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Antworte auf:  Berechnung einer "Ideallinie" von Boo85
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.70, eingetragen 2017-11-22 20:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Haribo,
2017-11-22 12:35 - haribo in Beitrag No. 69 schreibt:
wäre denn folgende aussage zwingend logisch richtig: "wenn der streckenverlauf insgesamt einer geometrischen form folgen würde also z.B. log.spirale dann wäre auch die dazugehörige optimale kurve gegeben?"

Ja, auf jeden Fall. Gib irgendeine Kurve vor, z.B. Ellipse, Parabel, Spirale etc., dann ist bei der Ideallinie immer das Bestreben, unter Ausnutzung des Kammschen Reibkreises das maximale an Beschleunigung rauszuholen - spät auf die Bremse, früh auf's Gas. Fährst Du eine Kurve mit einer Geschwindigkeit unter der Rutschgrenze der Fliehkraft, hast Du Reserve für Längsbeschleunigung, mit dem Ergebnis, dass Du schneller wirst und Dich dem Maximum an Fliehkraft näherst. Das ist das Schöne an der DGL, sie reguliert Deine Geschwindigkeit automatisch. Deswegen beginnt die Berechnung auch am Wendepunkt und nicht auf der Geraden. Es ist wie im richtigen Leben: wenn Du schon mit zu hoher Geschwindigkeit in die Kurve rauscht, führt die DGL zwangsläufig dazu, dass Du virtuell rausrutscht. smile
Das einzige, was Du beeinflussen kannst, ist die Parameterwahl, also die genaue Form. Dann liegt das Ergebnis fest, und es gibt genau eine schnellste Parabel, schnellste Ellipse usw..
Wie gesagt, für die allgemeine V-förmige Kurve ist meines Erachtens die Parabel die bestmögliche Kurve. Betrachte dazu mal nachfolgendes Bild:



Wir wollen von "Nord-West" in die Kurve einfahren, bis runter zum Wendepunkt und dann nach "Nord-Ost" verlassen. V-förmig eben. Wir kommen an mit der Startgeschwindigkeit $\vec v_{Start}$, und verlassen die Kurve mit der Endgeschwindigkeit $\vec v_{End}$. Die Beschleunigung $\vec a$, die dazu notwendig ist, zeigt in y-Richtung. Also ist die Ideallinie zwangsläufig die, die auf direktem Weg ohne den Hauch einer Beschleunigung in x-Richtung die Geschwindigkeit von $\vec v_{Start}$ in $\vec v_{End}$ verändert. Bei gleichzeitig konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung ist das die Parabel. So weit, so gut.
Bei der 180°-Kehre ist das anders:



Auch hier führt natürlich der direkte Weg über eine Beschleunigung, die ausschließlich in y-Richtung wirkt. Das funktioniert, wenn $r_i=0$ ist. Wir hatten das Beispiel schon; es bedeutet, an einer Wand der Dicke null herunterrauschen, zum Stillstand kommen, und zurückbeschleunigen. Geschwindigkeit und Beschleunigung in x-Richtung ist null. Bei der 180°-Kehre mit 60 Meter Wiese dazwischen geht das nicht, denn meine Geschwindigkeit in x-Richtung ist zwar am Anfang und am Ende null, dazwischen muss ich aber mindestens die Strecke $2r_i$ und maximal $2r_a$ zurücklegen:



Somit ist es zwingend notwendig, dass am Eingang in die Kurve erst in x-Richtung beschleunigt wird, und am Ende wieder verzögert wird, also eine entgegengesetzte Beschleunigung wirkt. Aufgrund des Kammschen Reibkreises geht Beschleunigung in x-Richtung sofort zu Lasten der Beschleunigung in y-Richtung, und das kostet Zeit.
Daher ist mein Ansatz, möglichst ökonomisch mit der Beschleunigung in x-Richtung umzugehen. Die logarithmische Spirale hat aufgrund des konstanten Beschleunigungswinkels >>permanent<< eine Beschleunigung in x-Richtung, in der Nähe des Wendepunktes sogar kontraproduktiv. Daher konnte sie gar nicht optimal sein. Und das ist auch das Gegenargument zu Deinem Vorschlag, mit geringerer Geschwindigkeit im Wendepunkt zu fahren. Ich habe es probiert, es verschlechtert das Ergebnis.
Die von mir entworfene Kurve hat im Wendepunkt eine Beschleunigung in x-Richtung von null, der Verlauf ist zeitlich gesehen linear. Aber das Optimum für die V-Kurve ist nun einmal die Parabel. Daher denke ich darüber nach, die 180°-Kehre in einen Parabelteil (wo die Geschwindigkeit in x-Richtung konstant ist) und daran anschließende Kreisbögen (konstante Zentrifugalkraft, null Längsbeschleunigung) aufzuteilen. Es wird aber schon ein bisschen tricky werden, die Parabel und die Kreisbögen optimal abzustimmen. Das klingt auf jeden Fall unschön und nicht "harmonisch", wie Du es formuliert hattest, aber die Welt ist manchmal leider etwas unharmonisch.  razz
Ich poste später mal den Verlauf der Beschleunigung in x-Richtung für die bisher berechneten Fälle, über die Zeit und über x.

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
Herkunft:
 Beitrag No.69, eingetragen 2017-11-22 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

nach 66 beiträgen unterschätzt niemand mehr die komplexidität, es erstaunt mich trotzdem das wir mit den ansätzen noch so hinundher springen...

wäre denn folgende aussage zwingend logisch richtig: "wenn der streckenverlauf insgesamt einer geometrischen form folgen würde also z.B. log.spirale dann wäre auch die dazugehörige optimale kurve gegeben?"


zur ellipse 182,29/80:
du hast offensichtlich für die wendestelle die maximale geschwindigkeit des kleinen schmiegkreises angesetzt 13,2492m/s R=17,55m passen ja zusammen für 10m/s², und dies R ist der kleine schmiegkreis

wie hast du in der ellipsenberechnung unser altes dilemma gelöst, welche beschleunigungs anteil benutzt man bei grösser werdendem radius am besten, oder anders gefragt, wie gross ist die geschwindigkeit am ende der ellipse (maximal wären dort 45,57 wegen R=207,7m)

ich bin mir beim nachdenken nicht sicher ob es nicht im falle der ellipse evtl. günstiger sein könnte etwas langsamer zu starten an der wendestelle, und dann mehr beschleunigungspotential zu haben...
haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.68, eingetragen 2017-11-21 22:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Haribo,
2017-11-21 18:24 - haribo in Beitrag No. 66 schreibt:
alles in allem aber wirklich erstaunlich dass offenbar niemand den besten ansatz kennt...

Ich glaube, Du unterschätzt die Komplexität. Es gibt nicht DEN besten Ansatz für eine analytische Lösung. Man kann das Problem ja schon grundsätzlich formulieren, aber die Randbedingungen sind zu komplex.
Nachfolgend die optimale Ellipse:



Die Daten der "schnellsten" Ellipse sind:
große Halbachse 91,147m
Geschwindigkeit am Wendepunkt 13,2492m/s
nach unten verschoben um 6,974m

Zeit: 14,106s

... und damit gut 4  Hundertstel langsamer als die gebastelte Kurve. Was mich darin bestärkt, dass das Geheimnis darin liegt, die Beschleunigung in x-Richtung zu minimieren. Die Parabel mit anschließenden Kreisbögen im Übergang in die Geraden könnte annähernd die Bestlösung darstellen.

Ciao,

Thomas



MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.67, eingetragen 2017-11-21 19:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Haribo,
ich suche natürlich die absolut schnellste. Das Minimum scheint bei der Ellipse bei etwa 14,11 Sekunden zu liegen, aber das ist noch nicht 100%ig sicher.

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
Herkunft:
 Beitrag No.66, eingetragen 2017-11-21 18:24    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-21 10:42 - MontyPythagoras in Beitrag No. 65 schreibt:
Stand gestern Abend ist die Ellipse ein paar Hundertstel langsamer als die von mir zuletzt entworfene Kurve, ich bin aber noch nicht ganz durch.
Ciao,
Thomas

paar hundertstel is natürlich ein unglückliches ergebniss, da es ja ne ganze menge von ellipsen gibt die den innenradius tangieren


alles in allem aber wirklich erstaunlich dass offenbar niemand den besten ansatz kennt...
haribo

nachtrag:
berechnest du die 173/80 iger ellipse oder suchst du die absolut schnellste?


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
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 Beitrag No.65, eingetragen 2017-11-21 10:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo haribo,
das ist ja genau das, was ich gemacht habe. Bei der logarithmischen Spirale zeigt die Beschleunigung in x-Richtung während eines kompletten Durchlaufs, wenn das U von links nach rechts durchfahren wird, erst nach rechts, dann nach links bis zum Wendepunkt, dann wieder nach rechts und dann wieder nach links. Das kann nicht optimal sein.
Stand gestern Abend ist die Ellipse ein paar Hundertstel langsamer als die von mir zuletzt entworfene Kurve, ich bin aber noch nicht ganz durch.

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
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 Beitrag No.64, eingetragen 2017-11-20 20:03    [Diesen Beitrag zitieren]

schnitzel hat in #10 ja auf das alte spiel "racetrack" "vektor-race" hingewiesen, ich versuche mal morgen ob ich die beschleunigungsrichtungen alle sec für die bisherigen kurse eingezeichnet bekomme, evtl kann man das verfeinern und dann eine schrittweise lösung anpeilen?
haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.63, eingetragen 2017-11-20 17:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Haribo,
ja, wie auch Boo85 schon so richtig bemerkte, man kann Kurven bei geeigneter Parameterwahl oft beliebig ähnlich machen. Ich würde nicht mehr ausschließen, dass sich mit einer Ellipse eine vorläufig schnellste Zeit erzielen lässt. Im Moment denke ich aber noch darüber nach, die Parabel, die für beliebige Kurven das Optimum darstellt, außen zu den Geraden hin durch Kreisbögen zu ergänzen. Das ist aber auch nicht ganz einfach.
Bei der Ellipse führt an numerischer Integration kein Weg vorbei. Wie das geht, habe ich ja schon skizziert, aber man muss dann immer noch ein paar Parameter wählen und optimieren, was ich im Moment maximal durch Trial-and-Error hinbekäme, bzw. eleganter formuliert, manuell-iterativ.  smile

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.62, eingetragen 2017-11-20 17:39    [Diesen Beitrag zitieren]

monty, diesmal eine kleine rätselaufgabe für dich:
wie weit liegt die ellipse 173/80 welche um 5,86 verschoben ist, maximal von deiner grünen kurve entfernt? (die werte 173 und 5,86 sind nur optisch eingepasst, also nicht unbedingt ultimativ optimal)

scherz beiseite, ist eine ellipse nicht die harmonischste beschleunigungsumlenkung aller kurven?

leider kann ich ihre fahrtzeit unter einhaltung von 10 m/s² nachwievor nicht ausrechnen...
gruss haribo





MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
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 Beitrag No.61, eingetragen 2017-11-19 22:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
nachdem mir neulich der Gedanke gekommen war, das Problem nicht aus der Fahrerperspektive zu betrachten, sondern absolut, ging mir auf, dass für die 180°-Kehre das Optimum erreicht wird, wenn insgesamt die Beschleunigung in x-Richtung minimal gehalten wird. Dann steht möglichst viel Beschleunigung in y-Richtung, also zur Richtungsumkehr, zur Verfügung. Bei der logarithmischen Spirale findet in x-Richtung betrachtet zunächst eine Beschleunigung, dann eine Verzögerung bis zum Wendepunkt statt, danach wieder eine Beschleunigung und wieder eine Verzögerung. Das kann nicht optimal sein.
Daher habe ich folgende Kurve entworfen:

<math>\displaystyle s_{x}=v_{0}t-\frac{1}{3}kt^{3}</math>

<math>\displaystyle v_{x}=v_{0}-kt^{2}</math>

<math>\displaystyle a_{x}=-2kt</math>

<math>\displaystyle s_{y}=\frac{1}{12}\left(\frac{a^{2}}{k^{2}}+2t^{2}\right)\sqrt{a^{2}-4k^{2}t^{2}}-\frac{a^{3}}{12k^{2}}+\frac{a^{2}t}{4k}\arcsin\frac{2kt}{a}</math>

<math>\displaystyle v_{y}=\frac{t}{2}\sqrt{a^{2}-4k^{2}t^{2}}+\frac{a^{2}}{4k}\arcsin\frac{2kt}{a}</math>

<math>\displaystyle a_{y}=\sqrt{a^{2}-4k^{2}t^{2}}</math>

mit

<math>\displaystyle k=\frac{4v_{0}^{3}}{9r_{a}^{2}}</math>

Und so sieht die Kurve aus:



Die grüne Linie ist die neue Kurve, die rote die logarithmische Spirale.
Mit <math>v_0=13,63059\text{m/s}</math> führt das zu einer Bestzeit von 14,0624s, was noch einmal fast drei Zehntel schneller ist als die beste logarithmische Spirale.

