Kommt es beim 'limes' im wesentlichen auf (Definitions- und Werte-)Menge der betreffenden Funktion an und ob alle Werte, die (per Folge) erreicht werden können darin liegen oder nicht ? 
Was ich vor allem nicht verstehe: Wenn eine Folge ((f_n))_(n\el\ \IN) Teilmenge der messbaren numerischen nichtnegativen Funktionen ist, dann kann doch auch der Grenzwert nur darin liegen. (Wo soll er denn hin ?) 
Oben könnte die Folge vom Wert her aber doch vor allem auch unendlich werden. Dann wäre der limes von f_n doch gerade nicht '<=a \el\ \IR (ohne unendl.)' wie in diesem Beweis geschrieben.
Der Limes ist wirkt nicht so schwer vom Verständnis, aber ich habe schon immer Schwierigkeiten das festzulegen. 

Wenn ein Funktionswert \inf ist, über den integriert wird, ist das Integral doch unendlich- warum soll das denn falsch sein ?

Zumindest bei dem L^P -Raum habe ich auch selbst das Gefühl wenig verstanden zu haben. In unserer Vorlesung ging es um 1/ x^a. An sich sind zB auf (1,\inf ) vielmehr Funktionen drinnen und meine Frage in mehrerlei Hinsicht Unsinn ist dann jetzt zumindest klar. Ich wäre manchmal für kurze klare Ansagen sehr dankbar. Es sind ja vielmehr Funktionen als die drinne, wäre sehr hilfreich. Die Themengebiete wurden bei der Vorbereitung einfach immer mehr und mehr ..

Das heute zu hören, wo ich morgen die Prüfung habe \(die übrigens meine letzte bis auf die Bachelor-Arbeit ist- den Grenzwert mag ich seit der ersten Stunde nicht\) ist erschreckend. Könnte man es netterweise 'In ein paar Zeilen' kurz hinschreiben, warum der Grenzwert messbar ist. 
Die Funktion ist konvergent, sprich der Limes existiert, hat also eine obere Schranke in \calF , dann ist lim(n->\inf,f_n) auch in \calF .
Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge (auch außerhalb).
Eine messbare Funktion ist eine Funktion für die jedes G gilt:
f^(-1) (G) \subset\ \calF , wobei f: X-> Y, \calG \sigma-Algebra über Y und \calF  \sigma-Algebra über Y.
Was meinst Du mit Definition des Grenzwerts genau ?   

In meinem Beweis wird als erstes behauptet, dass im Fall: X überabzählbar: \sigma({x}:x\el\ X)={A\subset\ X : A abz. oder A^c abz.}:= \calA.
Danach wird gesagt, 'zunächst \calA \subset\ \sigma({x}:x\el\ X) wegen der Abgeschlossenheit von \sigma-Algebren unter abz. Vereinigung und Komplementbildung.'
Ich sehe nicht, was mir das sagen soll. Dass mit jeder abzählbaren Teilmenge von X jede Einpunktmenge in \calA ist, ist zu sehen. Wahrscheinlich wieder dumm die Frage, aber dann mögl. wenigstens kurz zu beantworten: Warum kann \calA nicht größer sein als die erzeugte \sigma-Algebra -weil nur Teilmengen von X drin sind, aber woher weiß ich dass die Regeln von \calA nicht mögl. Mengen kreieren, die nicht in \sigma({x}:x\el\ X) sind?
Kann ich trotzdem (vorausgesetzt ich zeige im Fortgang des Beweises, dass \calA eine \sigma-Algebra ist) so überlegen, dass mit jeder abzählbaren Teilmenge von X jede Einpunktmenge in \calA ist. \calA also deswegen Teilmenge von \sigma({x}:x\el\ X) ist und das Problem löst sich mit dem Zeigen, dass \calA \sigma-Algebra ist in Wohlgefallen auf ?   

Hallo, in der Erklärung des Haupsatzes der Differential- und Integralrechnung bei Wikipedia heißt es, dass, sofern f auf intervall(a,b) Lebesgue-integrierbar ist, die Stammfunktion absolut stetig (insb. fast überall differenzierbar) ist und F'(x)=f(x) \lambda-fast überall.

