tan(x)*y'+y=1
dy/dx*tan(x)+y=0
tan(x)/dx+y/dy=0
dx/tan(x)+dy/y=0 Integrieren
ln abs(sinx) + C_1 + ln abs(y) + C_2 = 0  C zusammenfassen und in ln verpacken da wir sonst ja wieder e^C haben  
e^(ln abs(sinx)+ ln abs(y) +  ln abs(C)) = e^0
e^(ln abs(sinx))* e^(ln abs(y))*e^(ln(c))=1
y=1/(sin(x)*C

Laut Wolframalpha sollte aber 1/sin(x) * C raus kommen. Ich müsste also das C wieder  durch eine weitere Konstante C ersetzen.

Bei der Prüfung weiß ich ja die richtige Lösung nicht. Woher weiß ich dann, wann ich mein C wie ersetzen muss? Muss das C immer auf dem dem gemeinsamen Nenner sein?

LG

Hallo,

ich habe bis jetzt alle DGL erster Ordnung wie folgt glöst:
1.) y' durch dy/dx ersetzt.
2.) Trennung der Variablen
3.) Integrieren
4.) nach y umformen

Jedoch komme ich mit dieser vorgehensweise bei bestimmten Aufgaben ins trudeln. 
Konkret geht es um das C. Hier ein Beispiel:

y'+y/x=x^2+4

dy/dx+y/x=0 <=> dy/dx=-y/x
dy = -dx y/x <=> dy /y = -dx/x | Integrieren
ln(y)+C_1=-ln(x)+C_2 | C_1 und C_2 zu einer konstante zusammenfassen
Ist es hier jetzt egal auf welcher Seite ich das C zusammenfasse? Ich habe jedenfalls das nach belieben auf der x Seite zusammengefasst da ich ja sowieso nach y umformen muss
ln(y)=-ln(x)+C ln mit e weg bringen
y = e^(-lnx+C)
y=e^(-lnx)*e^C
y=e^C/x

Laut wolframalpha Step by Step sollte aber C/x herauskommen.
 
Da ich nun bei der Partikulären Lösung mit e^C(x) statt mit C(x) weiter rechne erhalte ich ein falsches Ergebnis.

Das gleiche Problem habe ich mit dem Beispiel tan(x)*y'+y=1.

Ich habe noch einen anderen Ansatz gefunden und zwar C*e^int(a(x),x,a,b)

Was ist an meiner Vorgehensweise falsch? Darf ich diese nur in bestimmten Fällen anwenden? Oder fasse ich das C_1 und C_2 falsch zusammen? 

Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.

LG

Ich habe nochmal von vorne mit der Aufgabe 6x $== 3 mod 9 begonnen.

a^-=a+m*Z={b\el\ Z | a $== b mod m}

Z_m={(0^-),(1^-),(2^-),(3^-),(4^-),(5^-),(6^-),(7^-),(8^-)}

Daraus folgt dass der Lösungsbereich von wie folgt Def. ist 0<=x<=8

g=ggt(6,9)=3; g teilt b. Also ist die Aufgabe lösbar. Laut wiki def. g die Anzahl der Lösungen also 3.


Ich habe einige Elemente der ersten paar Restklassen berechnet.

0^-={...,-18,-9,0,9,18,...}
1^-={...,-17,-8,1,10,19,...}
2^-={...,-16,-7,2,11,20,...}
3^-={...,-15,-6,3,12,21,...}

6x $== 3 mod 9 kann man auch wie folgt anschreiben
6x mod 9 $== 3 mod 9 |kürzen
2x mod 3 $== 1 mod 3

Da der Wertebereich von x={x\el\ N| 0<=x<=8} habe ich die ersten paar x wie folgt berechnet:

x_0=2*0 mod 3 = 0 ... ist Element der Restklasse 0^-
x_1=2*1 mod 3 = 2 ... ist Element der Restklasse 2^-
x_2=2*2 mod 3 = 1 ... ist Element der Restklasse 1^-
Da g = 3 ist und es somit nur 3 Lösungen gibt könnte ich jetzt hier auf hören zu rechnen oder? Man sieht auch dass sich die Ergebnisse wiederholen.
x_3=2*3 mod 3 = 0
x_4=2*4 mod 3 = 2
x_5=2*5 mod 3 = 1
x_(6-8)...

