ich wusste da leider nicht weiter... 

wenn ich das weiter umforme, dann komme ich auf:

1 + ((1-sqrt(5))/-2)
= 2/2 - ((-1 + sqrt(5))/2)
= (2 - 1 + sqrt(5))/2
= (1 + sqrt(5)) / 2

oh... jetzt seh ichs :-) 
habe vielen lieben dank für deine hilfe!!

oje, ich komme einfach nicht drauf ... hmpf

Wenn ich die Klammer erweitere, dann erhalte ich:
= 1 + (2/(1+sqrt(5))
= 1 + ((2*(1-sqrt(5)))/(1+sqrt(5))(1-sqrt(5))
= 1 + ((2*(1-sqrt(5)))/(1-5)
= 1 + ((2*(1-sqrt(5)))/(-4)
= 1 + ((1-sqrt(5))/-2)
= 1 - ((1-sqrt(5))/2)


Insgesamt erhalte ich dann:
F_(n+2)
=1/sqrt(5) * (((1+sqrt(5))/2)^(n+1) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n+1)) + (1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n)
=1/sqrt(5) * (((1+sqrt(5))/2)^(n+1) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n+1) + (1+sqrt(5)/2)^(n) - ((1-sqrt(5))/2)^(n))
=1/sqrt(5) * (((1+sqrt(5))/2)^n (1 -(1-sqrt(5))/2) + ((1-sqrt(5))/2)^(n) (1-(1+sqrt(5))/2))

aber wie komm ich nun auf die Form:
1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n+2) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n+2))


wäre für jede hilfe dankbar!
beste grüße,
malte

a=(1+sqrt(5))/2 und b=(1-sqrt(5))/2

F_(n+2) = F_(n+1) + F_(n)
= 1 / sqrt(5) ( a^(n+1) - b^(n+1) ) + 1 / sqrt(5) ( a^n - b^n )
= 1 / sqrt(5) ( a^(n+1)-b^(n+1)+a^n-b^n
= 1 / sqrt(5) ( a^n\.(a+1)-b^n\.(b+1) ) )
= 1 / sqrt(5) (a^(n+1)\.(1+1/a)-b^(n+1)\.(1+1/b))

Bei betrachten der Klammer (1+1/a):
(1+1/a)
= 1 + 1/((1+sqrt(5))/2)
= 1 + 2/((1+sqrt(5)))
= (1+sqrt(5))/(1+sqrt(5)) + (2/(1+sqrt(5))
= (2 + 1 + sqrt(5)) / (1+sqrt(5))

hm... hier komm ich nicht weiter .. im endeffekt müsste diese klammer doch ergeben:
(1+sqrt(5))/2 

denn damit könnte ich ja dann auf a^(n+2) kommen, was ich ja schließlich zeigen möchte

Oje, da habe ich mich wohl zu früh gefreut...

Also ich bin wieder beim Induktionsschritt:
F_(n+1) = F(n) + F_(n-1)
= 1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n)) + F_(n-1)

nun frage ich mich, wie ich das F_(n-1) da wegbekomme. Kann ich dafür einfach:
1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n-1) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n-1))
einsetzen? und muss das dann umformen, sodass ich dann den entsprechenden Term für (n+1) erhalte?
Dann habe ich vermutlich aber das Prinzip der vollständigen Induktion noch net ganz verstanden hmpf...

besten dank für die hilfe,
gruß malte

super!!

ich gaub ich habs :-)

hier nochmal meine Rechnung:

x_(n+1) = x_n + 8n 
= (2n-1)^2 + 8n 
= 4n^2-2n-2n+1+8n
= 4n^2+4n+1

(weils für mich einfacher ist rechne ich dann folgendes)

x_(n+1) = ( 2(n+1) -1 )^2
= (2n+2-1)^2
= (2n+1) * (2n+1)
= 4n^2 + 2n + 2n + 1
= 4n^2+4n+1

Und die letzte Gleichtung ist identisch mit der obigen. Damit sollte es bewiesen sein, richtig?

Nun versuche ich mich nochmal am obigen Beispiel... ein Moment bitte :-)

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge x_1 = 1 und x_(k+1)=x_k + 8k für k>=1 allgemein gilt:

x_n = (2n-1)^2


Der Indukionsanfang lautet:
P(1) = 1 = 1
P(2) = 9 = 9
das stimmt soweit.

Beim Induktionsschritt P(n) => P(n+1) weiß ich allerdings nicht so recht, wie ich da ran gehen soll. Hat jemand einen Tip?

Besten Dank für die Hilfe
gruß malte

ahhh... ich glaube mir geht gerade ein licht auf. 

also ich soll im endeffekt zeigen, dass die Fibonacci-Folge
F_n = F_(n-2) + F_(n-1) mit F_0 = 0 und F_1 = 1 identisch ist mit dem Term:

F_n = 1/sqrt(5) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2 )^n


habe erst gedacht, dass die Fibonacci-Folge mit dem Term definiert ist.
Gut, dann werde ich mal ein wenig herumrechnen...

