länge des grapenabschnitts in [a,b] von f(x) ist
l_(a,b)(f(x))=sum(sqrt(((2i-1)/(\alpha))^2+(f(a+(i-1)/(\alpha))-f(a+i/\alpha))^2),i=1,\alpha) mit \alpha -> \inf

Aufgabe:
Gibt es für n\el\ \IN eine bijektive Abbildung \IN->\IN\cross\ {1,...,n}?

Antwort von mir:
Ja, die Abbildung f: \IN->\IN\cross\ {1,...,n} ist definiert durch f:x|->(a,b) mit a\el\ \IN und b\el\ {1,...,n} mit a=x div n \and\ b=x mod n

Sei A eine Menge mit n Elementen, dann hat A genau 2^n Teilmengen.
Die Menge der Teilmengen lässt sich ja auch darstellen durch sum((n;i),i=0,n)
Also muss gelten 2^n=sum((n;i),i=0,n).
Nun dachte ich mir dass das wohl mit Induktion beweisbar wäre:
Für n=0: 2^0=sum((0;i),i=0,0)<=>1=1 \checked
Schluss von n auf n+1:
2^(n+1)=2*sum((n;i),i=0,n)=>2*sum((n;i),i=0,n)=sum((n+1;j),j=0,n+1)<=>sum((2n!)/((n-i)!i!),i=0,n)=
sum(((n+1)!)/((n+1-j)!j!),j=0,n+1)<=>sum((2n!)/((n-i)!i!),i=0,n)=sum(((n+1)!)/((n+1-j)!j!),j=0,n)+1 <=>
(2n!)/((n-i)!i!)=((n+1)!)/((n+1-i)!i!)+1 <=>(2n!)/((n-i)!i!)=((n+1)!+(n+1-i)!i!)/((n+1-i)!i!)<=>
2n!(n+1-i)!i! =((n+1)!+(n+1-i)!i!)(n-i)!i!

Das erscheint mir doch arg falsch.

Habe ich nun einen Fehler beim Umformen gemacht oder ist die ganze Methode bzw. der Ansatz für diese Aufageb mist?