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Thema Eingetragen
Autor

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sukisuperschaf
Ideal in einem Polynomring  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-23 21:36
Triceratops
 

Kurz: Es gilt <math>1 \in I</math>, aber <math>x=x \cdot 1 \notin I</math>. Also ist <math>I</math> kein Ideal.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sukisuperschaf
surjektiver Gruppenhomomorphismus  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-22 18:22
Triceratops
J

Es gibt genau dann einen surjektiven Gruppenhomomorphismus <math>\mathds{Z}/m \to \mathds{Z}/n</math>, wenn <math>n \mid m</math>.

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KarlRuprecht
Garbenquotient induziert Garbe  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-21 23:03
Triceratops
 

Das ist zunächst einmal konsistent mit der Formel <math>n^0 = 1</math> (denn <math>n^m</math> ist die Zahl der Abbildungen von einer <math>m</math>-elementigen Menge in eine <math>n</math>-elementige Menge), aber dass für eine Garbe <math>F</math> von Gruppen (bzw. in einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math>) stets <math>F(\emptyset)</math> die triviale Gruppe (bzw. das terminale Objekt von <math>\mathcal{C}</math>) ist, ist wohl keine "mengentheoretische Spielerei", sondern eine Folgerung aus dem Garbenaxiom bezüglich der leeren Überdeckung von <math>\emptyset</math> (die also keine offene Menge enthält).

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
(Un-)Gleichheiten von Rängen von Moduln begründen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-21 22:49
Triceratops
 

Zur ersten Frage: Es gilt weder <math>\Rightarrow</math> noch <math>\Leftarrow</math>. Dein Beweis für <math>\Rightarrow</math> ist nicht richtig. Die Formel <math>M = \bigoplus_i x_i</math> ist auch nicht richtig. Man findet Gegenbeispiele für <math>\Rightarrow</math> bereits für <math>M=R</math>. Für den Beweis im Neukirch braucht man weder <math>\Rightarrow</math> noch <math>\Leftarrow</math>.

Deine restlichen Begründungen sind nachvollziehbar* mit Ausnahme von <math>\mathrm{Rang}(M_0) \leq \mathrm{Rang}(M)</math>. Schreibe das bitte noch einmal genauer auf.

* Solange allerdings eine Begründung mit einem Fragezeichen versehen ist, handelt es sich um keinen Beweis. Der Autor eines Beweises muss sich selbst Sicherheit verschaffen.

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KarlRuprecht
Garbenquotient induziert Garbe  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 21:58
Triceratops
 

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Betrachte die konstante Prägarbe <math>F</math>, definiert durch <math>F(U):=\mathds{Z}</math>. Die assoziierte Garbe ist die Garbe <math>F^\#</math> der lokalkonstanten Funktionen nach <math>\mathds{Z}</math>. Es gilt <math>F(\emptyset)=\mathds{Z}</math>, aber <math>F^\#(\emptyset)=\{*\}</math>.

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KarlRuprecht
Garbenquotient induziert Garbe  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 18:53
Triceratops
 

Um die Quotienten geht es an dieser Stelle noch gar nicht. Beachte diese also nicht.

Achtung: <math>\mathcal{K}'_X \to \mathcal{K}_X</math> mag zwar auf den Halmen injektiv sein, aber weil <math>\mathcal{K}'_X</math> i.A. keine Garbe ist, heißt das nicht, dass es sich um einen Monomorphismus handelt.

Allerdings gilt tatsächlich, dass es sich um einen Monomorphismus "aus Sicht der Garben" handelt, d.h. wenn man die Testobjekte auf Garben einschränkt.
 
Aber man kann das auch konkreter sehen: Wir haben einen Schnitt in <math>\mathcal{O}_X</math> und dessen Bild in <math>\mathcal{K}'_X</math>. Dessen Bild in <math>\mathcal{K}_X</math> verschwindet. Das bedeutet (per Konstruktion / via Halme), dass der Schnitt in <math>\mathcal{K}'_X</math> lokal verschwindet. Und das bedeutet wiederum, dass der Schnitt in <math>\mathcal{O}_X</math> lokal im Kern von <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}'_X</math> liegt. Weil ein Schnitt in <math>\mathcal{O}_X</math> genau dann <math>0</math> ist, wenn er es lokal ist, reicht es daher, <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}'_X</math> zu betrachten.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Katha95
Zwischenkörperverband für Erweiterung endlicher Körper bestimmen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 18:48
Triceratops
J

Ich würde die Teiler in ihrer PFZ belassen, denn so erkennt man die Teilerbeziehungen zwischen ihnen sehr gut.