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.60, eingetragen 2017-11-16 17:22    [Diesen Beitrag zitieren]


nun, nach stetigem vergleichen der gezeichneten längen mit den von monty gerechneten werten gelingt also eine exakte zeichnerische konstruktion

hier dargestellt mit alpha=0,82904[rad]

interessant sind dabei die beiden orthogonal aufeinander liegenden schwarzen geraden, welche als schnittpunkt den mittelpunkt der log.spirale haben und sowohl durch beide schmiegkreis mittelpunkte und anfang und endpunkte des gefahrenen spiralstrecken-abschnittes verlaufen,

auch die abwicklungslänge des spiralstrecken-abschnittes (hier 100,1m)lässt sich, wie in #53 angenommen, leicht zeichnerisch ermitteln wenn man den inneren schmiegekreis radius in der dargestellten art und weise an die schwarze linie anträgt

die differenz der darstellung in #53 zur berechnung von monty lag in der (un-)genauigkeit der konstruktion der spirale... jetzt stimmen unsere ermittelten fahrtzeiten (14,3576 sec) sehhr gut überein (monty is mit 14,3569 noch 0,0007sec schneller...)

die mühe hat sich also gelohnt, das oben gewählte alpha is eher zufällig gewählt, wie monty widerholt darlegte ist dies nicht die schnellste variante...

haribo



haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
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 Beitrag No.59, eingetragen 2017-11-15 18:32    [Diesen Beitrag zitieren]

für die zeichnerische ermittlung des krümmungsmittelpunktes, und damit R der krümmung, hab ich eine bestätigung meiner zeichnung gefunden

www2.iazd.uni-hannover.de/~erne/Mathematik3/dateien/maple/MB_10_3.pdf
seite 9

für die genaue länge des teil-spiralbogens noch nicht... aber das wird auch noch werden
haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.58, eingetragen 2017-11-15 15:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo haribo,
wenn Du in meiner Excel-Datei in dem Blatt "Daten" in Zelle C3 ("gewünschter Beschleunigungswinkel") die dortige Formel überschreibst und Deinen Winkel (in Bogenmass) direkt eingibst, dann werden die Werte dementsprechend angepasst. Allerdings komme ich da beim großen Radius nur auf 179,23m und beim inneren auf 11,99m. Die Zeit wird ausgerechnet mit 14,344s, nicht 14,24s. Also ist Deine Spirale schon ganz gut, aber nicht die beste.  wink

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
Herkunft:
 Beitrag No.57, eingetragen 2017-11-15 13:58    [Diesen Beitrag zitieren]

es soll sich auch um eine log.spirale handeln, den mittelpunkt habe ich eingezeichnet, ob man sie aus den abmessungen math.exakt beschreiben kann weiss ich nicht, wie lautet denn die spiralgleichung in deinem beispiel

mein beschleunigungswinkel ist also arctan(aZ/aL)=arctan(7,58/6,52)=49,3°

reicht der beschleunigungswinkel um die spirale zu definieren?

fals ich einen fehler drin habe dann möglicherweise bei der bestimmung der radien bei "B" 183,8m und "O"13,13
sollte da ein fehler drin sein stimmt natürlich die ermittelte zeit nicht

ansonsten dürfte die zeichnung als spirale ganz gut sein
haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.56, eingetragen 2017-11-15 11:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo haribo,
unter diesem Link habe ich Dir die Datei noch einmal in xls-Format bereitgestellt.
Der "Beschleunigungswinkel" ist der Winkel zwischen momentaner Fahrtrichtung und momentan wirkender Beschleunigung. Längsbeschleunigung heißt <math>\alpha=0</math>, reine Querbeschleunigung heißt <math>\alpha=90°</math>. Bei der logarithmischen Spirale ist dieser Winkel konstant, bei jeder anderen Kurve nicht.
Wenn Du also eine andere als eine logarithmische Spirale verwendest, ist der Beschleunigungswinkel ein veränderlicher Wert. Und wenn Du eine logarithmische Spirale verwendest, dann müsste Deine Berechnung die gleiche sein wie meine, und dann müsste Dein Wert falsch sein, denn ich berechne ja direkt die bestmögliche logarithmische Spirale.
Aus Deiner Skizze werde ich daher nicht so richtig schlau. Was für eine Spirale hast Du denn genau, eine archimedische? Oder sind es mehrere zusammengesetzte Kreisbögen?

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
Herkunft:
 Beitrag No.55, eingetragen 2017-11-14 22:28    [Diesen Beitrag zitieren]

kann man nicht bei der parabel in der mitte einen kreisbogen einfügen bis sie sich hindreht?

exel irgendwas mit noch .xls als endung


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.54, eingetragen 2017-11-14 22:12    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
ich habe jetzt mal die Parabel mit in die Datei aufgenommen. Nachdem ich eine Weile darüber gegrübelt habe, kann ich mir nicht vorstellen, dass es eine schnellere Lösung als die Parabel geben kann - vorausgesetzt, dass die Parabel auch in die Strecke passt. Wenn die Strecke V-förmig ist, kann das klappen. Nachfolgend ein Beispiel mit 70° (halber) Kurvenwinkel:

Bei 30° Kurvenwinkel unterscheiden sich die beiden Kurven kaum, die Parabel ist aber 0,06s schneller. Bei dem hier dargestellten, ziemlich großen Winkel ist bei ansonsten gleichen Kurvenparametern (Innen- und Außenradius, Länge der Geraden) die Parabel ca. 0,3s schneller als die Spirale. Aber schon bei 78,25° führt die Parabel an die äußere Streckenbegrenzung - obgleich sie dann immer noch knapp 0,17s schneller ist. Bei 80,71° Kurvenwinkel sind Parabel und Spirale gleich schnell, auch wenn die Parabel dabei die Strecke schon um über 7m verlassen hat. Von diesem Winkel an bis zur 180°-Kehre ist die Spirale schneller, was natürlich nicht zuletzt darauf zurückzuführen ist, dass es keine Parabel in Normallage gibt, deren Tangente senkrecht nach oben zeigt.
Bei der Parabel ist somit die Geschwindigkeit in x-Richtung konstant, die Beschleunigung <math>a</math> kann voll darauf verwendet werden, die gewünschte Geschwindigkeitsänderung (vektoriell betrachtet) herbeizuführen. Aber wenn der Winkel zu groß wird in Richtung 90°, dann muss ich in x-Richtung beschleunigen und am anderen Ende der Kurve wieder "abbremsen". Durch die notwendige Beschleunigung in x-Richtung geht uns ja über den Kammschen Reibkreis in y-Richtung Beschleunigung verloren. Offenbar muss das Optimum für die 180°-Kehre so aussehen, dass die Beschleunigung in x-Richtung minimiert wird. Ob die Ellipse das tut, ist fraglich.
@Boo85, ich habe die Excel-Datei noch einmal aktualisiert, um die Parabel mit aufzunehmen. Die Parabel dürfte Dir auch im Hinblick auf die Schräglage besser gefallen, weil sie mit einer geringen Schräglage anfängt, die dann bis zum Wendepunkt immer größer wird.
@Haribo, welche Excel-Version hast Du? Ich könnte die Datei ja auch in einem älteren Format speichern, falls Du Interesse hast.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.52 begonnen.]


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
Herkunft:
 Beitrag No.53, eingetragen 2017-11-14 21:56    [Diesen Beitrag zitieren]


rekord: t ges.=14,24sec

aZ 7,58m/s²
aL 6,52m/s²
vO 9,98m/s
vB 37,33m/s
v end 66,6m/s
tB 4,19s
tG 2,93s
L 500,42m (gesamtweg)

monty, wenn du mir irgendwo einzeichnest wo der beschleunigungswinkel "alpha" abmessbar ist, gebe ich ihn auch noch an, dann kannst du versuchen diese spirale direkt in deine datei einzutragen

kannst du die streckenteil-länge der spirale ermitteln? ich bin da unsicher in der geometrie, habe entgegen der angabe in meiner zeichnung mit 99,2m weitergerechnet

ansich habe ich versucht einfach eine noch steilere spirale zu zeichnen und zeichnerisch auf die bahn skaliert, insofern könnten auch noch weitere ungenauigkeiten im möglich sein

es spricht nichts dagegen dass es lohnend sein könnte noch enger zu wenden...

haribo


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 1393
Herkunft:
 Beitrag No.52, eingetragen 2017-11-13 14:45    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-13 13:52 - MontyPythagoras in Beitrag No. 51 schreibt:
Hallo zusammen,
@Haribo: Deine Lösung ist jetzt aber nicht unbedingt im Sinne der Aufgabenstellung...
Aber sie eröffnet trotzdem eine neue Denkweise. Bisher haben wir immer aus der Fahrerperspektive betrachtet, wie sich Längs- und Querbeschleunigung verhalten.

ansich nur ne logische fortsetzung der kurvenschaar aus #17,
nachdem du in #38 darauf hingewiesen hattest das man ja mit R=0 auch in unendlich kurzer zeit das bike drehen könnte, gilt ja dann für alle anderen dort benutzen bögen mit R>0 :"je grösser der radius desto schneller komm ich nach süden"
die wahl der schallgeschwindigkeit als v war aber klar willkürlich.... lichtgeschwindigkeit muss noch näher an deinen postulierten absolut kleinsten wert <math>T=2\sqrt{2\frac{230\text m}{10\text{m/s}^2}}=13,565\text s</math> herankommen,

keine frage, dieser unterer grenzwert kann mit a<=10m/s² nicht unterboten werden

jedenfals solange die rennbahn waagerecht liegt und/oder sich nicht selber bewegt... heutzutage gibt es ja auch rennbahnen auf kreuzfahrtschiffen "norwegian joy..."

haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1012
Herkunft: Hattingen
 Beitrag No.51, eingetragen 2017-11-13 13:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
@Haribo: Deine Lösung ist jetzt aber nicht unbedingt im Sinne der Aufgabenstellung...
Aber sie eröffnet trotzdem eine neue Denkweise. Bisher haben wir immer aus der Fahrerperspektive betrachtet, wie sich Längs- und Querbeschleunigung verhalten. Ich könnte natürlich statt eines Kreisbogens auch eine Parabel hineinlegen, die um den Innenkreis herumführt. Ich hätte dann eine gleichförmige Bewegung in x-Richtung und eine konstante Beschleunigung in y-Richtung. Simpler geht es nicht. Bei jeder anderen Kurve als der 180°-Kehre könnte das sogar die tatsächlich beste Lösung sein, das werde ich noch einmal vergleichen. Für die 180°-Kehre geht die Parabel nicht, weil sie ja nun einmal (in Normallage <math>y=ax^2</math>) nirgendwo eine senkrechte Steigung aufweist, um tangential an die Außenbegrenzung heranzuführen.
@Boo85: Danke sehr. Viel Spaß damit. Sobald ich dazu komme, erweitere ich die Datei noch um die Ellipse oder Parabel.
Nachfolgend wie schon ein paar mal angekündigt noch ein paar Gedanken zur numerischen Berechnung der DGL mit einer allgemeinen Kurve. Die DGL lautet ja

<math>\displaystyle \dot v^2=a^2-v^4\kappa(s)^2</math>

Dabei ist die zu fahrende Strecke gegeben durch die Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math>. Ein einfacher Zusammenhang <math>y(x)</math> oder <math>x(y)</math> ist denkbar, aber nicht unbedingt immer möglich. Daher brauchen wir eine Parameterdarstellung <math>x(p)</math> und <math>y(p)</math>. Der Parameter <math>p</math> könnte natürlich zum Beispiel die Zeit <math>t</math> sein, aber wenn man die Koordinaten in Abhängigkeit von <math>t</math> schon wüsste, müsste man die DGL nicht mehr lösen. Also ist <math>p</math> irgendein geometrischer Parameter. Die Ellipse zum Beispiel könnte man in Parameterdarstellung sehr einfach beschreiben:

<math>\displaystyle x(p)=A\cos p\qquad y(p)=B\sin p</math>

Nehmen wir also an, die Kurve sei in Parameterdarstellung <math>(x(p), y(p))</math> gegeben. Nachfolgend sei der Strich die Ableitung nach dem Parameter <math>p</math>, und wir müssen den Zusammenhang <math>t(p)</math> herleiten, wobei <math>t</math> ja implizit in der DGL versteckt ist. Klingt kompliziert, ist es auch ein bisschen. Der pavlovsche Reflex bei DGLs für Bewegungsgleichungen ist, nach <math>t</math> integrieren zu wollen, z.B. mit Runge-Kutta oder ähnlichen Verfahren. Schon falsch. Nach <math>t</math> zu integrieren ist blöd, weil ich gar nicht weiß, wie ich die Schrittweite wählen soll und wie viele Schritte es dann am Ende werden, weil ich ja nicht unbedingt weiß, bei welchem <math>t</math> ich ende, und bei jeder Änderung der Kurvenparameter oder Änderung der Beschleunigung <math>a</math> kann das stark schwanken. Da muss man sich dann mühsam jedes mal ran tasten. Ich möchte aber entlang der Ellipse oder beliebigen Kurve integrieren, diese in 1000 Schritte zerteilen, und wenn ich 1000 Schritte gemacht habe, bin ich fertig, Ende, Aus. Für das Beispiel der Ellipse läuft der Parameter <math>p</math> von <math>0</math> bis <math>\frac{\pi}2</math>. Lasse ich <math>p</math> in Schritten von <math>\frac{\pi}{2000}</math> laufen, bin ich nach 1000 Schritten durch. Aber wie komme ich dann auf <math>t</math>, <math>s</math>, <math>v</math>, <math>x</math> und <math>y</math>, bzw. wie bekomme ich die Zeit aus der DGL eliminiert?
Nochmal zur Erinnerung: <math>x(p)</math> und <math>y(p)</math> sind gegeben und beschreiben die Kurve geometrisch. Dann ist auch <math>\kappa</math> bekannt:

<math>\displaystyle \kappa^{2}=\frac{\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{3}}</math>

und <math>s'</math>:

<math>\displaystyle s'^2=x'^2+y'^2</math>

Im Grunde ist <math>t</math> schon indirekt bestimmt. Wenn ich <math>v(p)</math> bestimmen kann, und <math>s(p)</math> auch, dann daraus auch <math>t</math>:

<math>\displaystyle t'=\frac{\text{d}t}{\text{d}p}=\frac{\text{d}t}{\text{d}s}\cdot\frac{\text{d}s}{\text{d}p}=\frac1v\cdot s'</math>

<math>\displaystyle t=\int\frac{s'}v\text dp</math>

Auch <math>\dot v</math> können wir durch eine rein geometrische Beschreibung ersetzen:

<math>\displaystyle \dot{v}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}p}\cdot\frac{\text{d}p}{\text{d}s}\cdot\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=v'\cdot\frac1{s'}\cdot v</math>

Und damit lautet die DGL:

<math>\displaystyle \frac{vv'}{s'}=\sqrt{a^2-v^4\kappa^2}</math>

<math>\displaystyle v'=s'\sqrt{\frac{a^2}{v^2}-v^2\kappa^2}</math>

Damit haben wir eine nichtlineare DGL 1. Ordnung für <math>v</math>. Sobald ich <math>v(p)</math> als Tabelle vorliegen habe, bestimme ich <math>t</math> dann aus dem Integral oben.
Ganz konkret würde ich das Taylor-Verfahren anwenden, um die DGL über den Parameter <math>p</math> zu lösen. Es ist ja

<math>\displaystyle v'(p)=f\left(p, v(p)\right)</math>

Daraus kann man rekursiv alle höheren Ableitungen berechnen (was rein praktisch allerdings schnell mühselig wird):

<math>\displaystyle v''(p)=\frac{\partial f\left(p, v(p)\right)}{\partial p}+\frac{\partial f\left(p, v(p)\right)}{\partial v}v'</math>

Dann kann man <math>v</math> schrittweise berechnen:

<math>\displaystyle v(p+\Delta p)=v(p)+v'(p)\Delta p+\frac12v''(p)\left(\Delta p\right)^2+\frac16v'''(p)\left(\Delta p\right)^3</math>

Für <math>t</math> dann sinngemäß das gleiche, also:

<math>\displaystyle t(p+\Delta p)=t(p)+t'(p)\Delta p+\frac12t''(p)\left(\Delta p\right)^2+\frac16t'''(p)\left(\Delta p\right)^3</math>

wobei

<math>\displaystyle t'=\frac{s'}{v}\qquad t''=\frac{s''v-s'v'}{v^2}\qquad t'''=\frac{s'''v^2-2s''vv'-s'vv''+2s'v'^2}{v^3}</math>

Praktisch würde ich bis <math>v'''</math> gehen. Das ist noch vertretbarer Aufwand an Ableiterei, und wenn ich 1000 Schritte mache, liege ich in der Genauigkeit am Ende der Kette bei etwa 8 bis 9 signifikanten Stellen.

