Forum:  Integration
Thema: Integral berechnen
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Sito
Aktiv
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Themenstart: 2017-11-10 17:23

Hallo zusammen.

Ich soll für <math>a,b\in\mathbb{C}</math> und <math>m,n\in\mathbb{Z}_{>0}</math> das Integral <math>\displaystyle\int_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)^n(z-b)^m}</math> in Abhängigkeit von <math>r</math> berechnen.

Meine Idee war es den Integralsatz von Cauchy anzuwenden, dafür müsste man nun aber <math>\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}</math> zerlegen in zwei Brüche, falls <math>r</math> so gross sein sollte, dass <math>a</math> und <math>b</math> gleichzeitig in dem eingeschlossenen Gebiet liegen.

Also war mein Ansatz:
<math>\displaystyle\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k}{(z-a)^n}+\frac{\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k}{(z-b)^m}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k}{\sum\limits_{j=0}^n{n\choose j}z^{n-j}a^j}+\frac{\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k}{\sum\limits_{j=0}^m{m\choose j}z^{m-j}b^j}\\=\frac{\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^m{m\choose j}z^{m-j}b^j\right) +\left(\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^n{n\choose j}z^{n-j}a^j\right)}{(z-a)^n(z-b)^m} </math>

Daraus folt also <math>1=\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^m{m\choose j}z^{m-j}b^j\right) +\left(\sum\limits_{k=0}^{m-1}d_kz^k\right)\left(\sum\limits_{j=0}^n{n\choose j}z^{n-j}a^j\right)</math>
Das Gleichungssystem kann man aber nicht lösen, bzw. schaffe ich es nicht...

Ausgehend davon war das wohl der falsche Ansatz. Wie müsste man hier vorgehen um zu einem sinnvollen Ergebnis zu kommen?

Gruss Sito


darkhelmet
Senior
Dabei seit: 05.03.2007
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Aus: Bayern
Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 23:53

Hi,

der Residuensatz sollte zum Ziel führen.


Sito
Aktiv
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 155
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-11 00:14

Darf ich nicht verwenden, da noch nicht gehabt...


darkhelmet
Senior
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2108
Aus: Bayern
Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-11 01:09

Dann beweis ihn halt schnell. :-)

Ich denke, so geht es auch: Du kannst mit dem Integralsatz von Cauchy ("Homotopie-Version") den Kreis, ohne dass sich das Integral ändert zu einem Achter verformen, so dass <math>a</math> in der einen Schleife und <math>b</math> in der anderen Schleife des Achters ist. Das Integral ist dann die Summe von zwei Integralen, bei denen jeweils nur ein Element im Inneren liegt.




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Druckdatum: 2017-11-25 09:02