Das Hasse-Diagramm sieht so aus:

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt}, row sep=8ex, column sep=5ex]
&  & \mathds{F}_{2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7} & & \\
& \mathds{F}_{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \ar[-]{ur} & \mathds{F}_{2 \cdot 5^2 \cdot 7} \ar[-]{u} && \mathds{F}_{3 \cdot 5^2 \cdot 7} \ar[-]{ull} \\
\mathds{F}_{2 \cdot 3 \cdot 7} \ar[-]{ur}  & \mathds{F}_{2 \cdot 5 \cdot 7} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} && \mathds{F}_{3 \cdot 5 \cdot 7} \ar[-]{ull}  \ar[-]{ur} & \mathds{F}_{5^2 \cdot 7} \ar[-]{u} \ar[-]{ull} \\
\mathds{F}_{2 \cdot 7} \ar[-]{ur} \ar[-]{u} & & \mathds{F}_{3 \cdot 7} \ar[-]{ur} \ar[-]{ull}  & \mathds{F}_{5 \cdot 7} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} \ar[-]{ull} & \\
&& \mathds{F}_{7} \ar[-]{ull} \ar[-]{u} \ar[-]{ur} & &
\end{tikzcd}</math>

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KarlRuprecht
Garbenquotient induziert Garbe  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 18:23
Triceratops
 

2017-09-20 18:08 - KarlRuprecht im Themenstart schreibt:
Definitionsgemäß sei Quotientengarbe zu <math> \mathcal{O}_X ^* \subset \mathcal{K}_X ^* </math> wie folgt definiert: jedes offene <math>U \subset X</math> wird auf eine Quotientenstruktur per <math> U \to \mathcal{K}_X ^*(U) / \mathcal{O}_X ^*(U)</math> abgebildet.
 
Das ist nur eine Prägarbe. (Ich gehe davon aus, dass das nur ein Tippfehler ist.)

Meine Fragen:
Zunächst wieso gilt <math>\mathcal{O}_X ^* \subset \mathcal{K}_X ^*</math> ? (daher <math>\mathcal{O}_X ^*(U) \subset \mathcal{K}_X ^*(U)</math> für jedes U)?
 
Es reicht zu zeigen, dass der natürliche Homomorphismus (von Garben von Ringen bzw. Algebren) <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X</math> ein Monomorphismus ist, denn dann induziert er einen Monomorphismus von Garben von Gruppen <math>\mathcal{O}_X^* \to \mathcal{K}_X^*</math>. Dafür reicht es, zu zeigen, dass <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}'_X</math> ein Monomorphismus von Prägarben ist (klar warum?).

Sei also <math>s \in \mathcal{O}_X(U)</math> ein Schnitt, der im Kern liegt, d.h., es gilt <math>\frac{s}{1}=0</math> in <math>\mathcal{R}_X(U)^{-1} \, \mathcal{O}_X(U)</math>. Das bedeutet per Konstruktion der Lokalisierung, dass es einen Schnitt <math>t \in \mathcal{R}_X(U)</math> gibt mit <math>t \cdot s = 0</math>. Für alle <math>x \in U</math> ist <math>t_x \cdot s_x = 0</math>, aber <math>t_x</math> ist nach Definition von <math>\mathcal{R}_X</math> ein Nichtnullteiler. Also folgt <math>s_x=0</math>. Weil <math>x \in U</math> beliebig war, folgt <math>s=0</math>.

(Diese Argumentation mit den Halmen kann man umgehen, indem man die Definition benutzt, dass <math>\mathcal{R}_X(U)</math> die Menge der regulären Elemente von <math>\mathcal{O}_X(U)</math> im Sinne von Garben sei, also der Schnitte <math>s \in \mathcal{O}_X(U)</math>, für die die Multiplikation <math>s : \mathcal{O}_X|_U \to \mathcal{O}_X|_U</math> ein Monomorphismus ist. Aus <math>t \cdot s = 0</math> folgt hiermit sofort <math>t=0</math>. Generell kann man oftmals Halme vermeiden, was tatsächlich bei gewissen Verallgemeinerungen von Schemata eine wichtige Rolle spielt.)

Und zweitens:
Um was für eine Quotientenstruktur handelt es sich bei <math>\mathcal{K}_X ^*(U) / \mathcal{O}_X ^*(U)</math>? Quotient von abelschen Gruppen (im Sinne der Einheitengruppen)?
 
So ist es.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Natasha89
Erweiterungskörper Kronecker  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 13:45
Triceratops
 

Die Gleichung <math>\alpha^6 + \alpha^2 + 1=0</math> zeigt, dass <math>\alpha^2</math> eine Nullstelle von <math>X^3+X+1</math> ist.

Wie kommst du darauf, dass <math>\alpha^{2n}</math> eine Nullstelle ist? Kannst du das beweisen? Ist das hier relevant?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Natasha89
Erweiterungskörper Kronecker  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 13:30
Triceratops
 

Es gilt <math>\alpha^3 = -(\alpha+1)=\alpha+1</math>. Multipliziere nun die Gleichung mit <math>\alpha</math>.

PS: Viele Formeln in deinem Beitrag sind noch nicht lesbar.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Katha95
Zwischenkörperverband für Erweiterung endlicher Körper bestimmen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 13:27
Triceratops
J

Die Teiler von <math>1050</math> kann man systematisch bestimmen, indem man die Primfaktorzerlegung verwendet:

<math>1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7</math>
 
Die Teiler haben demnach die Form

<math>2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d,</math>
 
wobei <math>a,b,d \in \{0,1\}</math> und <math>c \in \{0,1,2\}</math>. Diejenigen Teiler, die von <math>7</math> geteilt werden, erfüllen zudem <math>d=1</math>. Es bleiben dann nur noch <math>12</math> Teiler übrig.

