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Thema Eingetragen
Autor

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Wie viele Quadratmeter werden umfasst?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-16 21:34
mathletic
 

Achso! Vielen Dank!  smile  

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Wie viele Quadratmeter werden umfasst?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-16 21:15
mathletic
 

Hallo,

ich gucke folgende Aufgabe und stehe gerade auf dem Schlauch.

Ein quadratischer Spielplatz soll mit einem <math>5 \ m</math> breiten Rasenband, das eine Fläche von <math>440 \ m^2</math> bedeckt, eingefasst werden.
Wie viele <math>m^2</math> umfasst der Spielplatz zusammen mit der Rasenfläche?


Sei x eine Seite des Spielplatzes.
Die Fläche des Spielplatzes ist <math>x^2</math>.
Der Spielplatz zusammen mit der Rasenfläche umfasst <math>(x^2+440) \ m^2</math>.

Wie kann man das <math>x</math> finden?


Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Wie definiert man die neuen Variablen?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-11 11:28
mathletic
 

Hallo,

sei D der Bereich im ersten Quadrant von der xy-Ebene der von der Ungleichung <math>x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}} \leq \alpha^{\frac{3}{2}}</math> mit <math>\alpha>0</math> definiert ist. Ich will das Integral <math>\iint_D f(x,y) dx dy</math> zur ein Integral umwandeln auf ein Dreieck E von der uv-Ebene das durcj den Ungleichungen <math>0 \leq u \leq \alpha</math> und <math>0 \leq v \leq \alpha-u</math> definiert ist.


Wie definiert man die neuen Variablen?

Definiert man diese vielleicht folgenderweise?
<math>u=\left (x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}\right )^{\frac{2}{3}}</math>
dann haben wir <math>0\leq \left (x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}\right )^{\frac{2}{3}}\leq \left (a^{\frac{3}{2}}\right )^{\frac{2}{3}} \Rightarrow 0\leq u\leq a</math>.

Was ist dann mit v?

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Starke/doppelte Induktion  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-09 20:10
mathletic
J

Ok! Danke!!  smile

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Starke/doppelte Induktion  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-04 20:55
mathletic
J

2017-10-04 20:03 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Richtig ist das schon. Aber: Du lässt hier einfach Klammern weg und setzt neue. Das darfst du nur, wenn das Assoziativitätsgesetz gelt. Am einfachsten ist es, glaube ich, wenn du zunächst das Assoziativitätsgesetz beweist:

(a + b) + c = a + (b + c)

Das lässt sich sogar recht einfach mit Induktion nach c beweisen. (Du musst hier keine dreifache Induktion durchführen!)


Warum benutzt man hier eine einfache Induktion nach c und beim Kommutativgesetz haben wir Doppelinduktion angewendet?


2017-10-04 20:03 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Übrigens noch etwas zur Sprechweise: Was du Induktionsbehauptung (IB) nennst, kenne ich als Induktionsvoraussetzung (IV).

Ok! Danke für den Hinweis!  smile  

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Starke/doppelte Induktion  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-04 14:27
mathletic
J

2017-10-03 21:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:
Allerdings wendest du das Assoziativitätsgesetz an. Wenn du das schon kennst, ist es okay. Andererseits darfst du ausschließlich

m + (n + 1) = (m + n) + 1

verwenden. Dies ist natürlich ein Spezialfall des Assoziativitätsgesetz, mehr gibt die Definition von + aber erst mal nicht her.


Meinst du dass es folgenderweise sein sollte:


*[Induktionsanfang]*:
Für <math>n = 1</math> wollen wir zeigen dass <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+1=1+m</math>:

- Induktionsanfang: Für <math>m=1</math> beträgt die linke Seite <math>1+1=2</math> und ebenso die rechte Seite.  

-Induktionsbehauptung: Der Satz gelte für ein festes <math>m\in \mathbb{N}</math>, d.h. es sei m+1=1+m  (I.B.1)

- Induktionsschritt: Zur zeigen ist dass Satz dann auch für <math>m+1</math> gilt, also <math>(m+1)+1=1+(m+1)</math>.
Wir haben folgendes:
<math>(m+1)+1 \overset{\text{ (I.B.1) }}{ = } (1+m)+1=1+(m+1)</math>
Folglich stimmt die Aussage für <math>m + 1</math>.