Jetzt sollte die Aufgabe korrekt gelöst sein oder?

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben. Lösen Sie die folgende Kongruenz (d.h. Gleichungen in Restklassen in Z) bzw. beweisen Sie die (Un)lösbarkeit.

a.) 6x$== 3 mod 9

Ich bin wie folgt vorgegangen.

Als erstes habe ich mit dem ggT geprüft ob die Gleichung in Z lösbar ist.

ggT(6,9)=3 und teilt somit b (b=3). Die Gleichung ist deshalb in Z lösbar.
(a/m und b/m haben den selben Rest)

Es gibt m Restklassen also Z_m={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}

Bei einer ähnlichen Aufgabe habe ich gesehen, dass jemand
ax $== b mod m in die Form 
ax= b + m*k umgeschrieben hat. wobei k e N \and\ {k=0,...,\inf }

Wie kommt man auf die Form ax= b + m*k?
Mir fällt dazu die Def. der Restklassen ein.

Und zwar a^-=a+m*Z.

Allerdings würde dann die Def. von k nicht übereinstimmen da diese nur die N Zahlen beinhaltet.

Wo liegt mein Denkfehler? Wo muss ich genauer nach hacken?

LG

a3 $== b3 mod m kann man wie folgt kürzen a $== b mod m
ebenfalls geht
a3 $== b3 mod m3 auf a $== b mod m 

Skalieren mit \lambda \el \IR

V_1 \el W

V_1 *\lambda 

(x_1;y_1;z_1) \el W d.h nur positive Zahlewerte dürfen für x_1, y_1, z_1 eingesetzt werden.

Das stimmt aber so nicht!

Den laut def.:

W = { (x,y,z) \el V | x + y + z \le 0  }

Darf für x+y+z \el W in Summe \le 0 raus kommen!

Ich setze also für x = 0; y = -1 z = -1 ein.

\lambda \el \IR das bedeudet, ich kann für \lambda = -1 einsetzen.

V_1 * \lambda = (0;-1;-1) *-1 = (0;1;1)

Dann ist aber für V (x+y+z) \le 0 nicht mehr gegeben. Das heißt W ist nicht Teilraum von \IR^3

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V = \IR^3 über \IR ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch: 

W = { (x,y,z) \el V | x + y + z \le 0  }

Ich hab das so gemacht:

V = \IR^3

Vektorraum = (\IR^3,+,\IR)

Hier nochmal kurz die Definition eines Teilraums:
Sei (\IR^3,+,\IR) ein Vektorraum und W eine nichtleere Teilmengevon \IR^3. Bildet (W,+,\IR)  wieder einen Vektorraum, dann heißt W Unterraum oder Teilraum von \IR^3.

-> W \le V

Um zu überprüfen ob \IR^3 und  W einen Unterraum bilden, muss man untersuchen ob je zwei Vektoren x,y,z \el W und \lambda \el \IR auch x + y +z und \lambda * x in W liegen.

Teilmenge W != 0

V_1 = x_1 + y_1 + z_1 \le 0  V_1 ... Vektor 1 x_1, y_1, z_1 \el W
V_2 = x_2 + y_2 + z_2 \le 0  V_1 ... Vektor 2 x_1, y_1, z_1 \el W
V_ges = V_1 + V_2 = x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + z_1 + z_2 \le 0

Skalieren mit \lambda \el \IR

V_1 \el W

V_1 *\lambda 

(x_1;y_1;z_1) \el W d.h nur positive Zahlewerte dürfen für x_1, y_1, z_1 eingesetzt werden.

Für \lambda darf ich aber negative Zahlenwerte einsetzen

Somit kann V_1 *\lambda negativ werden. Laut definition darf, das nicht passieren.

-->W kein Vektorraum


Heißt das dass W ein Vektorraum ist? Kann mir jemand sagen ob das so richtig ist?

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V = \IR^3 über \IR ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch: 

W = { (x,y,z) \el V | x + y + z \le 0  }

Ich hab das so gemacht:

V = \IR^3

Vektorraum = (\IR^3,+,\IR)

Hier nochmal kurz die Definition eines Teilraums:
Sei (\IR^3,+,\IR) ein Vektorraum und W eine nichtleere Teilmengevon \IR^3. Bildet (W,+,\IR)  wieder einen Vektorraum, dann heißt W Unterraum oder Teilraum von \IR^3.

