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Antworte auf:  Konvergenz der Folge sqrt(n+1)-sqrt(n) von monkeyhead
Forum:  Folgen und Reihen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2079
Herkunft: Braunschweig
 Beitrag No.17, eingetragen 2017-11-11 15:29    [Diesen Beitrag zitieren]

ja ist ja gut ich seh schon mein denkfehler nicht schimpfen wink


lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10574
Herkunft: Sankt Augustin NRW
 Beitrag No.16, eingetragen 2017-11-11 14:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Juergen
fed-Code einblenden
bis dann, lula


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2079
Herkunft: Braunschweig
 Beitrag No.15, eingetragen 2017-11-11 12:45    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich hatte die Idee, dass die Differenz der Wurzeln 2er hintereinanderfolgender Zahlen natürlich unendlich klein wird.
Ich weiß jetzt aber nicht, wie man das sauber hinschreibt.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 3516
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2017-11-11 12:35    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-11 12:15 - Buri in Beitrag No. 13 schreibt:
fed-Code einblenden

Ah ok, also die Anwendung der dritten binomischen Formel in diesem Beispiel.  wink  

Ja, eine gut befüllte Trickkiste ist nie schlecht. Im konkreten Fall könnte man auch noch die Anwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung auf die Funktion

<math>f(x)=\sqrt x</math>

mitaufnehmen, denn danach gilt ja bekanntlich:

<math>\exists \theta_n \in (0,1): f(n+1)-f(n)=f'(n+\theta_n)</math>

was dann auch das Gewünschte leistet.


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44791
Herkunft: Dresden
 Beitrag No.13, eingetragen 2017-11-11 12:15    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-11 12:11 - weird in Beitrag No. 11 schreibt:
Welchen "umkehr Trick" meinst du da?
Hi weird,
fed-Code einblenden
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2079
Herkunft: Braunschweig
 Beitrag No.12, eingetragen 2017-11-11 12:14    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-10 19:51 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Für Faule:

<math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}</math>

Dann die Ungleichung <math>\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon</math> nach n auflösen.

Das meinte ich wie kommt er darauf, trotz Einfältigkeit oder wegen? SCNR  wink


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 3516
Herkunft:
 Beitrag No.11, eingetragen 2017-11-11 12:11    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-11 11:58 - juergen007 in Beitrag No. 10 schreibt:
(2017-11-11 09:21 - weird in <a href=viewtopic.php?topic=232090&
Ist doch genial, oder?  biggrin

Ja dem muss ich unwidersprochen zustimmen! dass 1 =0 ist wurde auch schon öfter im Forum bewiesen. biggrin

Ja, ich möchte mich aber hier nicht mit fremden Federn schmücken und daher nochmals dezidiert darauf hinweisen, dass ich für diesen genialen Beweis an entscheidender Stelle deine "Beweisidee" aus #7 verwendet habe.
 
Ehrlich  gesagt habe ich den umkehr Trick nicht gekannt und nicht verstanden ...

Welchen "umkehr Trick" meinst du da?


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2079
Herkunft: Braunschweig
 Beitrag No.10, eingetragen 2017-11-11 11:58    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-11 09:21 - weird in Beitrag No. 9 schreibt:

<math>\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)= \lim\limits_{n \to \infty}n\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} ((n+1)-n)=\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)-\lim\limits_{n \to \infty}n=0</math>

Ist doch genial, oder?  biggrin

Ja dem muss ich unwidersprochen zustimmen! dass 1 =0 ist wurde auch schon öfter im Forum bewiesen. biggrin
Ehrlich  gesagt habe ich den umkehr Trick nicht gekannt und nicht verstanden ...


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 3516
Herkunft:
 Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-11 09:21    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-10 22:27 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
Oder man behaupet aus

<math>\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}= \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\Rightarrow\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}-\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}=0</math>. Also die beiden ersten Grenwerte sind gleich also ist die Differenz ist also 0?

Was sagst du eigentlich zu folgendem Beweis von 1=0? Einerseits gilt nämlich

<math>\lim\limits_{n\to\infty} ((n+1)-n)=\lim\limits_{n\to\infty} 1=1</math>

andererseits aber (mit deiner Beweisidee!), dass

<math>\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)= \lim\limits_{n \to \infty}n\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} ((n+1)-n)=\lim\limits_{n \to \infty}(n+1)-\lim\limits_{n \to \infty}n=0</math>

Ist doch genial, oder?  biggrin


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44791
Herkunft: Dresden
 Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-10 22:30    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-10 22:27 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
... ist der Umweg ueber die Kehrwerte noetig?
Hi juergen007,
es ist nicht nötig, aber es geht so am einfachsten und wurde als Rechentrick schon unzählige Male im Forum vorgeführt, und natürlich ist es kein Umweg.
Dein Ansatz dagegen geht am Ziel vorbei.
Gruß Buri


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2079
Herkunft: Braunschweig
 Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-10 22:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Oder man behaupet aus

<math>\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}= \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}\Rightarrow\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}-\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}=0</math>. Also die beiden ersten Grenwerte sind gleich also ist die Differenz ist also 0?
Oder ist der Umweg ueber die Kehrwerte noetig?