*[Induktionsbehauptung]*:
Der Satz gelte für ein festes <math>n\in \mathbb{N}</math>, d.h. es sei <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+n=n+m</math>  (I.B.2)




*[Induktionsschritt]*:  
Zur zeigen ist dass Satz dann auch für n+1 gilt, also <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+(n+1)=(n+1)+m</math>.

 - Induktionsanfang: Für <math>m=1</math> beträgt die linke Seite <math>1+(n+1)=(1+n)+1\overset{\text{ (I.B.2) }}{ = }(n+1)+1=n+(1+1)=n+2</math> und die rechte Seite <math>(n+1)+1=n+(1+1)=n+2</math>.  

 - Induktionsbehauptung: Der Satz gelte für ein festes <math>m\in \mathbb{N}</math>, d.h. es sei <math>m+(n+1)=(n+1)+m</math>  (I.B.3)

 - Induktionsschritt: Zur zeigen ist dass Satz dann auch für <math>m+1</math> gilt, also <math>(m+1)+(n+1)=(n+1)+(m+1)</math>.
Wir haben folgendes:
<math>(m+1)+(n+1)=m+1+n+1  =m+(1+n)+1 \\  \overset{\text{ (I.B.2) }}{ = }m+(n+1)+1    \\ \overset{\text{ (I.B.3) }}{ = }(n+1)+m+1 \\  =(n+1)+(m+1)</math>  
Folglich stimmt die Aussage für <math>m + 1</math>.  



Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich es beim letzten Induktionsschritt richtig angewendet habe. Ist <math>(m+1)+(n+1)=m+1+n+1  =m+(1+n)+1</math> richtig? Oder wie kann man das in diesem Fall anwenden:-?

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Doppelintegral - Volumen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-04 00:51
mathletic
 

Hallo,

ich will den Festkörper zeichnen dessen Volumen gleich das Doppelintegral <math>\int_0^1\left (\int_0^1\left (5-x-y\right )dy\right ) dx</math>.

Dieses Doppelintegral ist gleich das Volumen der Oberfläche <math>z=5-x-y</math> unter der Region <math>[0,1]\times [0,1]</math>, oder nicht?

Also müssen wir die Oberfläche <math>z=5-x-y</math> unter der Region <math>[0,1]\times [0,1]</math> zeichnen, oder nicht?

Aber wie macht man das?

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Starke/doppelte Induktion  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-03 16:34
mathletic
J

Ich habe versucht mit Hilfe der doppelten Induktion folgenden Aussage zu beweisen:

Für <math>m,n\in \mathbb{N}</math> gilt <math>m+n=n+m</math>. (Die Addition ist kommutativ.)

Für jedes <math>n\in \mathbb{N}</math> sei <math>E_n</math> die Aussage: <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+n=n+m</math>.

*[Induktionsanfang]*:
Für n = 1 wollen wir zeigen dass <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+1=1+m</math>:

- Induktionsanfang: Für m=1 beträgt die linke Seite 1+1=2 und ebenso die rechte Seite.  

-Induktionsbehauptung: Der Satz gelte für ein festes <math>m\in \mathbb{N}</math>, d.h. es sei m+1=1+m  (I.B.1)

- Induktionsschritt: Zur zeigen ist dass Satz dann auch für m+1 gilt, also (m+1)+1=1+(m+1).
Wir haben folgendes:
<math>(m+1)+1 \overset{\text{ (I.B.1) }}{ = } (1+m)+1=1+m+1=1+(m+1)</math>
Folglich stimmt die Aussage für m + 1.




*[Induktionsbehauptung]*:
Der Satz gelte für ein festes <math>n\in \mathbb{N}</math>, d.h. es sei <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+n=n+m</math>  (I.B.2)




*[Induktionsschritt]*:  
Zur zeigen ist dass Satz dann auch für n+1 gilt, also <math>\forall m\in \mathbb{N}: m+(n+1)=(n+1)+m</math>.