Man soll hier allerdings nicht nur die Zwischenkörper hinschreiben, sondern auch den Verband, also die Inklusionsbeziehungen graphisch veranschaulichen. Schau mal unter dem Begriff Hasse-Diagramm.

Es gilt <math>[\mathds{F}_{p^n} : \mathds{F}_{p^m}] = n/m</math> für <math>m \mid n</math>.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Lemma von Gauss für ganz abgeschlossene Ringe  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 12:48
Triceratops
J

2017-09-20 10:40 - Saki17 in Beitrag No. 4 schreibt:
Falls <math>f</math> nicht normiet ist, kann man die Gleichung <math>f=gh</math> durch den Leitkoeffizienten von <math>f</math> in <math>K</math> teilen.
 
Kannst du das noch ausführen?

Sei <math>f \in R[X]</math> und <math>d</math> der Leitkoeffizient von <math>f</math>. Wir haben dann <math>f=g \cdot h</math>, also <math>f/d = g/d \cdot h</math>, und <math>f/d \in K[X]</math> ist normiert. Aber <math>f/d</math> ist doch nicht mehr in <math>R[X]</math>. Das Argument funktioniert also nicht mehr. Oder?

Edit:

Ein Gegenbeispiel steht hier, mit <math>R=\mathds{Z}[\sqrt{-5}]</math> bzw. <math>R=\mathds{Z}[\frac{1}{2} (1+\sqrt{5})]</math> (dieser Ring ist sogar euklidisch).

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Lemma von Gauss für ganz abgeschlossene Ringe  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 12:45
Triceratops
J

Korrektur:

2017-09-20 10:40 - Saki17 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wir wissen, dass jeder Koeffizient eines normierten Polynoms sich als polynomialer Ausdruck in den Nst. darstellen lässt. Damit folgern wir, dass die Koeffizienten von <math>g,h</math> auch ganz über <math>R</math> sind, da die ganzen Elemente (von einem festen Oberring) einen Ring bilden.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lebowski
Galoisgruppe am Tetraeder erklären  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 12:43
Triceratops
 

Du hast vermutlich nur einen Aufgabenteil wiedergeben. Damit lässt sich leider nicht so viel anfangen.

Was ist die vollständige Aufgabenstellung? Was ist der gesamte Kontext? Welche Themen wurden behandelt?

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Cielo
Isomorphismus in Hauptidealring  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 08:15
Triceratops
 

Schau mal hier LinkIsomorphismus, Homomorphiesatz

Allgemein ist <math>K[X,Y]/\langle X-p(Y)\rangle \cong K[Y]</math> für <math>p(Y) \in K[Y]</math>. Eine Standard-Möglichkeit, das zu beweisen, ist – mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Polynomring und Quotientenring – zwei zueinander inverse Homomorphismen zu konstruieren. Dabei gibt es jeweils nur eine (sinnvolle) Wahl.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Lemma von Gauss für ganz abgeschlossene Ringe  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-20 00:15
Triceratops
J

Ok. Gehe nun zum Zerfällungskörper von f über, also von g und h. So bekommst du ganze Elemente.

Wie gesagt sollte f normiert sein. Dann sind oBdA auch g,h normiert. Überlege dir nun, dass g,h schon in R[x] liegen.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Lemma von Gauss für ganz abgeschlossene Ringe  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-19 21:59
Triceratops
J

Ist dir klar, wie "reduzibel" definiert ist? Führt das nicht bereits zu einem Ansatz? Zeige uns einmal, wie weit du kommst.

PS: Es sollte f als normiert vorausgesetzt werden. (Jedenfalls ist mir ansonsten unklar, ob die Aussage stimmt, und wenn ja warum. Die Annahme der Ganzabgeschlossenheit ist nur auf normierte Polynome anwendbar. Und über R lassen sich Polynome, soweit ich weiß, in keiner Weise normieren.)

Textsatz mit LaTeX
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LaLe
Titel einer section wird fehlerhaft in Kopfzeile dargestellt  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-18 19:32
Triceratops
 

2017-09-18 19:29 - LaLe in Beitrag No. 3 schreibt:
Die vielen Punkte dienen dafür, so viele Zeilen zu erzeugen bis zum ersten mal eine Seite auftritt, wo die entsprechende Kopfzeile auftaucht.
 
Dafür nutzt man blindtext oder lipsum.

www.ctan.org/pkg/blindtext?lang=de
www.ctan.org/pkg/lipsum

Textsatz mit LaTeX
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LaLe
Titel einer section wird fehlerhaft in Kopfzeile dargestellt  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-18 19:21
Triceratops
 

Der Suchbegriff "tex references in section titles" führt bei google zu einigen Antworten zur Frage.

Mengenlehre
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sbasarici
{a}=a?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-18 18:30
Triceratops
 

@carlox: Schau mal in das verlinkte Buch rein, insb. in das Vorwort, die Einleitung, und Kapitel 6,7,8. Deine Frage wird dort beantwortet.
  

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