Ciao,

Thomas


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
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 Beitrag No.50, eingetragen 2017-11-13 13:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank Monty für diese tolle Arbeit!

So wie du die Spirale beschreibst, wird sich wohl bei geeigneter Parameterwahl in der Tat eine beliebig gute Näherung an die absolute Ideallinie hinbiegen lassen, auch wenn der allgemeine Kammsche Kreis berücksichtigt wird (was wohl oder übel nur noch viel komplizierter  berechenbar ist)

Ich werde sehr gerne mit der Exceldatei etwas rumspielen. Denn ich habe noch ein paar Vermutungen, die wieder nur aus meinem Gefühl kommen und daher will ich sie mir zuerst bestätigen lassen, das sollte ich glaub hinkriegen und werde dann berichten.


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.49, eingetragen 2017-11-12 22:40    [Diesen Beitrag zitieren]

ich hab noch nen schall-stich als fahrweg konstruiert und komme damit nach 13,586 sec wieder auf die, um mehrere kilometer verlängerte(verbreiterte), start-ziel-linie

fliegender start mit schallgeschwindigkeit 343m/s und dem dazugehörigen R=11764,9m 2314,9m seitlich der berührstelle

und weil ichs nicht verstehe noch ne frage: bedeutet die angesetzte zentripetalbeschleunigung von 10 m/s² dass ich dabei mit ungefähr 45,6° schräglage fahre?

monty, fährt dein mopped also auch mit konstanter schräglage die log.spirale? (mein ur-olles excel versteht leider die macros nicht...)

haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.48, eingetragen 2017-11-12 20:07    [Diesen Beitrag zitieren]

@Haribo,
2017-11-11 01:14 - haribo in Beitrag No. 42 schreibt:
woher wissen wir wer wen wie versteht?
Sehr schöner Satz! Den musste ich dreimal lesen, bis ich ihn verstanden habe. biggrin Und die Frage ist tatsächlich gut.

ist ein kreis eine spezielle form einer spirale?
So würde ich das nicht sagen. Die logarithmische Spirale wird bei geeigneten Parametern annähernd zum Kreis, oder annähernd zur Gerade. Deswegen eignet sie sich so gut. Ich habe sie mir ja nicht "ausgesucht" so wie ihr die Ellipse, sondern sie ergab sich eben aus der Annahme konstanter Beschleunigungen, aber die Eigenschaften sind schon überraschend.

deine beste bahn wechselt also von einer log spirale mit definierter steigung schlagartig bei 4 in eine weitere log.spirale mit unendlicher steigung?
Nein, in eine Gerade, aber die Spirale tangiert diese Gerade, das ist physikalisch zulässig. Es findet zwar ein Sprung in der Bahnkrümmung statt, es muss also einmal kurz am Lenkrad/Lenker geruckt werden, aber von Radius 153m auf geradeaus klingt nicht dramatisch. Auch bei einer Ellipse wäre das so. Um das zu vermeiden, bräuchte man eine Funktion, die mit Krümmung null startet.

Ciao,

Thomas


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.47, eingetragen 2017-11-12 19:48    [Diesen Beitrag zitieren]

Soooo...
Also ich habe die Ellipse erst einmal noch nicht gerechnet, sondern habe mich darauf konzentriert, die logarithmische Spirale so zu gestalten, dass sie auch theoretisch am Scheitelpunkt der Kurve vorbei führen kann wie die gelbe Linie in Beitrag #11 von Haribo. Also so:


Das war nicht so einfach, denn da ich eine allgemeine Ideallinie auch für andere Kurven als nur die 180°-Kehre berechnen wollte, musste ich die Spirale so bestimmen, dass sie einerseits den Innenkreis der Kurve berührt (aber eben nicht unbedingt im Ursprung), und gleichzeitig immer noch die Außenbahn der Geraden tangiert. Das war etwas komplizierter als die Herleitung in den letzten Beiträgen. Außerdem sind etliche Spezialfälle zu beachten, wenn man nicht möchte, dass die automatisierte Berechnung irgendwo wegen Überlauf-Fehlern oder Division durch null fehlschlägt. Die elliptische Bahn steht noch auf dem Programm, aber ich wollte erst einmal die Excel-Datei fertigstellen. Sie kann in meinem Notizbuch heruntergeladen werden: hier klicken. Dadurch, dass einige automatisierte Suchen mit Näherungsverfahren umgesetzt werden mussten, ist es notwendig, diese Datei mit Makros zu versehen.
Die oben dargestellte Grafik ist dann die bildliche Darstellung, zwecks Kontrolle. Die Bedienung ist äußerst simpel. Auf dem ersten Blatt werden die Parameter eingeben, also Streckendaten und maximale Beschleunigung:


Mehr muss man nicht machen, das Tabellenblatt bestimmt automatisch die schnellstmögliche Linie. Auf dem zweiten Blatt werden die Ergebnisse dann ausgegeben:



Und zu meiner Überraschung stellte sich heraus, dass bei der 180°-Kehre tatsächlich die Linie, die am Kurvenscheitelpunkt vorbeiführt, die etwas schnellere Linie ist. Also Boo85: Dein Gefühl hat Dich nicht getäuscht! Und ich leiste hiermit Abbitte. Aber ich lerne ja gern dazu, daher freut mich dieses Ergebnis. Die Messlatte liegt nun bei 14,33 Sekunden! Das ist mehr als 0,4s schneller als bisher, und wenn man bedenkt, dass der Startpunkt bei Koordinate (40, 230) liegt, dann an (0,0) vorbeiführt und bei (-40, 230) endet, ist das schon erstaunlich schnell, denn das (real nicht fahrbare) geradlinige Optimum über die Wiese liegt bei 13,67 Sekunden.
Es gibt noch zwei ausgeblendete Tabellenblätter, eines für die Koordinaten der Streckenbegrenzung und eines mit den berechneten Momentanwerten für die Spirale.
Im nächsten Beitrag umreiße ich noch kurz, wie die numerische Berechnung funktioniert, falls jemand die Ellipse oder noch eine andere Linie selbst probieren möchte.

Ciao,

Thomas


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.46, eingetragen 2017-11-11 13:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Boo85,
ja, man kann die Gerade beliebig lang machen, aber darum geht es hier nicht. Wir sind immer noch bei unserem Beispiel bei 200m Gerade und nicht unendlich lang. Warum Du unter realen Bedingungen die grüne Linie fahren würdest, ist mir klar, würde es aber eher als fahrtaktisches Manöver sehen, zum Beispiel um Dich in eine günstige Überholposition zu bringen, und nicht, um nach 200m Gerade als erster über die Ziellinie zu fahren. Die Linien, die ein Rennfahrer fährt, um den vor ihm liegenden Fahrer zu überholen, sind ganz andere und praktisch nie auf der Ideallinie. Man kann immer wieder beobachten, und Du weißt das sicher auch aus eigener Erfahrung, dass Zweikampf Zeit kostet. Wer die Strecke in Rekordzeit fahren will, muss alleine fahren. Ich sehe mir jetzt nicht pausenlos Motorradrennen im Fernsehen an, aber mir wäre noch nie aufgefallen, dass ein Profi, der eine Qualifying-Runde fährt, freiwillig Deine "grüne" Linie wählt, es sei denn, dass die weitere Streckenführung das sinnvoll macht, zum Beispiel eine gleich anschließende, schnelle Kurve in die andere Richtung.
Aber wir driften ab in den Stammtisch-Talk, lass uns bei der Mathematik bleiben.

Ciao,

Thomas


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
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 Beitrag No.45, eingetragen 2017-11-11 11:07    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-11 10:19 - MontyPythagoras in Beitrag No. 44 schreibt:
Mein mathematisches Gefühl sagt mir jedoch, dass eine Linie, die den Innenradius vor und nach dem Scheitelpunkt berührt, nicht ideal sein kann, denn
1. wird der Weg länger als er müsste,
2. wird der Kurvenradius am Umkehrpunkt kleiner als er müsste.

Erinnerst du dich an eines meiner anfänglichen Postings, wo ich die grüne Linie gezeichnet und ganz grob aber konservativ berechnet habe? Daraus müsste doch eigentlich klar werden, warum einen Umweg und einen zeitweilig sehr engen Radius zu fahren je nach Länge der darauffolgenden Geraden durchaus Sinn machen kann. Rein mathematisch kann man ja die Gerade beliebig lang machen, und dann muss man nur auf die Kurvenausfahrtsgeschwindigkeit achten und nicht auf den Weg oder die Geschwindigkeit innerhalb der Kurve, einverstanden?

Oder wieder aus der Praxis: Die Zeit holt man vor und nach der Kurve. Weil, um es provokativ zu sagen, "Schräg fahren kann jeder..." ;-)

Ich kann also meine Sturheit zumindest auch mit einfachen mathematischen/physikalischen Argumenten begründen.

Ob die Linie sich nun exakt als Ellipse oder Spirale oder Polynom beschreiben lässt, ist ja letztendlich wurscht. Mir ist nur wichtig, wie sie qualitativ im Bereich der Kurve ausschaut und wie sie grundsätzlich mathematisch beschreibbar ist.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.44, eingetragen 2017-11-11 10:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Boo85,
das war nicht herablassend gemeint - ich hoffe, Du hast den Smiley bemerkt. Mir ist schon klar, dass Du kein mathematischer Anfänger bist.
Die Ellipse ist schwarz, die log-Spirale rot. Ich wollte ja auch nur illustrieren, dass man sich nicht von Begriffen wie "Spirale" oder "Ellipse" blenden lassen sollte, sondern dass bei entsprechender Parametrierung die Kurven fast beliebig ähnlich werden können, und sich auf der realen Strecke nur um cm unterscheiden. Ich kann auch die Spirale die Innenkante VOR dem Scheitelpunkt berühren lassen, wie Du und haribo vorschlagen. Es wird nur etwas schwieriger, weil man dann noch ausrechnen muss, wie weit man die Spirale nach "unten" schieben muss, damit sie vollständig um den inneren Kurvenradius herumführt und die Linie nicht die Strecke nach innen verlässt. Mein mathematisches Gefühl sagt mir jedoch, dass eine Linie, die den Innenradius vor und nach dem Scheitelpunkt berührt, nicht ideal sein kann, denn
1. wird der Weg länger als er müsste,
2. wird der Kurvenradius am Umkehrpunkt kleiner als er müsste.
Wir haben schon eine sehr ähnliche Sicht auf die Dinge. Wo wir uns unterscheiden, ist lediglich die Meinung darüber, ob es noch eine schnellere Linie gibt als die logarithmische Spirale oder nicht. Du bist Dir sicher, während ich sage, es könnte, aber es muss nicht. Deine Meinung ist eingefärbt durch Deine praktische Erfahrung, und ich versuche hartnäckig, Dir diese Scheuklappen abzunehmen. Ich fange jetzt nicht noch einmal von Massepunkt und realem Motorrad an, lass mich nur noch dazu sagen, ohne öffentlich ins Detail gehen zu wollen, dass ich in "schnell fahren" auch nicht unbeleckt bin. Lass uns sehen, was wir noch herausbekommen.

Ciao,

Thomas


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
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 Beitrag No.43, eingetragen 2017-11-11 08:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Monty

Ich mag Rätsel sehr. Was ich nicht mag sind herablassende Kommentare  razz
Dass man verschiedene Kurvenformen in gewissen Intervallen durch Parameteranpassung annähernd deckungsgleich gestalten kann, ist nichts Neues für mich, auch wenn du mir das vielleicht nicht zutraust. Man würde wohl auch ein Polynom 4. Grades da durchlegen können, sodass man es von Auge kaum unterscheiden kann...
Wenn du so an deiner Spirale hängst, dann leg sie doch mal so, dass sie nicht am Kurveninnenradius startet, sondern vielleicht mittig der Streckenbreite und dann etwas später den Kurveninnenradius berührt. Der Punkt, wo du deine Randbedingung "Start am Kurveninnenradius" einsetzt, ist ja eher spät in der ganzen Rechnung, müsste also eigentlich klappen. Ich bin überzeugt, dass du deine Bestzeit damit toppen kannst. Ich habe ja auch nie behauptet, dass die mathematische Ideallinie exakt Ellipsenförmig ist. Nur, dass mir die von Haribo gezeichnete gelbe Linie mit Abstand am besten gefällt. Nur der Wendepunkt ist etwas weit aussen, ansonsten würd ich die Kurve in etwa so fahren.

Die Überlegungen zum Beschleunigungssensor sind völlig korrekt, genau das hatte ich ja schon nach deinem ersten Post bereits im Kopf und ich bin eben der Meinung, dass die Variante rechts nicht nur eher dem real Machberen entspricht, sondern auch mathematisch schneller ist als die in der Mitte. Deine Annahme konstanter Quer- und Längsbeschleunigung erfüllt ja die Bedingung des Kammschen Kreises, sie ist einfach ein (verständlicherweise) einschränkender Spezialfall um die Berechnung zu vereinfachen. Und warum soll dieser Spezialfall genau das Optimum darstellen?