Besten Dank,
Malte

Okay ... dann erhalte ich also für den Induktionsschritt:

F_(n+2) = 1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n+1) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n+1)) + (1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n)

= 1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n+1) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n+1) + (1+sqrt(5)/2)^(n) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n)


So .. an dieser Stelle weiß ich leider nicht, wie weiter umformen soll. Im Endeffekt muss ich den obigen Term ja nur auf die Form:
F_(n+2) = 1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)/2)^(n+2) - ((1-sqrt(5))/2 )^(n+2))

bringen, oder?

Besten Dank für die Hilfe,
Gruß Malte

Hallo!

ich übe gerade die vollständige Induktion und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

''Man gebe die ersten 10 Glieder der rekursiv definierten Folge F_0=0, F_1=1 und F_(n+2), n \el IN an und zeige mittels vollständiger Induktion:
F_n = 1/sqrt(5) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2 )^n
''

so ... ich mache erst den Induktionsanfang und durch einsetzen von n ergeben sich folgende werte:
f_0 = 0
f_1 = 1
f_2 = 1

Nun habe ich aber keine Idee, wie der Induktionsschritt P(n) => P(n+1) nun aussehen muss.
Muss ich hier zeigen, dass F_(n+2) = F_n + F_(n+1) ist?

Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar,
Beste Grüße,
Malte

Hi!

vielen dank erstmal für die hilfe.

ich hab nun folgende schritte gemacht:

lim(n->\inf,1/n^2 sum(sqrt((n+k)(n-k)),k=1,n))
 
lim(n->\inf,1/n sum(sqrt((n+k)(n-k))/n,k=1,n))
 
lim(n->\inf,1/n sum(sqrt(n^2-k^2)/n,k=1,n))

aber mir mangelt es wohl leider noch an theoretischen grundlagen, um da weiter zu machen. Welche Formel bzw. Form haben denn überhaupt die Riemannschen Zwischensummen? Ich finde dazu leider kaum etwas im internet.

Besten Dank für die Hilfe,
Viele Grüße,
leth

Hallo!

ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:
''Berechnen Sie
lim(n->\inf,x) = 1/n^2 * sum(sqrt((n+k)(n-k)),k,1,n)
durch Interpretation als Grenzwert einer Riemannschen Zwischensumme.''


Nun kann mich zwar noch recht gut an das Prinzip der Ober- und Untersumme aus der Schule erinnern, aber auf diese Aufgabe angewendet fällt mir überhaupt kein Ansatz ein.

Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben oder mir eine gute und vielleicht weiter ausholende Erklärung im Internet sagen? Mein Skript dazu ist leider die reinste Katastrophe...

Besten Dank für die Hilfe,
Gruß Leth

super! danke!

so langsam komme ich hier voran.

um den dritten Summanden zu berechnen habe ich nun gerechnet:
int((-8x+3)/(x(x+2)+3),x,,)
= int(((2x+2)(-4)+11)/(x^2+2x+3),x,,)
= int(((2x+2)(-4))/(x^2+2x+3),x,,) + int(11/(x^2+2x+3),x,,)

Für den ersten Summanden habe ich berechnet:
int(((2x+2)(-4))/(x^2+2x+3),x,,)

z = x^2+2x+3
dz =(2x+2)dx
dx = dz/(2x+2)
int((((2x+2)(-4))/(z)) * (dz/(2x+2)),,,)

(2x+2) kürzen:
= int(-4/z,z) = (-4) * ln(abs(z))

z wieder einsetzen:
= (-4) * ln(abs(x^2+2x+3))


Nun bleibt ich allerdings beim 2. Summanden wieder stecken *hmpf*:
int(11/(x^2+2x+3),x,,)

Bin für jeden Tipp und Rat dankbar,
beste grüße,
leth

Vielen Dank viertel für die Hilfe!!

In meinem Mathebuch gibt es ein ähnliches Beispiel, allerdings kann ich da einen Schritt, wohl den entscheidenen, nicht nachvollziehen.