 - Induktionsanfang: Für m=1 beträgt die linke Seite <math>1+(n+1)=(1+n)+1\overset{\text{ (I.B.2) }}{ = }(n+1)+1=n+1+1=n+2</math> und die rechte Seite (n+1)+1=n+1+1=n+2.  

 - Induktionsbehauptung: Der Satz gelte für ein festes <math>m\in \mathbb{N}</math>, d.h. es sei m+(n+1)=(n+1)+m  (I.B.3)

 - Induktionsschritt: Zur zeigen ist dass Satz dann auch für m+1 gilt, also (m+1)+(n+1)=(n+1)+(m+1).
Wir haben folgendes:
<math>(m+1)+(n+1)=m+1+n+1  =m+(1+n)+1 \\  \overset{\text{ (I.B.2) }}{ = }m+(n+1)+1   =m+n+1+1   =m+(n+1)+1 \\ \overset{\text{ (I.B.3) }}{ = }(n+1)+m+1 \\  =(n+1)+(m+1)</math>  
Folglich stimmt die Aussage für m + 1.




Ist es so richtig? Oder wendet man die doppelte Induktion anders an?  

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Starke/doppelte Induktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-02 23:49
mathletic
J

2017-10-02 23:41 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
2017-10-02 23:08 - mathletic im Themenstart schreibt:
starke vollständige Induktion ... doppelte vollständige Induktion

Hallo mathletic,

ich kenne beide Begriffe nicht. Klär doch mal auf1


Starke Induktion:
Wenn es nicht möglich, im Induktionsschritt aus der angenommen Korrektheit einer Aussage A(n) unmittelbar auch die Korrektheit der Aussage A(n + 1) zu folgern, braucht man manchmal zum Nachweis der Richtigkeit der Aussage A(n + 1), die stärkere Induktionsvoraussetzung,
dass A(k) für alle <math>k \in \mathbb{N}</math> mit <math>k \leq n</math> korrekt sei.



Doppelte Induktion:
E sei sinnvoll für Tupel (n,m) natürlicher Zahlen. Um nachzuweisen, dass E für alle (n,m) gilt, kann man wie folgt verfahren. Wir bezeichnen für jedes n mit <math>E_n</math> die Eigenschaft:
E gilt für (n,m), alle m.

Wir zeigen im ersten Schritt, dass <math>E_1</math> gilt, d.h. dass E für (1,1), für (1,2), für (1,3) usw. richtig ist. Dazu ist durch Induktion nach m zu beweisen, dass (1,m) für alle m gilt.

Wir zeigen in einem zweiten Schritt, dass <math>E_n</math> stets <math>E_{n+1}</math> impliziert: Wenn man schon weiß, dass bei festen n die Eigenschaft E für (n,m) gilt (für alle m), so soll man daraus die Gültigkeit von E für (n+1, m) (ebenfalls für alle m) schließen.

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Starke/doppelte Induktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-02 23:08
mathletic
J

Hallo,

könnt ihr mir ein paar Aussagen nennen bei denen man die starke vollständige Induktion braucht um diese zu beweisen und ein paar Aussagen bei denen man die doppelte vollständige Induktion braucht?

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Vorbereitung auf Mathestudium  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-02 23:06
mathletic
J

Vielen Dank!!  smile

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Vorbereitung auf Mathestudium  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-29 23:39
mathletic
J

2017-09-29 20:51 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
was ist denn die mathematische Vorbildung deiner Bekannten?

Die Grundkenntisse der Schulmathematik hat sie.
Zum Beispiel in Analysis:
- Funktionen
- Kurvendiskussion
- Ableitungen
- Integrale
In Vektorgeometrie:
- Vektoren
- Gerade
- Kreis
In Stochastik:
- Ereignisse
- bedingte Wahrscheinlichkeit

(das ist auch ungefähr der Stoff für die Prüfung)



2017-09-29 20:51 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Da sie ja Bücher über "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschafter" besitzt hat sie schon mal einen mathematischen Studiengang belegt?

Sie hat das Buch gekauft um sich für die Uni vorbereiten, also vorlernen. Sie hat noch keinen Studiengang belegt. Sie will nächstes Jahr Mathe studieren.