Gibt es zu 'fast überall differenzierbar' in dem Fall eine instruktive Vorstellung oder ist das sozusagen ein Vorbehalt insofern, dass zB die Diriclet-Funktion fast überall (insb. nirgends :) ) differenzierbar ist ?
(Lässt sich der Begriff des absolut stetigen reeller Funktionen in dem 
Zusammenhang mit dem des absolut stetigen von Maßen in Deckung\\Einklang bringen ?
Obwohl es kein Maß gibt bezüglich dessen das Maß in Verbindung mit der Funktion absolut stetig sein könnte, dachte ich, macht das eventuell sozusagen eine Aussage über die Gestalt von f d\lambda ?) 

Hallo, um darzustellen, dass die Voraussetzung der Majorante (im Satz von der majorisierten Konvergenz) notwendig ist, nimmt man in meiner Darstellung die Funktinenfolge: n 1_intervall(0,1/n). 
1/n 1_intervall(0,n) würde das genauso zeigen, oder ? 

Es gäbe in beiden Fällen keine integrierbare Schrankenfunktion ?
- Im zweiten Fall weil die X-Menge den Funktionswert im Grenzwert unendlich werden lässt ? Oder müsste man\\ist der Fall sowieso ausgeschlossen ? 

\(Ferner sobald nichts angegeben\\weiter gesagt ist, ist normalerweise int(f,x,a,b)<\inf ? Insb. wenn f nicht nicht-negativ vorausgesetzt ist, muss das so sein, oder ? \)

Hallo, könnte das gegebenenfalls kurz jemand bestätigen ?

Es geht um die Beispiele, f_n =n * 1_((0, 1/n )) und g_n=1/n 1[0,n]
[Zunächst: Hier sind tatsächlich ein offenes Intervall für die Indikatorfunktion von f_n und ein abgeschlossenes für die
Indikatorfunktion von g_n gemeint ? ]

(i) Für g_n gibt es keine integrierbare Majorante, 
weil im Grenzwert X=[0,\inf ] das Integral nicht gebildet werden kann (bzw. die Majorante \inf  sein müsste).
(-ich hatte bisher immer bei dem 1/n nach dem Grund gesucht )

(ii) f_n konvergiert punktweise, weil die Funktion sozusagen in Null springt in dem Moment wo die Indikatorfunktion (bei \inf ) Null wird.
Im Gegensatz dazu kann zu g_n auf ganz X=[0,\inf ] ein 
\epsilon_n > 0 angegeben werden, das größer ist als g_n, sprich g_n konvergiert deswegen im Gegensatz zu oben gleichmäßig ? 
(Ferner ist gleichmäßige Konvergenz verglichen mit punktweiser Konvergenz eine höhere Anforderung ?)

Hallo, ich bin gerade verschiedene Beschreibungen des Satzes von Tonelli durchgegangen.
Die Fragen, die sich mir stellen sind folgende:
(i) In meinem Skript wird gefordert, dass das iterierte Integral existiert - das wäre doch äquivalent dazu, dass das Integral bzgl. beider Maße existiert oder die Funktion nichtnegativ ist, stimmt das ?
(ii) Auch in Wikipedia ist m. E. der Verweis auf die Voraussetzungen des Satzes von Fubini etwas unglücklich, sprich was sind die regelmäßigen Voraussetzungen des Satzes von Tonelli ?

Hallo, im Beweis zum Satz von der monotonen Konvergenz ist bei mir zuerst zu zeigen, dass der lim(n->\inf,f_n)=f einer nicht-negativen numerischen Funktionenfolge auch eine numerische nicht-negative messbare Funktion ist:(Ich muss also zeigen, dass die Funktion messbar bzw. \el\ \calF ist, warum und warum so ?)

Als erstes wird gesagt, dass f=lim(n->\inf,f_n)=sup_(n\el\ \IN) f_n ist. (Warum ?)
Danach: Ist a\el\ \IR, so ist f_n(x)<=a \forall\ n\el\ \IN <=> sup_(n\el\ \IN) f_n(x)<=a für jedes x\el\ X 
\(Das ist die Definition vom Supremum, oder - warum wird a=\inf  nicht einbezogen, wo es doch gerade eine numerische Funktion sein soll ?\), 
also ist {sup_(n\el\ \IN) f_n <=a} 
( Element F für jedes a aus \IR)=
cut({f_n<=a},n\el\ \IN) (Warum ist das {f_n<=a} aus \calF ?)

Hallo unter welchen Bedingungen war nochmal das Komplement einer abgeschlossenen Menge offen und umgekehrt ?
Ich bin gerade über ein Beispiel gestolpert: A=union({ 1/n },n\el\ \IN) ist ja beides nicht.
(i) Wie nennt man sowas ?
(ii) Was ist zB \IR\\A ?- offen oder abgeschlossen oder auch beides nicht ?