\Hallo,

danke für den Tipp, jetzt ist es mir glaube ich klar:
Ich teile L//K wieder so auf:
K \subset\ K_i \subset\ L \subset\ M
wobei M die normale Hülle von L//K und damit auch von L//K_i ist und K_i die Menge aller über K rein irreduziblen Elemente von L ist. Es ist jetzt L//K_i genau dann separabel, wenn M//K_i separabel ist (nach deiner Aussage). Ich bilde jetzt den Fixkörper K' aller Elemente von M, welche von den K-Automorphismen von M festgehalten werden. Es ist dann M//K' separabel und K'//K rein inseparabel (nach dem Satz im Bosch). Nun muss ich ja technisch gesehen nurnoch zeigen, dass K'=K_i gilt und es folgt, dass L//K_i separabel ist.
Es gilt ja K_i \subset\ K', da jedes über K rein inseparable Element von L von den K-Automorphismen von M festgehalten wird. Andererseits werden, da M//K normal ist NUR die über K rein inseparablen Elemente von M von allen K-Automorphismen von M festgehalten und diese stimmen auch mit den rein inseparablen Elemente von L//K überein, da bei der Bildung der normalen Hülle keine neuen rein insep. Elemente hinzugefügt werden (Ein rein inseparables Polynom zerfällt entweder ganz oder garnicht). Damit ist K' \subset K_i , also K' = K_i.
Stimmt das soweit?

mfg
Gehirnvolumen

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Hallo,

ich beschäftige mich im Moment mit rein inseparablen algebraischen Körpererweiterungen und komme an einer Stelle nicht weiter: Man kann ja zu jeder algebraische Erweiterung L//K einen eindeutigen Zwischenkörper K_s finden, sodass K_s//K separabel ist und L//K_s rein inseparabel ist, also den separablen Abschluss von K in L. 
Im Bosch wird jetzt eine Zerlegung analog zur ersten konstruiert, nur dass die obere Erweiterung separabel und die untere rein inseparabel ist. Dazu nimmt er an, dass L//K normal algebraisch ist und konstruiert nun den Zwischenkörper K' als den Fixkörper der K-Automorphismengruppe von L über L (In seiner Schreibweise: K'=L^(Aut_K(L))). Ich sehe ein, dass in diesem Fall der Körper K_i aller über K rein inseparablen Elemente von L (sozusagen der rein inseparable Abschluss von K in L) grade mit dem Fixkörper übereinstimmt, aber wie sieht es für nicht normale Erweiterungen aus?
Es gilt ja stets K_i \subsetequal\ K' , da die K-Automorphismen von L die über K rein inseparablen Elemente festlassen und andererseits ist K_i//K stets rein inseparabel (da von rein inseparablen Elementen erzeugt).  Ist es jetzt im Allgemeinen für nicht notwendig normale Erweiterungen L//K richtig, dass L//K_i//K eine Zerlegung in einen separablen und einen rein inseparablen Anteil ist (also das L//K_i separabel ist) und im Falle der Normalität von L//K der Fixkörper K' lediglich mit K_i übereinstimmt, oder ist die Normalität eine zwingende Bedingung um so eine Zerlegung allgemein durchführen zu können?
Offensichtlich macht es ja in diesem Fall nichtmehr Sinn K' als den Zwischenkörper anzusetzen, da K_i der größte über K rein inseparable Zwischenkörper von L//K ist, also, falls K' rein inseparabel über K ist, bereits K' \subsetequal\ K_i und damit K'=K_i gelten muss.
Weiter stimmen im nicht normalen Fall die Körper K_i und K' ohnehin nicht mehr zwingend miteinander überein. Dazu hab ich mir folgendes Beispiel überlegt: Sei F_5 der Körper mit 5 Elementen, dann hat man für die nicht normale Körpererweiterung F_5(x) // F_5(x^15) die Zerlegung:
F_5(x^15) \subset\ F_5(x^3) \subset\ F_5(x)
Wobei (F_5)_i=F_5(x^3) ist, aber das Element x, welches nicht in F_5(x^3) liegt, von den F_5(x)-Automorphismen von F_5(x) auch festgehalten wird, jedoch als Nullstelle von f=t^15-x^15 nicht rein inseparabel über F_5(x^15) ist.
Festgehalten wird es, weil man f in F_5(x) folgendermaßen faktorisieren kann f=(t^3-x^3)^5 und f damit 3 verschiedene Nullstellen hat, von denen wegen sqrt(2)\notel\ F_5(x) nur x in F_5(x) liegt, also als einziges Bild von x in Frage kommt.
Hier ist dann also K'=L.
Wie kann man nun also zeigen (falls es denn möglich ist), dass L//K_i separabel ist?

mfg
Gehirnvolumen

Sei g: \IC -> \IC, z -> z^-^3 und S^1 = {z \el\  \IC | abs(z) = 1} = \deltaB_1(0). Zeige: Es existiert keine holomorphe Funktion f: \IC -> \IC mit f_(\|S^1) = g_(\|S^1)

z(s)=1/(n_z*sqrt(2)*sin(arctan(s/D)))-n_0/n_z

Seien X \subsetequal\ \IR^n und Y \subsetequal\ \IR^p:
Zu zeigen (oder zu widerlegen): 
a) X und Y offen <=> X \cross\ Y \subsetequal\ \IR^(n+p) offen
b) X und Y kompakt <=> X \cross\ Y \subsetequal\ \IR^(n+p) kompakt