Dass die numerische Berechnung nicht mit einem Zweizeiler erledigt ist, beruhigt mich wiederum etwas, sonst hätte ich definitiv an mir selber gezweifelt ^^

Lass dir gerne soviel Zeit wie du willst, es ist keine Schulaufgabe, die ich abgeben muss wink . Ich habe ja auch selber (neben mangelnden mathematischen Fähigkeiten) momentan nur wenig Zeit selber aktiv an dem Problem zu arbeiten.


haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.42, eingetragen 2017-11-11 01:14    [Diesen Beitrag zitieren]

woher wissen wir wer wen wie versteht?

ist ein kreis eine spezielle form einer spirale? ne log. spirale kanns ja eigendlich nicht sein da sie nach endlicher länge im mittelpunkt ankommen soll, ne archimedische wohl schon?

dagegen eine gerade könnte ne extrem steile (unendlich steil) log. spirale sein?

deine beste bahn wechselt also von einer log spirale mit definierter steigung schlagartig bei 4 in eine weitere log.spirale mit unendlicher steigung? wiso ist es nicht besser diesen übergang fliessend darzustellen, wäre das eine log.log.spirale?

also ich verstehe nur langsam was ne spirale ausmacht, das schöne ist ja die berufliche spirale ist längst mit 1/>10mm genauigkeit CNC produziert und auf dem weg in eine galerie... und ich hab sie gezeichnet und weiss jetzt noch nichtmal wie sie im inneren enden müsste, möge in tausend jahren ein archäologe sie vermessen und meinen geometrie fehler beschreiben

deine rätselaufgabe gefällt mir, aber irgendwie müsste doch die schmale schwarze linie an beiden enden der breiten roten gleichseitig (mittig?) ankommen, ich werde etwas drüber nachdenken

haribo


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.41, eingetragen 2017-11-11 00:30    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
@Boo85: während ich noch an der Exceltabelle bastele, hier schon einmal eine kleine Rätselaufgabe für Dich:

In diesem Bild sind neben der grünen Streckenbegrenzung auch eine Spirale und eine Ellipse zu sehen. Die Ellipse ist so bemessen, dass ihre Halbachsen den Außenmaßen der Spirale entsprechen. Welches ist die Spirale, und welches die Ellipse?  razz

Was die allgemeine Ideallinie angeht, habe ich mir folgendes überlegt:

In Anlehnung an den symbolischen Beschleunigungsanzeiger aus Deinem Video habe ich die bisherigen Lösungen dargestellt. In den ersten Lösungen (linkes Bild), in denen Geraden mit Halbkreisen kombiniert wurden, ist zuerst reine Verzögerung (Punkt 1), dann reine Querbeschleunigung im Halbkreis (Punkt 2), dann reine Beschleunigung (Punkt 3). Bei der besseren Lösung mit der logarithmischen Spirale (mittleres Bild) herrscht auch zuerst reine Verzögerung, dann konstante Querbeschleunigung kombiniert mit konstanter Längsverzögerung (Punkt 2) bis zum Kurvenscheitelpunkt, dann springt die Längsbeschleunigung von Minus ins Plus beim Rausbeschleunigen auf der zweiten Spirale (Punkt 3), und am Ende wieder reine Längsbeschleunigung (Punkt 4). Der rote Punkt als Beschleunigungsanzeiger könnte also bei der absoluten Ideallinie am linken Rand des Kammschen Reibkreises entlangwandern, statt an zwei festen Punkten zu verharren.

Was das numerische Berechnen der Ellipse angeht: das ist nicht mal so eben erklärt. Das braucht sicher auch einen längeren Beitrag. Ich brauche jetzt erst einmal ein bisschen Zeit für die Excel-Datei. Meine Zeitressourcen sind ja auch nicht unbegrenzt.

@Haribo #40: ähm, genau darum ging es doch die ganze Zeit bei der Spirale, die ich berechnet habe. Ich dachte, das wäre deutlich geworden. Der Winkel <math>\alpha</math> ist doch genau der Winkel zwischen Beschleunigungsvektor und Fahrtrichtungsvektor, und der ist während der ganzen Spirale konstant. Oder habe ich Dich jetzt falsch verstanden?

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.40, eingetragen 2017-11-10 17:08    [Diesen Beitrag zitieren]

ich hatte heute beruflich mit ner archimedischen spirale zu tun gehabt, die endet innen nicht in der mitte, sondern dort wo ihr krümmungs radius null wird, das wusste ich nicht bisher...

gibt es eine log. spirale mit einer bestimmten steigung welche zu der beschleunigung "10 m/s²" derart passt dass man sie entlangbeschleunigen kann und dabei immer das gleiche verhältniss von quer zu lateralbeschleunigung behält? fals ja, ist dabei das verhältniss quer zu lateral bestimmt?

haribo



Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
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 Beitrag No.39, eingetragen 2017-11-10 13:25    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-10 09:08 - MontyPythagoras in Beitrag No. 38 schreibt:
Hallo zusammen,
@Boo85: wie Haribo schon gesagt hat: bei absolut symmetrischen Fahrleistungen (Bremsen und Beschleunigen identisch) MUSS auch die Ideallinie symmetrisch sein, das ist eine Frage der Logik.


Klar, Symmetrie ist einleuchtend. Mit Scheitelpunkt meine ich den Punkt, wo die gefahrene Linie den Kurveninnenradius berührt. War ein reines Missverständnis. Ich erwarte diese Punkte erfahrungsgemäss bei ca. 1/3 bzw. 2/3 der Bogenlänge des Kurveninnenradius, darum gefällt mir ja die Ellipse so gut ;-)

Naja, ich hab nie gesagt dein Ergebnis gefällt mir nicht, ganz im Gegenteil. Ich meine nur, dass deine Annahme konstanter Beschleunigung eine Vereinfachung darstellt, die viel mehr von der Realität abweicht als alle meine Annahmen zusammengenommen, aber beweisen kann ich das natürlich nicht, das bleibt (vorerst ) eine Meinung. Dass die resultierende Linie nicht meiner Vorstellung entspricht, verwundert mich daher überhaupt nicht. Ich habe also nicht aufgrund des Ergebnisses ein „Fehler“ in der Snnahme gesucht, sondern genau umgekehrt. Es hätte mich erstaunt, wenn unter deiner Annahme eine Linie rauskommt, die ich selber ungefähr so fahren würde. Aber wer weiss, vielleicht täusche ich mich ja ganz gewaltig ;-)
Vielleicht wäre ein etwas realistischerer Ansatz, dass jeweils der Ruck da/dt lateral und quer konstant ist?  Aber auch dies würde die Rechnung wohl schon fast verunmöglichen...
Dass also deine Annahme im ersten Schritt notwendig ist um die Berechnung zu ermöglichen, damit kann ich perfekt leben und nehme mir soviel aus deinen Inputs wie ich nur kann.

Wie würdest du denn die Zeit bei der Ellipsenform unter meiner Voraussetzung „Kammscher Kreis“ berechnen? Wenn ich das wüsste, könnte ich schon viel rumspielen um sie zu optimieren.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.38, eingetragen 2017-11-10 09:08    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
@Boo85: wie Haribo schon gesagt hat: bei absolut symmetrischen Fahrleistungen (Bremsen und Beschleunigen identisch) MUSS auch die Ideallinie symmetrisch sein, das ist eine Frage der Logik. Kinematisch ist unser Fahrzeug nur ein Punkt (Du weißt schon: Kinematik der Punktmasse und so). Wenn die Ideallinie asymmetrisch wäre, hättest Du bei symmetrischen Fahrleistungen ja zwei Linien zur Auswahl: du könntest Deinen Wendepunkt vor oder hinter dem Kurvenscheitelpunkt fahren, Du fährst die Linie vorwärts oder rückwärts.
Stell Dir eine nach oben offene Parabel vor, und Du suchst das Minimum, indem Du einen y-Wert setzt und die Schnittpunkte mit dieser Parabel berechnest. Wenn Du zwei Punkte bekommst, bist Du noch nicht am Minimum. Wenn Du den y-Wert weiter absenkst, rücken die beiden Schnittpunkte näher zusammen, und wenn sie zu einem geworden sind, bist Du am Minimum. So ist es hier auch.
In der Realität (!) bei Fahrzeugen mit asymmetrischem Verhalten (Verzögerung>Beschleunigung) wird die Ideallinie wahrscheinlich tatsächlich asymmetrisch sein, aber bei unserem Modellfahrzeug hier auf keinen Fall.
Ich weiß auch, dass bei Hochleistungsfahrzeugen oder auch starken Motorrädern die Beschleunigung fast konstant ist. Ich kenne auch das Hinterrad-Stempeln und all die anderen lustigen Effekte, ich kenne mich insgesamt mit Fahrdynamik sehr gut aus, denn ich entwickle beruflich Prüfstände für die Fahrzeugindustrie. Ein Motorrad-Prüfstand für eben jenes Stempeln war auch schon dabei. Und daher kenne ich die Grenzen dessen, was man durch "einfache" mathematische Mechanik noch abbilden kann und was nicht. Ich habe also Deine Aufgabe sehr gut verstanden, sie ist in Deinem Anfangspost klar rüber gekommen, aber ich werde nicht müde, Dir klarmachen zu wollen, dass wir hier nicht die Ideallinie Deines Motorrades berechnen, sonders eines Massepunktes. Die Ameise und die Mondphase werden keine Rolle spielen, aber zum Beispiel spielen bei einem Motorrad die Massenträgheitsmomente sowohl um die Aufstandsachse als auch um die Hochachse eine Rolle, beim Massenpunkt nicht. Die absolut kürzeste Zeit auf Deiner Modellstrecke ist 13,565 Sekunden, und zwar wenn man, wie Haribo es nannte, keine Kurve hat, sondern am Scheitelpunkt nur eine Pylone. Hin- und Rückweg der Kehre sind nur durch eine Wand der Dicke null voneinander getrennt. Dann rast Du am Innenrand der Strecke mit maximaler Verzögerung von 10m/s² auf den Pylon zu, um dort zum Stehen zu kommen, wendest das Modellfahrzeug auf der Stelle in null Zeit, und rast zurück. Dann ist die dafür benötigte Zeit <math>T=2\sqrt{2\frac{230\text m}{10\text{m/s}^2}}=13,565\text s</math>. Mit einem Massenpunkt geht das, aber versuch mal, Dein Motorrad in einer Microsekunde auf der Stelle zu wenden. Du musst also nur <math>r_i</math> in Deiner Beispielaufgabe auf null reduzieren und bekommst ein für die Welt da draußen maximal unrealistisches Ergebnis.
Retourkutsche? Nein. Du darfst glauben was Du willst, aber schließlich bist Du hergekommen, um eine Ideallinie für ein Gedankenexperiment zu berechnen, und wenn Dir das Ergebnis nicht gefällt, argumentierst Du mit der Realität. Das ist schon ein wenig absurd.
Ich werde am Wochenende mal die Ellipse numerisch berechnen, das ist kein Ding. Als Schlussfolgerung aus meinen Ergebnissen bekommen wir auf jeden Fall einen deutlichen Fingerzeig, wie die Ideallinie mit variablen Beschleunigungen aussehen könnte, soviel kann ich jetzt schon verraten. Dazu heute Abend mehr.
@haribo: zu Deiner Frage gibt es ein eindeutiges Jein. Warum, kann ich Dir leichter klar machen, sobald ich die Excel-Datei fertig habe.

Ciao,

Thomas


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.37, eingetragen 2017-11-10 06:21    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-10 00:24 - Boo85 in Beitrag No. 36 schreibt:
Ich wäre extrem erstaunt, wenn bei der absolut besten Lösung der angefahrene Scheitelpunkt genau in der Mitte der Kurve liegen würde.

ich wäre, wenn bei symetrischen bedingungen, also gleicher anfahr- und brems-beschleunigsmöglichkeit, bei der absolut besten lösung der gefahrene weg nicht symetrisch liegen würde, erstaunt

aber monty, geht aus deiner rechnerei eindeutig hervor das es immer ungünstiger ist eine etwas äm steilere(?)log. spirale zu fahren die den innenradius dann insgesamt zweimal berührt dafür aber <math>l_B</math> verlängert?

haribo


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
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 Beitrag No.36, eingetragen 2017-11-10 00:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Monty

Ich finde deine Leistung hier Wahnsinn, echt cool! Ich freue ich auf deine Excel Tabelle.

Du hast recht, wir werden sehen. Vielleicht... ;-)
Ich wäre extrem erstaunt, wenn bei der absolut besten Lösung der angefahrene Scheitelpunkt genau in der Mitte der Kurve liegen würde.

Nur kurz zu deiner Behauptung, dass meine Annahmen derart schlecht/unrealistisch sein sollen (ist das eine Retourkutsche, weil ich deine Annahme konstanter Beschleunigung als unrealistisch betitelt habe? Ich wollte dir keinesfalls auf die Füsse treten!):

Punkt Beschleunigung: also bis 200km/h (55m/s) ist das bei einem schnellen Serienmotorrad nicht derart abwegig. Und selbst wenn du pingelig sein willst, dann reduziere halt a_res auf 5m/s^2, die generelle Form der Linie bleibt doch sicher gleich, das macht also qualitativ keinen Unterschied.

Punkt Bremsen: Beim Motorrad ist beim harten Bremsen praktisch kein Gewicht auf dem Hinterrad (Hinterbremse wird wird typischerweise nicht zum eigentlichen Bremsen benutzt) und beim Beschleunigen fast keins auf dem Vorderrad. Gleiche Bedingungen also. Die etwas grössere Reifenaufstandsfläche am Hinterrad können wir getrost vernachlässigen, da sind wir maximal im einstelligen Promillbereich.

Der Kammsche Kreis ist definitiv gut genug als Näherung, auch hier wirds insgesamt gesehen vielleicht auf ein paar Prozent genau stimmen, da bin ich mir sicher.

Unregelmässiger Fahrbahnbelag, Reifenerwärmung durch Reibung, Schlupf, die Ameise, über die man gerade fährt und auch die Mondphase, all diese Dinge interessieren mich kein bisschen.

Ich möchte rausfinden, wie die Linie prinzipiell ausschaut, und nicht, ob ich in dieser oder jener Kurve rein theoretisch noch ne Tausenstelssekunde schneller sein könnte. Ist das im Anfangspost nicht klar genug rüber gekommen?