-> W \le V

Um zu überprüfen ob \IR^3 un  W einen Unterraum bilden, muss man untersuchen ob je zwei Vektoren x,y,z \el W und \lambda \el \IR auch x + y +z und \lambda * x in W liegen.

x_1 + x_2 + z_3 \le 0

y_1 + y_2 + y_3 \le 0

z_1 + z_2 + z_3 \le 0

(x_1 +y_1 + z_1) + (x_2 +y_2+z_2) + (x_3 +y_3+z_3)  \le 0

Daher ist x + y + z in W.


Heißt das dass W ein Vektorraum ist? Kann mir jemand sagen ob das so richtig ist?

\sigma = 2g Öl.)

\Phi in der Tabelle nachschlage erhalte ich den Wert für Z=2,58g.

Wenn ich dann die Formel:

Z=(x-\mue)/\sigma auf

\mue umforme und die Werte einsetze:

\mue=x-z*\sigma=740-2,58*2g=736,84

\
c=124,81/sin(115,6)*sin(50,19)=106,312

sqrt(106,311^2+124,08^2-2*106,311*124,08*cos(14,21))

Entspricht \epsilon = \eta ?

gegeben ist:
\alpha=39Grad + 48'+20''=39+48/60+20/3600=39,81
\beta=25Grad + 36'10''=25+36/60+10/3600=25,60
\gamma=35Grad18'+40''=35+18/60+40/3600=35,31
--neu
\epsilon=\alpha-\beta=39,81-25,60=14,21
\lambda=180-90-\beta=180-90-25,60=64,4

\delta=180-90\alpha=50,19
\chi=90+\gamma=125,31
\eta=180-\delta-\chi=180-50,19-125,31=4,5

12/sin(\eta)=b/sin(\chi)
b=12/sin(\eta)*sin(\chi)=12/sin(4,5)*sin(125,31)=124,81


\phi2=180-\lambda=180-64,4=115,6
--neu
\phi=180-\epsilon-\phi2=180-4,21-115,6=50,19
//neu
c/sin(\phi)=b/sin(\phi2)
c=b/sin(\phi2)*sin(\phi)
c=124,81/sin(115,6)*sin(50,19)=124,08
--neu
a=sqrt(b^2+c^2-2*b*c*cos(\epsilon))=
sqrt(124,81^2+124,08^2-2*124,08*124,81*cos(14,21))=30,875

Aus zwei Öffnungen eines Turmes, die 12m entfernt vertikal 
übereinander liegen, visiert man von der oberen Öffnung A gegen 
den Fußpunkt des in derselben Blickrichtung und gleichen 
Horizontalebene sthendn Baumes und findet die Tiefenwinkel 
\alpha=39Grad 48'20'' und \beta=25Grad 36' 10''. Von der 
unteren Öffnung B nach dem Fußpunkt des Baumes ergibt sich der 
Tiefenwinkel \gamma=35Grad 18' 40''. Wie hoch ist der Baum?

gegeben ist:
\alpha=39Grad + 48'+20''=39+48/60+20/3600=39,81
\beta=25Grad + 36'10''=25+36/60+10/3600=25,60
\gamma=35Grad18'+40''=35+18/60+40/3600=35,31

\epsilon=\alpha-\beta=39,81-25,60=4,21
\lambda=180-90-\beta=180-90-25,60=64,4

\delta=180-90\alpha=50,19
\chi=90+\gamma=125,31
\eta=180-\delta-\chi=180-50,19-125,31=4,5

12/sin(\eta)=b/sin(\chi)
b=12/sin(\eta)*sin(\chi)=12/sin(4,5)*sin(125,31)=124,81


\phi2=180-\lambda=180-64,4=115,6
\phi=180-\epsilon-\phi2=180-4,21-115,6=60,19

c/sin(\phi)=b/sin(\phi2)
c=b/sin(\phi2)*sin(\phi)
c=124,81/sin(115,6)*sin(60,19)=120,08

a=sqrt(b^2+c^2-2*b*c*cos(\epsilon))=
sqrt(124,81^2+120,08^2-2*120,08*124,81*cos(4,21))=10,1614