Dort wird bei der Integralrechnung in einem Schritt folgendes gerechnet:
int((2x-2)/(x^2+2x+2),x,,) 
= int((2(x+1))/((x+1)^2+1),x,,)- 4 int(dx/((x+1)^2+1))

Ich versuche nun schon die ganze Zeit zu verstehen, was für den Autor des Buches wohl so offensichtlich erscheint, dass man es nicht näher erläutern muss ;)

Wäre für jede hilfe dankbar,
gruß leth

Super, danke für die schnelle Hilfe :-)

Damit ist das Gleichungssystem auch lösbar.
ich erhalte nämlich dann:
4 =   A
1 =   A + B  + C + D
3 =   A + 2B + C + D
5 = -3A + 3B - C + D

das ergibt:
A=4
B=2
C=-8
D=3

Diese Werte setze ich nun in die ursprüngliche Formel ein, sodass ich erhalte:

(4x^3+x^2+3x+5)/((x-1)^2(x^2+2x+3)) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + ((Cx+D)/(x^2+2x+3))

(4x^3+x^2+3x+5)/((x-1)^2(x^2+2x+3)) = 4/(x-1) + 2/(x-1)^2 + ((-8x+3)/(x^2+2x+3))

Die Berechnung des Integrals für die ersten beiden Summanden ist mir klar, allerdings macht mir nun der 3.Summand zu schaffen, nämlich:
((-8x+3)/(x^2+2x+3))

Kann mir jemand einen Tipp geben, um mir auf die Sprünge zu helfen?
Vielen Dank für die Hilfe,
Beste grüße
Leth

Hallo!

ich arbeite mich gerade in das Thema hinein und habe folgende Aufgabe vor mir liegen:
Berechne das (unbestimmte) Integral von
int((4x^3+x^2+3x+5)/((x-1)^2(x^2+2x+3)),x,,)


Meine Rechnungen bisher dazu:
f(x) = (4x^3+x^2+3x+5)/(x-1)^2(x^2+2x+3) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x^2+2x+3) 


Beide Seiten multipliziert mit (x-1)^2(x^2+2x+3) ergibt:
= 4x^3+x^2+3x+5 = A(x+1)(x^2+2x+3)+B(x^2+2x+3)+C(x-1)^2

=4x^3 + 1x^2 + 3x^1 + 5x^0
= A (x^3+3x^2+5x+3) + B (x^2+2x+3) + C (x^2-2x+1)
= x^3 (A) + x^2 (3A+B+C) + x^1 (5A+2B-2C) + x^0 (3A+3B+C)

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
4 = A
1 = 3A + B + C
3 = 5A + 2B - C
5 = 3A + 3B + C

Nur das ist leider nicht lösbar und da komme ich nicht weiter. Weiß jemand, wo ich den Fehler gemacht haben könnte?

Vielen lieben Dank für die Hilfe,
gruß leth

Hi!

ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:
Man zeige mithilfe der Stirlingschen Approximationsformel n! ~ n^n * \epsilon^(-n) * sqrt(2 \pi n)

(2n;n) ~ 4^n/sqrt(\pi n)

meine rechnung bisher ist:
(2n;n) 
= 2n! /( n! * n! )

Anwendung der Formel auf n bzw. 2n
= (2n^(2n) \epsilon ^(-2n) * sqrt (2 \pi 2 n))/ (n^n \epsilon ^(-n) * sqrt(2 \pi n) * (n^n \epsilon ^(-n) * sqrt(2 \pi n) )
= (2 * sqrt(2 \pi 2n)) / ( sqrt(2 \pi n) * sqrt(2 \pi n)) 
= 4 / (2 sqrt(\pi n)
= 2 / sqrt(\pi n)

aber das ist leider nicht das ergebnis. eigentlich bin ich davon überzeugt, dass ich mich nirgends verrechnet hab. aber wo liegt der fehler?

wäre über jede hilfe dankbar,
beste grüße,
leth

Hi!

Danke erstmal für die Hilfe. Nach einigen vergangenen Wochen versuch ichs nochmal:

Ich will also prüfen, ob folgende Gleichung irreduzibel ist:
x^3 + x^2 + 5 = 0

Ich beziehe mich bei meiner Lösung auf das Eisensteinkriterium (siehe Link unten)

Aus obiger Gleichung erhalte ich folgende Koeffizienten:
a_0 = 5
a_1 = 0 (kann ignoriert werden?)
a_2 = 1
a_3 = 1

erstes Kriterium (p muss eine Primzahl sein):
p|a_i für alle i<n

es stimmt. p=1 teilt sowohl a_0=5, als auch a_2=1

zweites Kriterium:
p^2 \dagger a_0

stimmt nicht, da p^2 = 1 ist und 1 widerum a_0 = 5 teilt


drittes Kriterium (der Vollständigkeit halber):
p \dagger a_n

stimmt ebenfalls nicht, da p=1 auch a_3 = 1 teilt


Die Antwort lautet also, dass das Polynom reduzibel in \IQ ist.

... ich glaube, ich habe das Vorgehen eigentlich verstanden, das problem ist nur, dass die Gleichung laut Ergebnis meines Tutors sehr wohl irreduzibel in \IQ ist.


Weiß jemand, woran es bei meiner Lösung gehakt hat?
Besten Dank für die Hilfe,
Gruß Leth