Ich freu mich über weitere Ansätze


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.35, eingetragen 2017-11-09 22:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Der Theorie letzter Teil:
Wenden wir die logarithmische Spirale auf eine beliebige Rennstreckenkurve an. Man kann die Kurve durch vier Parameter geometrisch bestimmen:
- Innen- und Außenradius <math>r_i</math> und <math>r_a</math> der Kurve selbst
- den Kurvenwinkel <math>\varphi_K</math> (als halber Gesamtwinkel: bei der 180°-Kehre ist also <math>\varphi_K=90°</math>)
- die Gerade mit der Länge <math>l</math> jeweils vor und nach der eigentlichen, kreisförmigen Kurve
Siehe Bild:

Die Spirale soll nun die äußere Streckenkante genau tangieren, und zwar im Punkt <math>(x_B,y_B)</math>, der den Übergangspunkt markiert zwischen Spirale und gerader Brems- und Beschleunigungsstrecke.
Die Geradengleichung der äußeren Streckenkante lautet:

<math>\displaystyle \binom{-\sin\varphi_K}{\cos\varphi_K}\left[\binom xy-\binom{r_a\sin\varphi_K}{r_i-r_a\cos\varphi_K}\right]=0</math>

<math>\displaystyle -x\sin\varphi_K+y\cos\varphi_K+r_a-r_i\cos\varphi_K=0</math>

Da <math>\varphi</math> als Steigungswinkel auch gleich der Parameter der Spiralkurve ist, muss der Punkt <math>(x_B,y_B)</math> nur diese Gleichung erfüllen, wenn man <math>\varphi_K</math> einsetzt. Jetzt wird es etwas unübersichtlich:

<math>\displaystyle -\left[\frac{v_0^2}{\sqrt{4a_L^2+a_Z^2}}e^{\frac{2a_L}{a_Z}\varphi_K}\cos\left(\varphi_K-\arctan\frac{a_Z}{2a_L}\right)-\frac{2v_0^2a_L}{4a_L^2+a_Z^2}\right]\sin\varphi_K \\
+\left[\frac{v_0^2}{\sqrt{4a_L^2+a_Z^2}}e^{\frac{2a_L}{a_Z}\varphi_K}\sin\left(\varphi_K-\arctan\frac{a_Z}{2a_L}\right)+\frac{v_0^2a_Z}{4a_L^2+a_Z^2}\right]\cos\varphi_K+r_a-r_i\cos\varphi_K=0</math>

... aber unter Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme und weiterer Umformungen lässt sich das stark vereinfachen (ich lasse wieder ein paar Zwischenschritte aus):

<math>\displaystyle v_0^2\left(a_Ze^{\frac{2a_L}{a_Z}\varphi_K}-a_Z\cos\varphi_K-2a_L\sin\varphi_K\right)=\left(4a_L^2+a_Z^2\right)\left(r_a-r_i\cos\varphi_K\right)</math>

Außerdem gilt aber auch:

<math>\displaystyle a_Z^2+a_L^2=a^2</math>

Ab hier ist es daher sinnvoll, die Längs- und Querbeschleunigung über einen "Beschleunigungswinkel" <math>\alpha</math> zu definieren:

<math>\displaystyle a_L=a\cos\alpha\qquad a_Z=a\sin\alpha</math>

Dann muss gelten:

<math>\displaystyle v_0^2=\frac{a\left(1+3\cos^2\alpha\right)\left(r_a-r_i\cos\varphi_K\right)}{e^{\left(2\varphi_K\cot\alpha\right)}\sin\alpha-\cos\varphi_K\sin\alpha-2\sin\varphi_K\cos\alpha}</math>

Mit gegebenen Streckendaten haben wir demnach eine Bedingung für die zwei Unbekannten <math>v_0</math> und <math>\alpha</math>. Es gibt somit "Optimierungsspielraum". Tatsächlich kann man nämlich z.B. <math>a_L=0</math> setzen, also <math>\alpha=\frac{\pi}2</math>, so wie Ihr es in Euren Annahmen mit den Halbkreisen gemacht habt. Dann mutiert die Spirale nämlich auch zum Kreis und sie entspricht für die 180°-Kehre der blauen Kurve in haribos Beitrag #11, oder bei einer allgemeinen Kurve dem größtmöglichen Kreis, den man auf der Strecke zwischen Scheitelpunkt und Außenkante der Geraden eben unterbringen kann. Davon kann man sich leicht überzeugen, wenn man in voriger Gleichung <math>\alpha=\frac{\pi}2</math> und <math>\varphi_K=\frac{\pi}2</math> setzt.
Ich hatte bei meiner Spirale oben <math>a_L</math> maximal gewählt, so dass der Krümmungsradius am Scheitelpunkt gerade genau dem Kurveninnenradius entspricht. Das ist eine weitere potentielle Einschränkung: der Krümmungsradius der Spirale am Scheitelpunkt muss größer sein als der Kurveninnenradius, denn sonst verlässt das Fahrzeug die Bahn nach innen. Es muss also einschränkend angenommen werden, dass

<math>\displaystyle \kappa(0)=\frac{a\sin\alpha}{v_0^2}<\frac1{r_i}</math>

Führt man das zusammen, so folgt als einschränkende Bedingung für das minimale <math>\alpha</math>:

<math>\displaystyle \frac{\left(1+3\cos^2\alpha\right)\left(r_a-r_i\cos\varphi_K\right)}{e^{\left(2\varphi_K\cot\alpha\right)}\sin\alpha-\cos\varphi_K\sin\alpha-2\sin\varphi_K\cos\alpha}=r_i\sin\alpha</math>

Das <math>\alpha</math> zu bestimmen geht nur über eine Näherungslösung, z.B. nach Newton.
Jetzt haben wir fast alles zusammen, es bleibt nur noch zu berechnen, wieviel Zeit auf der Geraden zwischen dem Punkt <math>(x_B,y_B)</math> und der Start-/Ziellinie vergeht. Dazu müssen wir <math>l_B</math> bestimmen, welches aus einfachen geometrischen Zusammenhängen hervorgeht:

<math>\displaystyle l_B=\sqrt{\left(y_B-r_i+\frac{r_a}{\cos\varphi_K}\right)^2+x_B^2}-r_a\tan\varphi_K</math>

bzw. für den Spezialfall <math>\varphi_K=\frac{\pi}2</math>:

<math>\displaystyle l_B=y_B-r_i</math>

Die Zeit auf der Geraden ist dann:

<math>\displaystyle t_G=\frac{-v_B+\sqrt{v_B^2+2a\left(l-l_B\right)}}{a}</math>

wobei <math>v_B=v(\varphi_K)</math> die Geschwindigkeit am Ende der Spirale ist.
So, das wäre wohl das komplette Theoriepaket. Ich setze das jetzt noch bei Gelegenheit in eine Exceltabelle um, aber vermutlich erst morgen oder am Wochenende.

Ciao,

Thomas


MontyPythagoras
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 Beitrag No.34, eingetragen 2017-11-09 21:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Boo85,
und ich glaube, Du irrst Dich. Ich wette darauf, dass die Ellipse nicht schneller ist - für dieses abstrakte Beispiel. Aber wir werden ja sehen.
Aber nochmal in Bezug auf die Realitätsnähe: deine Vereinfachungen bei dieser Beispielaufgabe sind so massiv, dass eine Abweichung von der Realität absolut normal ist. Schon allein die Annahme konstanter Beschleunigung zumindest bis in hohe Geschwindigkeiten ist für jedes Fahrzeug abwegig. Auch die Annahme, dass Bremsen und Beschleunigung gleich stark erfolgen. Das ginge nur mit Allradantrieb, denn Bremsen findet ja mit allen Rädern statt. Da kannst Du einfach mehr Reibkraft rüberbringen, als beim Beschleunigen, wo das Vorderrad nur mitrollt. Der Kammsche Reibkreis stimmt auch nicht genau, schon eher die Krempelsche Reibungsellipse. All diese Abweichungen können durchaus der Grund dafür sein, dass in der Realität anders gefahren wird, als in einem stark abstrahierten, mathematischen Modell.
Ich möchte am Ende eine Exceltabelle bereitstellen, die Du dann runterladen kannst, wenn Du möchtest. Das dauert aber noch ein wenig länger. Der Rest der theoretischen Berechnungen kommt gleich.

Ciao,

Thomas


Boo85
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 Beitrag No.33, eingetragen 2017-11-09 21:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Monty

Selbstverständlich erfüllt deine Annahme mit konstantem <math>a_Z </math> und <math>a_L</math> meine Randbedingung, ich habe ja nicht gesagt deine Rechnung wäre falsch ;-)

Ich wollte nur darauf hinaus, dass diese Annahme eine sehr starke (und zudem unrealistische) Vereinfachung darstellt, deren Resultat wohl weit von der Idealzeit entfernt ist. Dass deine Spirale schneller ist als der perfekte Halbkreis, ist ja schon ein super Schritt in die richtige Richtung, aber ich bin überzeugt, dass z.B. eine Ellipse wie die von Haribo nochmal deutlich schneller sein wird. Nur scheitere ich bisher leider am Beweis. Aber mit deinen guten Inputs schaffe ich es vielleicht ja doch noch.

Ich würde aber auch darauf wetten, dass bei meinem Modell, so denn die Lösung wirklich auch auffindbar ist, diese sehr nahe an einer real gefahrenen Rennlinie liegt (kann man ganz einfach prüfen, sog. "Ovale" Strecken gibt es genügend auf der Welt. Denn glücklicherweise neigt der Mensch ja dazu, mit der Zeit auch ohne viel Mathematik reale Abläufe ziemlich gut zu optimieren, indem er physikalische Gesetze intuitiv richtig ausnutzt. Es würde mich doch sehr erstaunen, wenn hier etwas komplett anderes rauskommen würde. Und die Spirale ist halt, genau wie die Halbkreise, nicht mal qualitativ ähnlich zu der Linie, die ein Rennfahrer wählen würde, ganz im Gegensatz zur Ellipse.

Vielleicht teile ich mal die Ellipse in drei oder vier Kreissegmente ein, die ich dann wiederum berechnen kann, ich denke schon so wird man unter 14.5s kommen.

Dass die Aufgabe, die eigentlich gar nicht so schwierig klingt, eine Mammutaufgabe ist, davon bin ich jetzt schon überzeugt ^^




MontyPythagoras
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 Beitrag No.32, eingetragen 2017-11-09 19:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Haribo,
am Scheitelpunkt ist die Geschwindigkeit nur 17,08m/s und damit geringer als Deine 17,32s. Das ist klar, denn ich brauche ja auch noch "Luft" für Längsbeschleunigung. Die beträgt nämlich immerhin gut 2,3m/s^2, und so komme ich mit knapp 25m/s schon aus der Kurve raus. Ergebnisse kommen noch, nur Geduld.

Ciao,

Thomas


haribo
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 Beitrag No.31, eingetragen 2017-11-09 19:01    [Diesen Beitrag zitieren]

evtl wäre es hilfreich wieder einen schritt zu vereinfachen also ne lineare- spirale (sagt man das so?) anstelle einer logarithmischen zu vermessen...???

denn bisher hatten wir ja sogar noch schwierigkeiten die beschleunigungen beim übergang von zwei verschiedenen radien zu beschreiben...
(nachtrag; ich meine den plötzlichen sprung... bei einer kontinuierlichen spirale kann ich es mir besser (aber nur etwas besser, keineswegs perfekt) vorstellen immer so zu beschleunigen dass die summe der beschleunigungen konstant bleibt)

ich kann die knapp 2,5% schnelleren 14,74 sowiso kein bischen nachrechnen
welche end+anfangsgeschwindigkeit hast du dabei ermittelt?

haribo

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.29 begonnen.]


MontyPythagoras
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 Beitrag No.30, eingetragen 2017-11-09 18:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Boo85,
Beim F1-Wagen gibt es natürlich, im Gegensatz zum Motorrad, noch den zu v² proportionalen Abtrieb, das ist mir klar. Vielleicht bezog es sich auch auf andere Fahrzeuge als den F1-Wagen, denn Senna ist ja gelegentlich auch mal "als Hobby" andere Fahrzeuge, z.B. Straßenfahrzeuge oder auch Motorrad gefahren. Aber du magst recht haben, dass der Reporter das falsch wiedergegeben hat, und dann wäre es ein schlechtes Beispiel gewesen.
Trotzdem bist Du es, der etwas falsch interpretiert, und zwar in zwei Aspekten:
1. Mir ist klar, dass <math>a_L</math> und <math>a_Z</math> nicht separat konstant sein MÜSSEN, um die Ideallinie zu ergeben, sondern nur vektoriell addiert, wenn man den Kammschen Reibkreis voraussetzt. Habe ich was anderes behauptet? Daher besteht mathematisch durchaus die Möglichkeit oder sogar eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass eine andere Linie als die logarithmische Spirale das mathematische Optimum darstellt. Ich habe nicht behauptet, dass diese Spirale das Optimum wäre, sondern lediglich gezeigt, dass sie offenbar schnellere Zeiten als Eure einfacheren Rechnungen liefert für DEIN KONKRETES Beispiel.
2. Dein konkretes Beispiel ist vielleicht auch der Knackpunkt, denn es ist stark idealisiert - sowohl die Strecke als auch das Fahrzeug. Deine Rennaufzeichnung aber beweist im mathematischen Sinne gar nichts, denn wie willst Du mit einer realen Aufzeichnung, die alles andere als perfekt ist, beweisen, dass eine mathematische Berechnung nicht stimmt? Es ist durchaus möglich, dass für die Streckencharakteristik Deine gefahrene Linie tatsächlich nahezu die objektive Ideallinie war, für ein reales Fahrzeug auf realer Strecke, aber vielleicht wäre es anderseits mit logarithmischer Spirale ja auch noch schneller gegangen? Ich denke, Du verstehst den Einwand: nur weil im realen Leben keine logarithmische Spirale gefahren wird, dann doch vielleicht, weil es ein Mensch, sei es Profi oder Amateur, einfach nicht genau genug hinkriegt? Aber vielleicht irgendein Roboter mit KI in 20 Jahren vielleicht schon?