Also ist dieses Buch die beste Wahl um den Stoff für die Prüfung aufzufrischen und den Stoff den sie in der Uni nächstes Jahr haben wird schonmal anfangen zu lernen?

Oder gibt es etwas das man eher empfehlen könnte? Z.B. welche Themen man als erstes lernen sollte, oder andere/zusätzliche Aufgaben?

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Vorbereitung auf Mathestudium  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-29 11:53
mathletic
J

Hallo,

ich will einer Bekannten helfen sich auf die Passerelle Prüfung vorzubereiten und auch gleichzeitig für das bevorstehende Mathestudium (z.B. Folgen/Reihen, Matrizenrechnungen, u.s.w.). Sie hat mich nach einen Lernplan gefragt, also wie sie vorgehen soll.

Den Stoff für die Passerelle Prüfung kann sie einigermaßen schon. Sie hat das Buch Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler von Papula (Band 1, 2, 3). Ich habe mir das Buch von Papula ein bisschen durchgeblättert und habe gesehen dass der Stoff gründlich und verständlich erklärt wird.

Könnt ihr mir etwas vorschlagen, z.B. die Reihenfolge der Themen die sie lernen sollte und was für Aufgaben sie durchgehen sollte?

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Signum einer Permutation  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-28 11:35
mathletic
 

2017-09-28 11:17 - darkhelmet in Beitrag No. 1 schreibt:
Mache dein Argument explizit, indem du <math>\pi</math> als Komposition der Verschiebungen schreibst und die Verschiebungen explizit in Zykelschreibweise angibst. Benutze dann bekannte Informationen über das Signum.

Wie kann man die Verschiebungen in Zykelschreibweise schreiben?

Wir haben folgendes:
<math>(1 , 2, \ldots , k-1, k, k+1, k+2, \ldots , k+\ell)=-(1 , 2, \ldots , k-1, k+1, k, k+2, \ldots , k+\ell) \\ =(1 , 2, \ldots , k+1, k-1, k, k+2, \ldots , k+\ell) \\ =\ldots \\ = (-1)^k(k+1 , 1, 2, \ldots , k-1, k, k+2, \ldots , k+\ell)</math>
oder nicht?

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Signum einer Permutation  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-28 09:44
mathletic
 

Hallo,

wir haben die Permutation
<math>\displaystyle{\pi: (1, \ldots , k, k+1, \ldots , k+\ell) \mapsto (k+1, \ldots , k+\ell, 1, \ldots , k)}</math>.

Wir verschieben das Element (k+1) um k Positionen nach links, dann verschieben wir das Element (k+2) auch um k Positionen nach links, und so weiter.

Wir verschieben also jedes der Elemente <math>\{k+1, \ldots k+\ell\}</math> um k Positionen nach links.

Wenn wir um eine Positionen verschieben dann ist das Signum gleich -1. Wenn wir um k Positionen verschieben dann wird das Signum gleich <math>(-1)^k</math>. Wir verschieben insgesamt <math>\ell</math> Elemente. Das Signum wird also gleich <math>\left (\left (-1\right )^k\right )^{\ell}=(-1)^{k\ell}</math>.


Ist das richtig? Kann man das so sagen oder muss es beweisen? Wenn ja, wie?  

Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Dachprodukt - Beweis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-27 21:05
mathletic
 

Hallo,

ich versuche den folgenden Beweis zu verstehen:







Das Dachprodukt ist linear in jedem Argument. Es gilt dass <math>$\displaystyle{\phi_1\land \ldots \land \left (\lambda \phi_i'+\mu\phi_i''\right )\land \ldots \land \phi_k=\lambda \phi_1\land \ldots \land  \phi_i' \land \ldots \land \phi_k+\mu \phi_1\land \ldots \land \phi_i''\land \ldots \land \phi_k}</math>.
Mit vollständige Induktion zeigen wir dass <math>\displaystyle{\phi_1\land \ldots \land \left (\sum_{j=1}^n\lambda_j \phi_{i_j}\right )\land \ldots \land \phi_k=\sum_{j=1}^n\lambda_j  \phi_1\land \ldots \land  \phi_{i_j} \land \ldots \land \phi_k}</math> für jedes <math>n\geq 2</math>.