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 44791
Herkunft: Dresden
 Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-10 22:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi juergen007,
diese Umschreibung ist unzulässig und daher unbrauchbar.
Gruß Buri


juergen007
Aktiv
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2079
Herkunft: Braunschweig
 Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-10 21:52    [Diesen Beitrag zitieren]

2017-11-10 19:43 - monkeyhead im Themenstart schreibt:
Hallo,

also, ich vermute/weiß, dass die Folge <math>a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}</math> für <math>n\geq 0</math> gegen 0 konvergiert.

lg
monkeyhead
ich meine einfach umschreiben:

<math>\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt{n+1}- \lim_{n \to \infty}\sqrt{n} < \epsilon</math>. Also es gibt füer jedes epsilon >0 ein N und so dass obiges fuer n>N gilt.


Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11012
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-10 21:25    [Diesen Beitrag zitieren]

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monkeyhead
Junior
Dabei seit: 22.10.2017
Mitteilungen: 16
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-10 21:06    [Diesen Beitrag zitieren]

@DerEinfaeltige Das heißt, du meinst, ich löse <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}</math> auf, sodass ich <math>n\geq \frac{1}{\epsilon^2}</math> erhalte. Was zeige ich damit genau? Die Bedingung bei welchem Folgenglied ich innerhalb einer gewissen Epsilon-Umgebung bin? Also eine Umgebung von <math>\epsilon=0.1</math> um den Grenzwert verlasse ich bei <math>n>100</math> nicht mehr. Dieses n ist dann mein N im Prinzip. Ist diese Notation dann nicht verwirrend? Sollte ich nicht besser gleich N schreiben. Sorry, wenn das ne blöde Frage ist. Ich merke nur unsere Profs sind da sehr genau.

@Wauzi: Danke für den Hinweis. Du hast Recht. Sollte in beiden Fällen natürlich a heißen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11012
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.2, eingetragen 2017-11-10 20:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Und obendrein solltest Du bei Deinem Ansatz nicht an->n konvergieren lassen, dann das gibt keinen Sinn. (Zeilen 4 und 7)
Gruß Wauzi


DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1190
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-10 19:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Für Faule:

<math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}</math>

Dann die Ungleichung <math>\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon</math> nach n auflösen.


monkeyhead
Junior
Dabei seit: 22.10.2017
Mitteilungen: 16
Herkunft:
 Themenstart: 2017-11-10 19:43    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

also, ich vermute/weiß, dass die Folge <math>a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}</math> für <math>n\geq 0</math> gegen 0 konvergiert. Die Frage ist, wie zeige ich das mit der Definition der Konvergenz.
Also mit der Definition, dass eine Folge <math>a_n</math> gegen n konvergiert, heißt, dass:
<math>\forall\epsilon > 0: \exists N\in\mathbb{N}: |a_n-a|<\epsilon,\forall n\geq N</math>

So, jetzt kann ich sagen
<math>|a_n-n|=|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-0|=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \\ =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math>

So, und jetzt habe ich etwas Probleme. Denn in den Vorlesungsbeispielen haben wir meist so argumentiert, dass es ein <math>N \geq 1</math> gibt, und nach dem archimedischen Axiom gilt <math>N>\frac{1}{\epsilon}</math> ist, oder anders ausgedrückt <math>\frac{1}{N}<\epsilon</math>.

Wir hatten als Beispiel die Folge <math>a_n=\frac{1}{n+1}</math>. Da funktioniert das wunderbar <math>|\frac{1}{n+1}-0|=\frac{1}{n+1}\leq\frac{1}{N}<\epsilon, \forall n\geq N</math>

Bei <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math> funktioniert das bei mir irgendwie nicht. Irgendwie blick ich nicht ganz durch, obwohl es ja eigentlich einfach sein sollte. Man sieht ja, dass <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math> für <math>n\rightarrow\infty</math> gegen 0 geht beziehungsweise, dass ich für jedes Epsilon ein n finden kann, sodass <math>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\epsilon</math>
Vielleicht kann mir ja jemand erklären, wo mein Denkfehler mit <math>\frac{1}{N}</math> liegt.

lg
monkeyhead


 
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