Und mir ist auch klar, dass physikalisch ein plötzlicher "Sprung" im Lenkwinkel von "geradeaus" auf "Kurve" nicht möglich ist, so dass es immer einen Übergang braucht. Dann kommen wir aber schon wieder in den Bereich realer Fahrphysik. Hier geht es lediglich darum, für ein Beispiel mit ganz besonderen Voraussetzungen und Bedingungen, die schon relativ weit von der Realität entfernt sind, das Optimum zu finden. Ich dachte, ich hätte in meinem Beitrag #25 deutlich gemacht, wie kompliziert das Ganze schnell wird, wenn Du <math>a_L</math> und <math>a_K</math> als veränderlich betrachtet. Und Du siehst, wie kompliziert es schon mit der logarithmischen Spirale wird. Mit den von mir getroffenen Annahmen halte ich die Voraussetzung "Kammscher Reibkreis" ein, und das ist erst einmal alles, was zählt. Ich "mogle" also nicht bei der Berechnung der Zeit für diese virtuelle Strecke, und ich bezweifele, dass man eine bessere ANALYTISCHE Lösung für dieses Problem finden kann, lasse mich aber auch gerne eines besseren belehren.
Aber wir sind ja hier im Bereich Numerik und Optimierung, vielleicht gibt es bessere numerische Verfahren. Rennspiele auf dem PC verwenden mit Sicherheit numerische Verfahren, wenn sie die Ideallinie berechnen und die Computergegner steuern. Da stecken natürlich tausende Stunden Entwicklungsarbeit dahinter, die man nicht so mal eben in einem Mathe-Forum nachvollzieht. Ist irgendein Entwickler hier von Electronic Arts?
Ich werde nachher den Rest meiner Berechnung hier reinstellen, und dann bist Du herausgefordert, die Zeit mathematisch zu unterbieten, gerne auch durch Variation der Beschleunigungen.

Ciao,

Thomas


Boo85
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 Beitrag No.29, eingetragen 2017-11-09 16:44    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-09 12:49 - MontyPythagoras in Beitrag No. 28 schreibt:

doch, ich meinte es genau so, wie ich es geschrieben habe, sowohl <math>a_L</math> als auch <math>a_Z</math> hielt er annähernd konstant, jede Beschleunigung für sich. Natürlich vektoriell in Summe genau so, dass die Gesamtbeschleunigung dem Maximalwert entsprach. Dass das nicht unbedingt dem mathematischen Optimum entsprechen muss, ist mir auch klar, aber so ist er gefahren, und das ist auch schon schwer genug - und wie man sieht, ziemlich schnell.

Ja eben, wie du es gemeint hast ist mir klar. Aber es ist trotzdem schlicht und ergreifend falsch. Da hat entweder Senna, sein Renningenieur oder der Reporter leider Mist erzählt oder eben du falsch interpretiert, sorry ;-)
Gerade in der F1 ist die maximale Verzögerung und auch Zentripetalbeschleunigung sehr stark von der Geschwindigkeit abhängig, was für unser Modell zwar nicht berücksichtigt werden soll, aber für die Aussage in der Doku natürlich sehrwohl. Beim Motorrad wiederum gibts keine nennenswerte Abhängigkeit von der Geschwindigkeit, aber die Schräglage lässt ja direkt auf a_Z schliessen und die ist nunmal alles andere als konstant in der Kurve.

Siehe z.B. hier mein eigenes Datalogging, wo a_z und a_L bzw. die Vektorsumme mit dem roten Punkt dargestellt werden. Beim Profi bleibt der Punkt natürlich permanent näher am äusseren Kreis, aber rein  qualitativ kann man das trotzdem als gutes Beispiel nehmen, vor allem in den beiden engen, annähernd Halbkreisförmigen Kurven.

youtu.be/e_o2vPF5Mlw


Daher bleibe ich dabei, dass meine Annahme wesentlich korrekter ist, sowohl für die mathematische wie auch für die reale Linie


Aber dein Vorgehen bei der Lösung ist natürlich sehr wertvoll, danke!


MontyPythagoras
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 Beitrag No.28, eingetragen 2017-11-09 12:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Boo85,
doch, ich meinte es genau so, wie ich es geschrieben habe, sowohl <math>a_L</math> als auch <math>a_Z</math> hielt er annähernd konstant, jede Beschleunigung für sich. Natürlich vektoriell in Summe genau so, dass die Gesamtbeschleunigung dem Maximalwert entsprach. Dass das nicht unbedingt dem mathematischen Optimum entsprechen muss, ist mir auch klar, aber so ist er gefahren, und das ist auch schon schwer genug - und wie man sieht, ziemlich schnell. Das echte mathematische Optimum ist ja vielleicht nur ein paar Tausendstel schneller, wer weiß.
Die Längsbeschleunigung am Kurvenscheitelpunkt muss auch nicht null sein - praktisch ja, theoretisch nicht. Du springst (in des Wortes mathematischer Bedeutung) von der Bremse direkt auf's Gas. In der Realität magst Du vielleicht ein paar Millisekunden null Längsbeschleunigung haben, aber wenn wir das Ganze hier mathematisch idealisiert betrachten wollen, dann geht Längsverzögerung sprunghaft in Längsbeschleunigung über. Eine von null verschiedene Längsbeschleunigung am Kurvenscheitelpunkt anzunehmen ist daher durchaus legitim.
Heute Abend mache ich weiter.

Ciao,

Thomas


Boo85
Junior
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 Beitrag No.27, eingetragen 2017-11-09 12:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Beeindruckende Rechnung Monti, vielen Dank!

Ich habe mit einer Überlegung Mühe:
Deine Interpretation der Aussage über Senna. Du hast interpretiert, dass er mit konstanter Quer- und Längsbeschleunigung durch die Kurve fährt.
Das ist aber imho genau verkehrt. Die Betonug in der Aussage liegt auf „konstant am Limit“ und nicht nur auf „konstant“. Will heissen, er konte an keinem Punkt mehr beschleunigen oder mehr einlenken ohne ins Rutschen zu geraten. Aber  es kommt eben auf die Kombination von Quer- und Längsbeschleunigung an. Er befindet sich also zu jedem Zeitpunkt auf dem Kamm‘schen Kreis, was aber keinesfalls heisst, dass Längs- oder Querbeschleunigung konstant sein müssen. Sondern eben dass meine Bedingung a_z^2 + a_L^2 = const gilt.

Ganz anschaulich kann ja die a_L gar nicht konstant sein, weil insbesondere a_L=0 in der Mitte der Kurve erfüllt sein muss (Übergang von Bremse auf Gas). Daher kann ich auch nicht nachvollziehen, wie du unter deiner Snnahme auf diese Spirale kommst. Auch wenn diese Linie in der Tat sehr schnell aussieht.

Also, was hab ich übersehen?


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.26, eingetragen 2017-11-08 22:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Teil 2:
Ich möchte also eine "Linie" bestimmen, um mal im Rennfahrer-Jargon zu bleiben, wo Längs- und Querbeschleunigung jeweils separat konstant sind. Da unser Fahrzeug genauso schnell beschleunigt wie bremst, muss die Kurve bezüglich des Kurvenscheitelpunktes symmetrisch sein. Ich würde also nur die Beschleunigungsphase berechnen, indem ich am Kurvenscheitelpunkt mit der minimalen Kurvengeschwindigkeit <math>v_0</math> beginne und von dort beschleunige. Das Anbremsen aus Höchstgeschwindigkeit bis zum Scheitelpunkt dauert dann halt genauso lange wie das Rausbeschleunigen.
Es ist also erst einmal:

<math>\displaystyle a_L=\text{konstant}</math>

Daher:

<math>\displaystyle v=v_0+a_Lt</math>

<math>\displaystyle s=v_0t+\frac12a_Lt^2</math>

Nach <math>t</math> aufgelöst:

<math>\displaystyle t=-\frac{v_0}{a_L}+\frac1{a_L}\sqrt{v_0^2+2a_Ls}</math>

Außerdem benötigen wir noch die Abhängigkeit der Geschwindigkeit <math>v</math> von <math>s</math>, die wir unmittelbar aus dem Energieerhaltungssatz schließen können:

<math>\displaystyle \frac12\left(v^2-v_0^2\right)=a_Ls</math>

<math>\displaystyle v^2=v_0^2+2a_Ls</math>

Für die Querbeschleunigung gilt:

<math>\displaystyle a_Z=\text{konstant}</math>

<math>\displaystyle a_Z=v^2\kappa</math>

<math>\displaystyle \kappa=\frac{a_Z}{v^2}</math>

Hier setzen wir die oben gefundene Beziehung zwischen <math>v</math> und <math>s</math> ein:

<math>\displaystyle \kappa(s)=\frac{a_Z}{v_0^2+2a_Ls}</math>

Diese Gleichung beschreibt also die Krümmung in Abhängigkeit von der Fahrstrecke und ist damit ein rein geometrischer Zusammenhang. Daraus eine Kurve in x- und y-Koordinaten zu berechnen ist nicht ganz trivial, darüber könnte man einen eigenen langen Beitrag schreiben. Wir benutzen die Fahrstrecke (oder mathematisch ausgedrückt: die Bogenlänge) der Kurve als Parameter. Dann gilt:

<math>\displaystyle x'(s)^2+y'(s)^2=1</math>

weil <math>(dx)^2+(dy)^2=(ds)^2</math>. Der Strich ist hier die Ableitung nach <math>s</math>, nicht nach <math>x</math>!

Außerdem gilt für die Krümmung:

<math>\displaystyle \frac{y''(s)}{\sqrt{1-y'(s)^2}}=\kappa(s)</math>

Wie gesagt, warum das so ist, ist nicht ganz einfach erklärt, also erst einmal einfach nur glauben. Wir integrieren die Gleichung:

<math>\displaystyle \arcsin y'(s)=\int\kappa(s)\text ds</math>

<math>\displaystyle y'(s)=\sin\left(\int\kappa(s)\text ds\right)</math>

Wir setzen die oben gefundene Gleichung für <math>\kappa(s)</math> ein:

<math>\displaystyle y'(s)=\sin\left(\intop_0^s \frac{a_Z}{v_0^2+2a_L\varsigma}\text d\varsigma\right)</math>

<math>\displaystyle y'(s)=\sin\left(\frac{a_Z}{2a_L}\ln\left(1+\frac{2a_L}{v_0^2}s\right)\right)</math>

In gleicher Art und Weise oder aufgrund der oben genannten Beziehung zwischen <math>x'</math> und <math>y'</math> erhält man außerdem:

<math>\displaystyle x'(s)=\cos\left(\frac{a_Z}{2a_L}\ln\left(1+\frac{2a_L}{v_0^2}s\right)\right)</math>

Um auf <math>x(s)</math> und <math>y(s)</math> zu kommen, müssen wir noch einmal integrieren und erhalten letztlich (Zwischenschritte und Randwerte einsetzen habe ich abgekürzt, Scheitelpunkt der Kurve im Ursprung):

<math>\displaystyle x(s)=\frac{v_0^2+2a_Ls}{\sqrt{4a_L^2+a_Z^2}}\cos\left(\frac{a_Z}{2a_L}\ln\left(1+\frac{2a_L}{v_0^2}s\right)-\arctan\frac{a_Z}{2a_L}\right)-\frac{2v_0^2a_L}{4a_L^2+a_Z^2}</math>

<math>\displaystyle y(s)=\frac{v_0^2+2a_Ls}{\sqrt{4a_L^2+a_Z^2}}\sin\left(\frac{a_Z}{2a_L}\ln\left(1+\frac{2a_L}{v_0^2}s\right)-\arctan\frac{a_Z}{2a_L}\right)+\frac{v_0^2a_Z}{4a_L^2+a_Z^2}</math>

Das ist eine logarithmische Spirale, was deutlich wird, wenn man wie folgt substituiert:

<math>\displaystyle \varphi=\frac{a_Z}{2a_L}\ln\left(1+\frac{2a_L}{v_0^2}s\right)</math>

Dabei ist <math>\varphi</math> nicht irgendein zufälliger Parameter, der die Formel abkürzt, sondern es ist praktischerweise auch gleich der Steigungswinkel der Kurve. Das wird insofern von Bedeutung sein, dass beim Einpassen der Spirale in die Rennstrecke die Außenbahn der Rennstrecke ja eine Tangente an die Spirale sein soll.
Nach <math>s</math> aufgelöst:

<math>\displaystyle s(\varphi)=\frac{v_0^2}{2a_L}\left(e^{\frac{2a_L}{a_Z}\varphi}-1\right)</math>

und eingesetzt ergibt die Parameterdarstellung der Spirale in kartesischen Koordinaten:

<math>\displaystyle x(\varphi)=\frac{v_0^2}{\sqrt{4a_L^2+a_Z^2}}e^{\frac{2a_L}{a_Z}\varphi}\cos\left(\varphi-\arctan\frac{a_Z}{2a_L}\right)-\frac{2v_0^2a_L}{4a_L^2+a_Z^2}</math>

<math>\displaystyle y(\varphi)=\frac{v_0^2}{\sqrt{4a_L^2+a_Z^2}}e^{\frac{2a_L}{a_Z}\varphi}\sin\left(\varphi-\arctan\frac{a_Z}{2a_L}\right)+\frac{v_0^2a_Z}{4a_L^2+a_Z^2}</math>

Außerdem können wir noch die Geschwindigkeit und die Zeit als Funktionen des Parameters <math>\varphi</math> herleiten, wenn wir die am Anfang gefundenen Zusammenhänge benutzen:

<math>\displaystyle t(\varphi)=\frac{v_0}{a_L}\left(e^{\frac{a_L}{a_Z}\varphi}-1\right)</math>

<math>\displaystyle v(\varphi)=v_0e^{\frac{a_L}{a_Z}\varphi}</math>

Soweit zur Theorie der Kurve. Als nächstes müssen wir diese Erkenntnisse auf die 180°-Kehre oder eine x-beliebige Kurve anwenden. Hier habe ich schon einmal für die oben angegebenen Radien (30m Innenradius, 40m Außenradius) die Spirale dargestellt, wobei man hier zugegebenermaßen den Spiralcharakter nur ahnen kann, weil die Rennstrecke sehr schmal ist:


Ich komme mit dieser Kurve auf 14,74 Sekunden. Wie genau, dazu komme ich in Teil 3.