Ist die Grenze für n, also das <math>n\geq 2</math>, richtig?


Für den ersten Teil des Beweises haben wir:
<math>\displaystyle{\psi_2\land \ldots \land \psi_k=\left (\sum_{j_1=1}^ka_{1j_1}\phi_{j_1}\right )\land \ldots \land \left (\sum_{j_k=1}^ka_{kj_k}\phi_{j_k}\right )} \\  = \displaystyle{\sum_{j_1=1}^k\left (a_{1j_1}\right )\phi_{j_1}\land \ldots \land \left (\sum_{j_k=1}^ka_{kj_k}\phi_{j_k}\right )} \\  =  \displaystyle{\sum_{j_1, \ldots , j_k=1}^k\left (a_{1j_1}\ldots a_{kj_k}\right )\phi_{j_1}\land \ldots \land \phi_{j_k}}</math>

Richtig? Zeigt man diesen Teil mit vollständige Induktion?  


Ich habe den nächsten Teil nicht so richtig verstanden. Betrachten wir die Permutation <math>\pi: (1, \ldots , k)\mapsto (j_1, \ldots , j_k)</math> und bekommen dann <math>\displaystyle{\sum_{j_1, \ldots , j_k=1}^k\left (a_{1j_1}\ldots a_{kj_k}\right )\phi_{j_1}\land \ldots \land \phi_{j_k}=\sum_{\pi\in \text{Per}_k}^k\left (a_{1\pi(1)}\ldots a_{k\pi (k)}\right )\phi_{\pi (1)}\land \ldots \land \phi_{\pi (k)}}</math> ? Aber ist <math>j_i</math> die Laufvariable der Summe?

Wenn es so ist machen wir folgendes:
<math>\displaystyle{\sum_{\pi\in \text{Per}_k}^k\left (a_{1\pi(1)}\ldots a_{k\pi (k)}\right )\phi_{\pi (1)}\land \ldots \land \phi_{\pi (k)}=\sum_{\pi\in \text{Per}_k}^k\left (a_{1\pi(1)}\ldots a_{k\pi (k)}\right )\cdot \text{sign}(\pi)\phi_{1}\land \ldots \land \phi_{k}}</math> ?

Aber warum gilt dann
<math>\displaystyle{\sum_{\pi\in \text{Per}_k}^k\left (a_{1\pi(1)}\ldots a_{k\pi (k)}\right )\cdot \text{sign}(\pi)=\det (a_{ij})}</math> ?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Optimierungsproblem: grafische Darstellung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-23 08:54
mathletic
 

Was genau meinst du mit "Verbinde darin Punkte mit gleichem Nutzen und es entsteht ein Höhenprofil" ?
Wählen wir beliebige Punkte <math>(x_1, x_2)</math> und berechnen das entsprechende <math>U(x_1, x_2)</math> ?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Optimierungsproblem: grafische Darstellung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-23 04:06
mathletic
 

Hallo,

ich gucke folgende Aufgabe:

Gegeben sei die Nutzenfunktion <math>U(x_1,x_2)=4x_1^{0.4}x_2^{0.3}</math>.
Die Preise der Güter betragen 2 GE für eine Einheit von <math>x_1</math>
und 3 GE für eine Einheit von <math>x_2</math>.
a) Bestimmen Sie die Kombination von Gütern, die bei einem Einkommen von 35 GE
zum maximalen Nutzen führt (Lösung über LAGRANGE-Ansatz!!).
b) Bestimmen Sie <math>\frac{dx_2}{dx_1}</math> mithilfe der impliziten Ableitung!.
c) Stellen Sie dieses Optimierungsproblem grafisch dar und markieren Sie den optimalen Punkt.


Ich habe bereits a) und b) gemacht. Bei a) habe ich dass die optimale Kombination <math>(10; 5)</math> ist.

Ich weiss leider nicht bei c) wie ich das Optimierungsproblem grafisch darstellen kann. Könnt ihr mir ein Tipp geben?

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Grenzkosten, Betriebsminimum  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-12
mathletic
J

Ok! Danke!!  smile  

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathletic
Welcher ist der Betrag der Auszahlung?  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-12
mathletic
J

Ok! Vielen Dank!!  smile  
  

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