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Der Sinn der Funktion ist folgender:

In einer Simulation habe ich Variablen die den Wertebereich [L,U] haben. Während der Simulation werden die Variablen beeinflußt (es Werte aufaddiert), so dass die genannten Schranken L und U evtl. überschriten werden. Um sicherzustellen, dass das nicht passiert, möchte ich den Startwert einer Variablen (nennen wir ihn S) in einen anderen Raum transformieren: und das mit der gesuchten Funktion, also f(S). Dann werden alle simulationsspezifischen Werte aufaddiert, also f(S)+SIM, um dann wieder zurück zu transformieren, also f^(-1)(f(S)+SIM).

Sowas braucht man z.B., wenn die Variablen Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen darstellen (L=0, U=1).

Gruss

Heiko

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Ich habe ein Intervall intervall(L,U) und ein A mit L<A<U.
Nun suche ich eine Funktion f(x) mit den folgenden Eigenschaften

1) f ist streng monoton wachsend
2) lim(x->L,f(x)) = -\inf
3) lim(x->U,f(x)) = \inf
4) f(A) = 0

Weiterhin gibt es einen Wert v>0, so dass

5) f(A-v) = -1
6) f(A+v) = 1

gilt. Und zusätzlich brauche ich noch f^(-1)(x) ...

f(x) nähert sich zwei vertikalen Asymptoten, nämlich L und U und hat einen Wendepunkt bei x=A. Da der Tangens schon ganz ähnlich aussieht, habe ich ein wenig mit der Transformation des Tangens herumgespielt, was dann zu einer Funktion

f(x)=(m1*x+b1)*tan((\pi*(x-A))/(m2*x+b2))

geführt hat. f(x) erfüllt alle Eigenschaften. Die Suche nach der Umkehrfunktion hat zu dem Beitrag im Board geführt ...

Aber vielleicht gibt es noch eine andere, elegantere Lösung?

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Hi Ollie,

sagen wir der Definitionsbereich ist intervalloo(-\pi/2,\pi/2).
Dann sind eigentlich alle Voraussetzungen inkl. Stetigkeit und Differenzierbarkeit gegeben.

Evtl. geht es über die Ableitung. Habe gelesen, dass

(f(x)^(-1))'=1/(f'(x)) gilt.

Nur für das Beispiel ist die Integration von 1/f'(x) auch nicht gerade trivial.

Gruss

Heiko

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Das war vielleicht ein schlechtes Beispiel aber sei

f(x)=x^2*tan(x)

dann erfüllt sie alle Voraussetzungen dafür, dass es eine Umkehrfunktion gibt:

Es sei -\inf < a < b < \inf. Ist die Funktion f:[a,b]->\IR streng monoton wachsend, dann existiert die inverse Funktion
f^(-1):[f(a),f(b)]->[a,b]

(z.B. Bronstein 1996, S.269)

Das ist für die obige Funktion gegeben, aber wie kriegt man die raus? Gibt es da evtl. irgendwelche Regeln, evtl. Produktregel?

Viele Grüsse

Heiko

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Ich suche die Umkehrfunktion zu f(x)=x*tan(x)

Der Ansatz y=x*tan(x) und dann nach x auflösen funktioniert nicht.
Wie komme ich also an die inverse Funktion?

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Hallo Flo!

Super! Vielen, vielen Dank für die Bestätigung und die ausführliche Darstellung des Arguments.

Auch dass Du die Ableitung g'(0) schon mit angegeben hast. Ich hatte mir in der Zwischenzeit mal die Software wxMaxima besorgt und auch die bestätigt das Ergebnis.

Ebenfalls in der Zwischenzeit habe ich g'(x), x!=0 (per Hand)ermittelt:

g'(x)=k/(2*x^2)+SIGN(x)*(k*(xU+xL-2xA-k))/(4x^3*sqrt((A*k)/x-UL+(k/(2*x)-(U+L)/2)^2))

Natürlich ist g'(x) ebenfalls für x=0 nicht definiert. Muss man nun mit einer ähnlichen Betrachtungsweise drangehen um g'(0) rauszukriegen?

Dann könnt' ich's selbst mal versuchen und gebe bescheid, wenn ich nicht weiter komme ...

Viele Grüsse

Heiko

g(x)=-(k/(2*x)-(U+L)/2) + SIGN(x) * sqrt((A*k)/x-U*L+(k/(2*x)-(U+L)/2)^2)

lim(x->0,g(x))=A ?

g^^(x)=cases(g(x),x!=0;A,x=0)

g^^(x) in 0 differenzierbar?

g(x)=-(k/2*x-(U+L)/2) +- sqrt(A*k/x-U*L+(k/2*x-(U+L)/2)^2)

lim(x->0,g(x))=A

f(x)=k/(2*x^2)+(k*(x*U+x*L-2*x*A-k))/(4*x^3*sqrt(A*k/x-U*L+(k/(2*x)-(U+L)/2)^2))

g^(-1)(x)=L+(U-L)*((arctan(x)+\pi/2)/\pi)^(1/b)

intervalloo(-\pi/2,\pi/2)

\-(\pi/2)

\pi/2

\
tan(\pi/2*(x-A)/B)

\
=(A-L)-((A-L)*(x-L))/(U-L)+((U-A)*(x-L))/(U-L)
=(A-L)-((x-L)*(A-L-U+A))/(U-L)
=(A-L)-((x-L)*(2A-L-U))/(U-L)

(A-L)*(1-(x-L)/(U-L))+(U-A)*(x-L)/(U-L)

=(A-L)-((A-L)*(x-L))/(U-L)+((U-A)*(x-L))/(U-L)
=(A-L)-((x-L)*(A-L+U-A))/(U-L)
=(A-L)-((x-L)*(U-L))/(U-L)
=(A-L)-(x-L)
=A-x