Ciao,

Thomas


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.25, eingetragen 2017-11-08 20:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
das ganze ist schon recht aufwendig und ich muss es wohl auf mindestens zwei Beiträge aufteilen. Zunächst mal eine allgemeine Betrachtung.
Wie schon von Boo85 gesagt, kann man davon ausgehen, das eine maximale Gesamtbeschleunigung nicht überschritten werden kann. Für die Ideallinie soll also gelten, dass die Gesamtbeschleunigung einem vorgegebenen Wert <math>a</math> entspricht. Die Längsbeschleunigung <math>a_L</math> ist ja gleich der Ableitung der Fahrgeschwindigkeit <math>v</math> und die zweite Ableitung der Fahrstrecke <math>s</math>:

<math>\displaystyle a_L=\dot v=\ddot s</math>

Für die Querbeschleunigung gilt:

<math>\displaystyle a_z=v^2\kappa</math>

Dabei ist <math>\kappa</math> die Bahnkrümmung, die dem Kehrwert des Krümmungsradius entspricht. Fasse  ich das alles zusammen, so gilt:

<math>\displaystyle a^2=v^4\kappa^2+\dot v^2</math>

<math>\kappa</math> müssen wir bei der Suche nach der Ideallinie als Funktion von <math>s</math> betrachten, so dass wir mal alle Größen auf die Größe <math>s</math> zurückführen. Es gilt also als allgemeine DGL:

<math>\displaystyle a^2=\dot s^4\kappa(s)^2+\ddot s^2</math>

Das wird analytisch ganz schön schwierig, denn man müsste aufwendige geometrische Randbedingungen berücksichtigen, und selbst für eine Kreisbahn, also <math>\kappa</math> konstant, wird das schon sehr kompliziert:

<math>\displaystyle \frac{\ddot s}{\sqrt{a^2-\kappa^2\dot s^4}}=\pm 1</math>

<math>\displaystyle F\left(\arcsin\sqrt{\frac{\kappa}{a}}\dot s|-1\right)=t+c</math>

Dabei ist <math>F(x|m)</math> das inkomplette elliptische Integral 1. Art.

Für die popelige Kreisbahn, auf der am Limit längs beschleunigt wird, muss man also, um <math>\dot s</math> zu bestimmen, den Sinus der Umkehrfunktion des elliptischen Integrals noch einmal integrieren und dann nach <math>t</math> auflösen. Aussichtslos - und das ist noch nicht einmal eine kompliziertere Kurve wie eine Ellipse, Parabel, Spirale etc.
Ich kann mich erinnern, dass ich vor etlichen Jahren mal über Ayrton Senna in einem englischsprachigen Artikel gelesen habe, dass er die erstaunliche Fähigkeit besaß, beim Anbremsen in eine Kurve die Längs- und Querbeschleunigung praktisch konstant am Limit zu halten, also so, dass das Verhältnis von Längs- zu Querbeschleunigung nahezu konstant bliebt. Was für mehrere Formel-1-Weltmeisterschaften gereicht hat, sollte uns auch genügen. Daher habe ich den Ansatz verfolgt, nicht nur <math>a</math>, sondern auch <math>a_L</math> und <math>a_Z</math> separat konstant zu halten. Darüber dann im nächsten Beitrag.

Ciao,

Thomas


haribo
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 Beitrag No.24, eingetragen 2017-11-08 18:56    [Diesen Beitrag zitieren]

monty, ich hätte 2x7,55=15,1sec
ich fang aber mit fliegendem start v=65,6 m/s an und bremse sofort um nach 200m mit dann v=17,32 übergangslos in den radius R=30 zu kommen
haribo


Boo85
Junior
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 Beitrag No.23, eingetragen 2017-11-08 15:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey Monty, coole Sache.
Dein Lösungsweg interessiert mich natürlich brennend und wäre genau das langfristige Ziel meiner Anfrage. Die 180er Kehre war nur als Einstieg gedacht und ich scheitere offenbar schon hier ^^

Ich glaube die Zeiten liegen im Beispiel ca. bei 15.2s, aber ich schau später nochmal genau nach.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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 Beitrag No.22, eingetragen 2017-11-08 14:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,
Ihr habt Euch ja schon auf die 180°-Wende eingeschossen und ich möchte Euch da auch nicht bremsen. Ich möchte noch ein paar Gedanken zum besten geben, die für Eure weiteren Überlegungen vielleicht hilfreich sein könnten.
Ich habe ein allgemeine Kurve berechnet (z.B. auch für 90° Kurve), die vermutlich sehr dicht am Optimum dran ist. Es handelt sich um eine bestimmte Art von Spirale, aber ich muss das alles noch aufbereiten, damit man daraus überhaupt schlau wird.
Was genau ist der im Moment beste Zeitenwert für das Rechenbeispiel mit zweimal 200m Gerade und 30m Innenradius?

Ciao,

Thomas


haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.21, eingetragen 2017-11-07 16:19    [Diesen Beitrag zitieren]

unsere ergebnisse für die polygone sind deckungsgleich: leicht zu erkennen wenn ich deine streckenführung in das allgemeine diagram einzeichne(pink)

nach ca. 30m gerade, bei sec. 4 nach scheitelpunkt, überholt die innere bahn die äussere

die aussage war nur "es gibt (nahezu) nie einen optimalen weg der irgendwo in der mitte verlaufen würde"

natürlich kann es sein das genau für die strecke zur überholstelle auch die mittleren wege gleich schnell sind deswegen das "nahezu"



Boo85
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 Beitrag No.20, eingetragen 2017-11-07 12:29    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-06 16:23 - haribo in Beitrag No. 17 schreibt:

diese graphik zeigt dass unter obigen annahmen, immer nur die extremwege schnell sind, entweder maximaler radius, oder aber minimaler radius und möglichst direkter weg


Mit dieser Aussage bin ich nicht ganz einverstanden. Meine Rechnung zeigt, dass je nach Länge der Geraden entweder der innere oder der äussere Radius schneller ist. Dann ist es doch logisch, dass es bei gegebener Geradenlänge einen idealen Radius geben muss. Wenn ich die Zeit finde, stell ich die Gleichung für die Gesamtzeit hier rein, dann kann man nach jedem Parameter ganz leicht optimieren.


Boo85
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 Beitrag No.19, eingetragen 2017-11-07 12:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Ja an der Ellipse bin ich dran.

Hab bis jetzt mal eine DGL in x(t) aufstellen können, wobei x Richtung rechts geht.
Diese ist 2. Ordnung und schaut leider ziemlich hässlich aus. Muss nochmal nachprüfen ob ich mich nicht verrechnet habe, dann stell ich sie hier rein. Aber ich bezweifle, dass ich oder mein TR die lösen kann :-( . Gibts vielleicht ein Programm, das sowas kann? Wenn auch nur numerisch...?


haribo
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 Beitrag No.18, eingetragen 2017-11-06 16:30    [Diesen Beitrag zitieren]

ich hab also hier die streckenform weitestgehend frei angenommen, keine äusseren fahrbahnränder, sozusagen ein pylonrennen um zwei pylone(rot) angesetzt auf einer beliebig grossen fläche

da wäre der pylonabstand ca.73m derjenige bei dem es umschlägt, von der besseren kreisbahn(bei l<73m) mit constantem radius zur hin und her fahrerei mit minimaler enger pylonumrundeung bei l>73m

wieder unter der annahme a=const.=10 m/s²


die vermutung bleibt aber natürlich bestehen, dass ein ellipsenförmiger weg jeweils noch günstiger sein könnte...
haribo



haribo
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 Beitrag No.17, eingetragen 2017-11-06 16:23    [Diesen Beitrag zitieren]

mich interessiert es schon wovon es abhängt welcher weg schneller ist
mangels wissen also sozusagen grundlagenforschung...

diese graphik zeigt dass unter obigen annahmen, immer nur die extremwege schnell sind, entweder maximaler radius, oder aber minimaler radius und möglichst direkter weg

weiterhin mit radial oder lateraler beschleunigung a=10[m/s²]...

also wenn es aus der kurve nach westen herausgeht und als ziel ein möglichst weiter weg nach süden zurückgelegt werden sollte wäre es nach 7 sec besser den innersten weg zu fahren (gelb), bei geringerer nähe zum südziel wäre hier der äusserste kurs besser, alle alternativ strecken dazwischen sind immer schlechter!

der innerste weg hat eine viertelkreisgeschwindigkeit von 1 sec/90°(also R=4,1m v=6,4m/sec), der äusserste eine von 9 sec/90°(328m/57,3m/sec)



Boo85
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 Beitrag No.16, eingetragen 2017-11-05 08:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich möchte ja nicht wissen, wer an welchem Punkt der Strecke vorne liegt, sondern nur wer bei der Zielinie vorne liegt ;-) . In der mitte der Kurve liegen die verschiedenen Linien ja eben gerade nicht übereinander, darum bleibe ich lieber bei meinen gegebenen Randbedingungen.

Über das Visualisieren wer wann vorne ist (dürfte das kleinste Problem sein) mach ich mir dann Gedanken, wenn die Methode zur Berechnung bzw. Optimierung bekannt ist.


haribo
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 Beitrag No.15, eingetragen 2017-11-05 07:15    [Diesen Beitrag zitieren]

vorschlag: um das willkürliche der startgeschwindigkeitsannahme zu unterbinden leg mal den startpunkt in die mitte der kurve, und gestatte einen fliegenden start mit der möglichen kurvengeschwindigkeit,

also so wie es wäre wenn mehrere runden gefahren würden und irgendwann rot und blau an der stelle gleichzeitig wären,

v/t sieht dann ungefähr so ähnlich aus


dann kann man drüber nachdenken wann wer vorne liegt,

schon diese frage ist ja tricky, denn allein die gefahrene strecke s kann ja nicht das exakte kriterium sein, die beiden wege sind ja bis zum ziel unterschiedlich lang...
haribo


Boo85
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 Beitrag No.14, eingetragen 2017-11-04 20:32    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-03 13:37 - haribo in Beitrag No. 13 schreibt:

bin gespannt, es dürfte doch nicht so schwer sein ein v/t diagramm zu erstellen (oder ein a/s diagramm?)

ich meine rot vs blau gewinnt immer rot egal wie lang die gerade is
haribo

Also rot mit blau konnte ich mal vergleichen. Habs mir ehrlich gesagt einfacher vorgestellt. Vor allem ohne schlaue Hilfsmittel/Programme, Excel musste genügen.

Hier zwei Diagramme, wo man sehen kann, dass in diesem Fall rot in der Tat gewinnt (nach Überfahren der Ziellinie geht die Geschwindigleit zur Veranschaulichung sofort auf Null). Meine Anfangsgeschwindigkeit war recht optimistisch. Für diese beiden Linie muss man hier schon nach wenigen Metern bremsen. Ich denke auf der optimalen Linie ist da noch Luft nach oben.





Spielt man dann mit den Parametern, kann sich das Resultat ändern.
Bis 30m nach der Kurve ist beispielsweise blau noch vorne.
Auch der äussere Kurvenradius kann, abhängig von den anderen Grössen, den Entscheid bringen.

Ich bin mir aber sicher, dass die gelbe Linie nochmal deutlich schneller ist, vor allem bei langer Gerade nach der Kurve. Dass ich das ohne Hilfe schaffe, bezweifle ich mal. Die Kombination aus Zentripetal- und Lateralbeschleunigung bereitet mir noch Kopfzerbrechen.

Übrigens, vor ein paar Tagen hat Yamaha den ersten richtigen Test mit ihrem Roboter auf einem Rundkurs gemacht, die versuchen die Fahrt und die Ideallinie also auch zu modellieren. Das Resultat war noch nicht sehr schnell, aber dennoch beeindruckend.

www.golem.de/news/motobot-yamahas-motorradroboter-fuhr-gegen-valentino-rossi-1710-130881.html


haribo
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 Beitrag No.13, eingetragen 2017-11-03 13:37    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-01 18:32 - Boo85 in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich hoffe ich kann zumindest den Vergleich der bisher vorgeschlagenen Linien bald mal errechnen, ich denke die Grundlagen sind vorhanden.
bin gespannt, es dürfte doch nicht so schwer sein ein v/t diagramm zu erstellen (oder ein a/s diagramm?)

ich meine rot vs blau gewinnt immer rot egal wie lang die gerade is
haribo


Boo85
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 Beitrag No.12, eingetragen 2017-11-01 18:32    [Diesen Beitrag zitieren]

Hey haribo, ich finde deinen Ansatz klasse! Die Ellipse schaut einer gefahrenen Ideallinie schon recht ähnlich. Ich würde den äussersten Punkt vielleicht etwa in die Kurvenmitte setzen, dafür den Radius noch etwas grösser machen, so würd ich die Kurve in etwa fahren. Ich hoffe ich kann zumindest den Vergleich der bisher vorgeschlagenen Linien bald mal errechnen, ich denke die Grundlagen sind vorhanden.


2017-11-01 16:20 - haribo in Beitrag No. 11 schreibt:


wenn brems und beschleunigung ohne achsbelastung betrachtet werden ist aber die belastung für den reifen auch gleich ---> symetrie in der kurve, oder???

Eigentlich stimmt es, was du sagst. Die Erfahrung zeigt ein leicht anderes Bild. Wobei es durchaus Kurven gibt (gerade die langsameren mit annähernd 180° Richtungswechsel), bei denen man in der Tat zweimal am Innenkerb ist.
Mein Datenlogger zeigt, dass ich bei solchen Kehren deutlich vor Kurvenhälfte meine maximale Schräglage fahre. Aber ich bin ja auch kein Profi^^



fed-Code einblenden

Nein, warum? Wie gesagt dünkt mich das eher zu wenig. Ich werd mal ein bisschen rechnen...


haribo
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 Beitrag No.11, eingetragen 2017-11-01 16:20    [Diesen Beitrag zitieren]

ok verstehe den ansatz mit dem kleineren R im scheitel

wenn brems und beschleunigung ohne achsbelastung betrachtet werden ist aber die belastung für den reifen auch gleich ---> symetrie in der kurve, oder???

den unsymetrischen haken kann es dann evtl. geben wenn man den druck beim bremsen aufs vorderrad bzw beim beschleunigen aufs hinterrad einbezieht, oder die beiden beschleunigungsmöglichkeiten unterschiedlich sind, was du aber beides ausgeschlossen hast, dein limit ist ja jederzeit nur der gleichbelastete reifen

der rote und blaue polygon wäre also recht einfach zu ermitteln, man würde den reifen in der kurve voll zentripetal auslasten und in den geraden abschnitten jeweils voll lateral (macht letzteres ohne windwiderstand sinn?)

für den gelben ellipsenweg wird es aber sofort kompliziert da möchtest du ja im engsten radius jeweils voll beschleunigen, also eine entscheidung über die aufteilung treffen...
fed-Code einblenden
als scheitelgeschwindigkeit im inneren schmiegekreis mit R ca.16m wäre dann ja immernoch zu viel




schnitzel
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 Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-01 12:49    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi,
erinnert mich an das alte Spiel aus der Schule: Racetrack
Vermutlich könnte man die Regeln anpassen um realistischere Bahnen zu erhalten. Das könnte man dann optimieren lassen, ist aber natürlich kein analytischer Ansatz.
Gruß


Boo85
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 Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-01 12:37    [Diesen Beitrag zitieren]

oder hast du hinweise dass ein optimaler kurvenverlauf nicht den innenradius an scheitelpunkt berührt? bzw dass er irgendwo einen kleineren radius als Ri hätte?

