A\cap B)\subseteq A</math> ist. Da <math>y=f(x)</math> ist, folgt mit <math>x\in A</math>, dass <math>y\in f (A)</math> ist.

Mache nun weiter.


Nyamh
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Dabei seit: 21.10.2017
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21 19:05

Das war ja das, was ich hiermit versucht habe:

Zu zeigen: <math> f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)</math>

<math>f(x)|x \in (A \cap B) = (f(x)|x \in A) \cap (f(x)|x \in B)</math>

<math>\Leftarrow \Rightarrow f(x)| x\in A \wedge x \ in B</math>

<math>\Leftarrow \Rightarrow f(x)| x\in A \cap B</math>
 Und die Frage war ob das so stimmt, also bis auf die Notation sehe ich kein Unterschied zu dem was du geschrieben hast, die Frage war ob das wie ich das hingeschrieben hab so stimmt? Ich bin noch sehr unsicher mit der Notation und mit Beweisen sowieso.

Die zweite Aufgabe an der beiße ich mir nun schon länger die Zähne aus und finde irgendwie keine Beweisidee. bzw. ein Beispiel womit ich das beweisen kann.


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-21 19:25

Nein, die Notation ist nicht schön :) Was meinst du mit "bis auf die Notation"? Gerade darauf kommt es doch an. Andere Menschen sollen auch verstehen, was du meinst.

Beim zweiten versuchst du es genauso. Du nimmst ein <math>y\in f(A^c)</math> und rechnest nach, ob es auch in <math>f(A)^c</math> liegt. Sei <math>y\in f(A^c)</math>, so gibt es ein <math>x\in M\setminus A</math> mit <math>y=f(x)</math>.


xiao_shi_tou_
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Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-21 19:30

2017-10-21 19:05 - Nyamh in Beitrag No. 2 schreibt:
Und die Frage war ob das so stimmt, ...
Nein das stimmt leider nicht.
Nimm mal die konstante Funktion <math>f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}; x\mapsto 0</math> und <math>A=[0,1]</math> <math>B=[2,3]</math> und pruefe nach, ob <math>f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)</math> gilt.

lg



Nyamh
Neu
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-21 20:52

Vielen lieben Dank!


xiao_shi_tou_
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Beitrag No.6, eingetragen 2017-10-21 23:47

Hast du den zweiten Teil mit dem Komplement schon hingekriegt? Hast du noch offene Fragen?




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Druckdatum: 2017-12-15 17:01