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\IR^n, aufgefasst als Punktmenge, ist eine Mannigfaltigkeit. Am Begriff des Tangentialraums einer Kugel ist rein gar nichts komisch - zumindest nicht mehr, als an dem einer Sphäre. 
Der Tangentialraum der Mfg \IR^n ist punktweise je ein Vektorraum \IR^n.

Bei 2. bin ich nun wieder verwirrt, was das alles mit dem Tangentialraum zu tun haben soll und was dort ''entlarvt'' wurde. Die S^2 ist eine Mannigfaltigkeit und Kugelkoordinaten liefern eine bequeme Karte, nicht mehr und nicht weniger. Irgendwie werde ich den Eindruck nicht los, dass du gleichzeitig über Mannigfaltigkeiten und auch Integration im \IR^n reden (Transformationssatz etc.) reden willst.

Vielleicht sollten wir uns zur Klärung der Begrifflichkeit mal ganz von einer konkreten eingebetteten Untermfg verabschieden und stattdessen die Physikern wohlbekannte Matrix-Lie-Gruppe SO(3) hernehmen?

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Ist f:\IR^3->\IR, so lässt man bei pdiff(f,x) die zweite und dritte Variable fest, wie auch in den Links ausgiebig erläutert wird. df/dx schreibt man nur, wenn man über eine Funktion spricht, die nur von einer einzigen Variablen (x) abhängt.

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Nach dem zweiten Gleichheitszeichen fehlt der Summand -P(A_1\cap A_2) und auch anschließend wird die Formel für zwei Mengen nicht korrekt angewendet.

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Die innere Ableitung ist nicht ok.
(x^2 ln(x^2))' = (2x^2 ln(x))' = 4x ln(x) + 2x.

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Ich weiß jetzt leider nicht genau, worauf du noch hinauswillst. So wie ich das sehe, musst du nur 
0=int(rot E,f,S)=int(E,r,\partial S)
notieren.

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Nein, es ist überhaupt gar nicht erforderlich, irgendwelche Komponenten anzuschreiben.
Der klassische Satz von Stokes besagt doch
int(rot V,f,S)=int(V,r,\partial S).
Es ist nur V durch E zu ersetzen.

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Hi,

1-1/(n+1) = (n+1)/(n+1)-1/(n+1)=n/(n+1).

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Hallo und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten,

es sollen lediglich beide Seiten über eine geschlossene Fläche integriert werden und anschließend der Satz von Stokes verwendet werden.
Zur Notation: zwischen den schröcklichen Operator rot und das Vektorfeld gehört nie ein Punkt.