Ja es gibt einen Grund, warum nicht der grösstmögliche Radius oder der kürzeste Weg gefahren wird, und auch dass die Ideallinie keineswegs symmetrisch ist.
Die Idee im Rennsport ist, möglichst schnell aus der Kurve raus zu kommen, und so auf der gesamten Geraden dann die mitgenommene Geschwindigkeit auszunützen.

Als Extrembeispiel kannst du dir eine Linie vorstellen, bei der du irgendwann mit Geschwindigkeit Null am Aussenradius der Kurve bist und dann aber Vollgas geben kannst (grüne Linie)



Mit unseren konkteten Zahlen:

Kurvenausgangsgeschwindigkeit der blauen Linie (Radius 40m bei a_z = 10m/s^2) ist dann fed-Code einblenden

Kurvenausgangsgeschwindigkeit der grünen Linie (die ist sicher länger als der Radius) ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Mit der grünen Linie bist du also am gleichen Punkt am Ende der Kurve satte 30km/h schneller.

Nun ist es nur eine Frage, wie lang die nächste Gerade ist, und dann weisst du, wieviel Zeit du durch einen "spitzen Umweg" in der Kurve selber opfern darfst. Je länger die Gerade, desto spritzer fährt man die Kurve, das heisst man bremst lange in die Kurve hinenin mit grossem Radius, fährt dann sehr kurz einen möglichst engen Radius, um dann sogleich wieder auf einen grossen Radius mit viel Beschleunigung zu gehen.

Und @JoeM, lass uns doch mal beim Halbkreis anfangen, bevor wir die Sache richtig kompliziert machen ;-)


haribo
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 Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-01 10:52    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-01 01:46 - JoeM in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber: Ich denke, im Rennsport spielt das keine Rolle; Elemente, die das Fahren erleichtern, sind da eher die Ausnahme.

auch im rennsport muss das krümmungsband eine kontiunierlichen verlauf haben, nicht unbedingt den linearen übergang der zu einer klothoide gehört, aber schon stetig, insofern sind meine beiden grenzbetrachtungen tatsächlich keine fahrbaren wege,

die aussage dass sie an der wendestelle den radius oben und unten eingrenzen dürfte aber trotzdem richtig sein, oder hast du hinweise dass ein optimaler kurvenverlauf nicht den innenradius an scheitelpunkt berührt? bzw dass er irgendwo einen kleineren radius als Ri hätte?

haribo


JoeM
Aktiv
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 Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-01 01:46    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

nur als Anmerkung zum Stichwort >Klothoide<:

Ich denke, zur Ermittlung der >Ideallinie beim Rennsport< kann man die Kurve der Klothoide NICHT verwenden.
Eine Klothoide wird allgemein im Strassenbau (ausserhalb von Ortschaften) als Trassierungselement zwischen Gerade und Kreisbogen verwendet.
Der Hintergrund ist folgender:
Die Krümmung K = 1/R beträgt bei einer Geraden = 0; und ist bei einem Kreisbogen mit Radius R konstant. Eine Klothoide hat als Besonderheit die lineare Änderung der Krümmung K.
Beispiel :

Geschwindigkeit = konstant:
Innerhalb der Geraden hat man keinen Lenkradeinschlag; in einer Kurve mit Radius R ist der Lenkradeinschlag konstant.
Die Klothoide als Übergangsbogen hat folgenden Vorteil .....
Beim Einlenken von einer Geraden in einen Kreisbogen kann man das Lenkrad gleichmäßig bewegen.
Ohne Klothoide müsste man das Lenkrad ruckartig von K = 0 auf K = 1/R
bewegen.
Aber: Ich denke, im Rennsport spielt das keine Rolle; Elemente, die das Fahren erleichtern, sind da eher die Ausnahme.

Ansonsten: Ich finde, mit einem perfekten Halbkreis mit Innenradius ri, und Aussenradius ra zu spekulieren (oder zu rechnen) macht keinen Sinn.
Die Streckenführung ist bei jedem Kurs anders, und viel komplexer.

viele Grüße

JoeM


haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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 Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-01 00:15    [Diesen Beitrag zitieren]



geometrisch betrachtet gibt es bei deinen annahmen wohl
- eine symetrische lösung
- keinen grund einen kleineren radius als den innenradius zu fahren
- keine möglichkeit mit nem grösseren (kleinstem) radius als dem aussenradius durch die kurve zu kommen
- keinen grund in der scheitelstelle nicht ganz innen zu sein,

also spielt sich die spur zwischen folgenden beiden extrem-wegen ab:

der absolut kürzesten weg, (rot) mit 494,7m und engem radius r=30

oder den weg mit dem grössten möglichen radius r=40 dafür 505,7m länge(blau)

alle wege dazwischen liegen auch in den längen und jeweils kleinstem radius zwischen diesen beiden wegen,

ich würde an deiner stelle erstmal suchen wie gross der zeit unterschied zwischen diesen beiden wegen ist, bzw wie und wo bei diesen wegen beschleunigt und verzögert werden würde...

noch etwas einfacher wäre es wenn du einen fliegenden start mit beliebiger geschwindigkeit betrachtest und nicht ne startgeschwindigkeit vorgibst, also so tust als wäre es ein geschlossenes oval mit 400m zwischen zwei halbkreisen

(fals dich der knick am start bei rot stört dann starte mit nem radius von 2000m auf der gelben linie sie ist dann ca 0,1m länger als die rote bis sie tangential in den r=30 bogen einmündet...)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Delastelle
Senior
Dabei seit: 17.11.2006
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 Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-01 00:04    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Boo85!

Das ist ein Problem der optimalen Steuerung.
In deinem Fall: eine zeitoptimale Steuerung finden.
Es könnte als Einflußgrößen geben: Lenkradeinschlag und Betätigung von Gas/Bremse.

Viele Grüße
Ronald


Boo85
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Dabei seit: 20.11.2015
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 Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-31 23:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke Viertel für dein Feedback

Ich dachte den physikalischen Aspekt hab ich soweit erschlagen, sodass es ab jetzt reine Mathematik sein müsste, das Problem zu lösen.

Ich denke da vielleicht an eine Variationsrechnung. Da gibt es ja das Beispiel mit der Kugel, die nur durch die Schwerkraft von einem Punkt A zu einem tiefer liegenden Punkt B gelangen soll und dies in möglichst kurzer Zeit. Das ist ja vom Prinzip nicht weit von meinem Problem weg, oder doch? Ich bin da leider echt nicht fit genug um selber den richtigen Ansatz zu finden :-(

Vielleicht ist die Streckenbegrenzung das grösste Problem. Stattdessen könnte auch nur einen Startpunkt, den Endpunkt sowie den angefahrenen "Scheitelpunkt" angeben (der etwa bei 2/3 der Kurvenlänge liegt. Würde das helfen?

Danke für den Tipp mit der Klothoide. Ist mir neu, werd ich mal studieren...


viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Herkunft: Hessen
 Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-31 18:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi Boo85

Willkommen auf dem Planeten

Falsch gemacht? Nö.
Nur ist das kein Problem, das man mal so eben nebenbei löst. Nicht ohne Grund sind die anderen Anfragen im Sande verlaufen („im Keim erstickt“, wie du schreibst).
Mit der notwendigen Physik dürften sich hier nur wenige auskennen.

Für die Kurvenfahrten solltest du dir mal die Klothoide vornehmen.

Boo85 schreibt:
Oder werd ich bewusst ignoriert, weil ich irgend eine Regel nicht beachtet habe?
Das passiert hier auf dem Matheplaneten schon mal gar nicht.

Gruß vom ¼


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
Mitteilungen: 19
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 Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-31 17:58    [Diesen Beitrag zitieren]

Hello again

Hab ich irgendwas falsch gemacht?

Ist die Frage zu schwierig? Zu einfach? Zu abstrakt? Oder werd ich bewusst ignoriert, weil ich irgend eine Regel nicht beachtet habe? Dann wäre ein Hinweis nett und ich bring das in Ordnung ;-)

Viele Grüsse


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
Mitteilungen: 19
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 Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-30 07:23    [Diesen Beitrag zitieren]

scheinbar hab ich das Thema als erledigt markiert  confused

Ist es natürlich nicht, freue mich auf eure Ideen


Boo85
Junior
Dabei seit: 20.11.2015
Mitteilungen: 19
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 Themenstart: 2017-10-29 18:06    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen

Ich lese hier seit mehreren Jahren ab und zu mit und und schreibe nun auch meinen ersten Beitrag, weil mir schon lange eine Frage auf der Zunge liegt, bei der ihr mir sicher helfen könnt.

Als gelegentlicher Rennstreckenbesucher auf dem Motorrad habe die verrückte Idee gehabt, mal die Ideallinie einer gegebenen Kurve analytisch zu berechnen. Ist sicher interessant zu vergleichen, ob die berechnete Ideallinie dann mit der erfahrungsgemäss gewählten realen Ideallinie überein stimmt.
Jetzt habe ich ergoogelt, dass schon einige die gleiche Idee hatten. Jedoch wurde die Umsetzung jeweils schon im Keim erstickt, weil es angeblich viel zu viele Variablen gibt. Aber wie so oft wurde da meiner Meinung nach viel zu stark ins Detail gegangen anstatt sich mal grob der Lösung zu nähern.

Nun denn, mich interessiert vor allem der Lösungsweg, denn da stosse ich definitiv an meine Grenzen. Ansätze kann ich jedoch liefern, was ich im folgenden tun werde.

Der grösste Knackpunkt ist natürlich die Bedingung festzulegen, welche die Ideallinie erfüllen soll. Hierzu meine Überlegungen:

1. Anstatt einem Motorrad betrachten wir einfach ein sehr starkes Auto ohne Elemente, die für wahnsinnig viel Abtrieb sorgen. Erfahrungsgemäss sind die Ideallinien hier ziemlich ähnlich wie beim Motorrad und die Fahrdynamik beim Auto ist für die meisten wahrscheinlich eifacher vorzustellen (lässt sich jedoch ziemlich direkt auf das Motorrad übertragen).

2. Wir betrachten keine dynamische Radlastverteilung durch Bremsen, Fliehkraft und Beschleunigung. Quasi betrachten wir nur ein einzelnes Rad mit einem definierten Gewicht. Aufstandsfläche und Gewicht dürfte nämlich keine grosse Rolle spielen, wie wir aus dem Physikunterricht und der Praxis wissen.

3. Das Fahrzeug soll in jedem Moment genug Brems- und Motorleistung zur Verfügung haben, um den Reifen zu überlasten. Ich weiss, geradeaus braucht das seeehr viel Leistung, aber es soll ja akademisch bleiben und das Ziel ist ja die Linie in der Kurve, und da passt die Annahme schon recht gut.

4. Der Reibungskoeffizient soll überall auf der Strecke und in jedem Fahrzustand gleich und richtungsunabhängig sein. Ja, sicher vereinfachend, aber auch sicher nicht krass falsch. Diese Annahme führt mich nun zur entscheidenden Bedingung, die jederzeit erfüllt sein muss. Die auf den Reifen wirkende Kraft setzt sich zusammen aus der lateralen Beschleunigung bzw. Verzögerung und der Zentripetalbeschleunigung durch den lokal gefahrenen Radius und natürlich der Masse. Aus diesen beiden Kraftkomponenten ergibt sich in der Vektorsumme ein Wert, der durch den Reibungskoeffizient begrenzt ist und wegen Annahme 3. konstant sein soll. Die Masse lass ich mal weg und definiere anstatt einer maximalen Kraft eine maximale resultierende Beschleunigung von fed-Code einblenden . In Wahrheit ist dieser Wert natürlich etwas höher, aber wenn der Lösungsweg mal bekannt ist, kann man mit dem Wert ja spielen und schauen was passiert...

Wie gesagt, das ist natürlich ein recht vereinfachtes Modell, aber aus Erfahrung und Recherche würd ich mal sagen, dass man mit diesen Annahmen nicht wahnsinnig daneben liegt, und es soll ja hauptsächlich um den Lösungsweg gehen.

Lösungsansätze:

(x,y) sollen unsere Koordinaten auf der Ideallinie sein.


(1) Die immerzu ausgeschöpfte Maximalbeschleunigung auf der Ideallinie ist

    fed-Code einblenden

(2) Die laterale Beschleunigung fed-Code einblenden dürfte die zeitliche Ableitung der Absolutgeschwindigkeit sein:

    fed-Code einblenden

(3) Die Zentripetalbeschleunigung ist

    fed-Code einblenden

(4) R ist der lokal gefahrene Kurvenradius und beschreibbar als (da musste ich schon zum ersten Mal Wikipedia bemühen) Kehrwert der Krümmung der Ideallinie und somit:

    fed-Code einblenden

Nun soll natürlich die Ideallinie (x(t), y(t)) gefunden werden, sodass die Zeit t=T vom Startpunkt vor der Kurve bis zum Endpunkt nach der Kurve minimal wird. Und da bin ich mit meinem Latein definitiv am Ende, aber da gibt es sicher irgendwelche Methoden mit schönen Integralen und sowas. Oder mit nem Polynomansatz?

Alles, was ich jetzt noch liefern kann, sind ein paar Randbedingungen betreffend Kurvengeometrie und Start-/Endposition. Die Strecke darf selbstverständlich nie verlassen werden.

Ich nehme mal eine Startgeschwindigkeit von fed-Code einblenden an und die Kurve soll so aussehen:
Perfekter Halbkreis mit Innenradius fed-Code einblenden und Aussenradius fed-Code einblenden , also 10m Streckenbreite, jeweils eine 200m lange Gerade vorher und nachher schön tangential. Bei t=0 befindet man sich "aussen" und hat noch 200m Weg bis zum Anfang der Krümmung der Kurve. Wir stoppen die Zeit t=T wieder 200m nach dem Ende der Krümmung der Kurve.

Ich denke damit am Schluss eine schöne Funktion y(x) rauskommt, müsste diese konkrete Kurve so liegen, dass die Anfahrt und Ausfahrt genau in y-Richtung liegen.

Wer kann mir helfen, wie ich diese Aufgabe lösen soll? Oder schon nur einen Hinweis geben, wie kompliziert das ist? Oder ob ich mich bei einer Annahme oder einem Ansatz total vertan habe?

Vielen Dank schon mal

P.S., sorry, das mit dem Formeleditor hab ich noch nicht ganz raus...
   


 
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