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Mathematik » Differentialgleichungen » README.FIRST
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Universität/Hochschule README.FIRST
Eckard
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Mitteilungen: 6815
Aus: Magdeburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2003-08-07


Dieses README dient der Orientierung im Forum "Differentialgleichungen" (hier überall abgekürzt mit DGLen) und soll insbesondere Newcomern eine Übersicht der grundlegenden Begriffe geben und auf lesenswerte Topics aufmerksam machen.

Vorab sei auf den Artikel "DIFFERENTIALGLEICHUNGEN" von pendragon302 verwiesen, der einen hervorragenden Überblick über die gängigsten Lösungsmethoden bietet.

Bekanntlich werden Gleichungen als Differentialgleichungen bezeichnet, wenn die gesuchte Funktion y(x) in der Gleichung in ihren Ableitungen y'(x), y''(x), usw. auftritt. Man könnte geneigt sein, die Gleichung y'(x) = 0 als einfachste DGL überhaupt zu bezeichnen. Um den Gegenstand dieses Forums jedoch exakt zu definieren, sagt man Folgendes:

Eine DGL ist eine Gleichung zwischen gesuchten Funktionen einer oder mehrerer Veränderlicher, diesen unabhängigen Veränderlichen und den Ableitungen der gesuchten Funktionen nach den unabhängigen Veränderlichen.

Hängen die gesuchten Funktionen nur von einer unabhängigen Veränderlichen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen DGL (ordinary differential equation); hängen die gesuchten Funktionen von mehr als einer unabhängigen Veränderlichen ab, heißt die DGL partielle DGL (partial differential equation). Aus diesem Grunde ist dieses Forum auf oberster Ebene in die Unterforen Gewöhnliche DGLen und Partielle DGLen unterteilt.

Man sagt, die DGL hat die Ordnung r, falls die in der Gleichung vorkommende höchste Ableitung von der Ordnung r ist. Ist die gewöhnliche DGL in y, y', ..., y(r) linear, so nennt man die DGL eine lineare DGL. Unter einer expliziten DGL r-ter Ordnung versteht man eine DGL, die nach der Ableitung der höchsten Ordnung aufgelöst ist; anderenfalls heißt sie implizite DGL.

Unter der Integration einer DGL versteht man die Suche einer Funktion y(x), die in einem bestimmten Intervall die DGL erfüllt. Die Funktion y(x) nennt man dann Lösung der DGL. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen DGL der Ordnung r hat die Gestalt y=y(x; C1, ..., Cr), wobei C1, ..., Cr beliebige Konstanten sind. Bei jeder Wahl der Konstanten ergeben sich spezielle Lösungen der DGL.

Das Anfangswertproblem (Cauchy-Problem) fordert die Suche einer speziellen Lösung, die den r Anfangsbedingungen y(x0)=y0, y'(x0)=y0(1), ..., y(r-1)(x0)=y0(r-1) genügt. Dagegen fordert das Randwertproblem die Suche einer speziellen Lösung, die r Randbedingungen in den Randpunkten x=a bzw. x=b des Intervalls a<=x<=b erfüllt.

Das Unterforum Gewöhnliche DGLen ist wie folgt untergliedert:
  • DGLen 1. OrdnungAlle DGLen 1. Ordnung - unabhängig davon, ob sie linear oder nichtlinear sind - werden hier besprochen. Grundlegende Methoden zur Lösung wie z.B. die Trennung der Veränderlichen, exakte DGLen oder der integrierende Faktor sind hier zu finden. Auch spezielle nichtlineare DGLen wie die Ricattische oder Bernoullische DGL tauchen hier auf. Zu linearen DGLen, insbesondere solche mit konstanten Koeffizienten, findet man allerdings mehr im Unterforum Lineare DGLen 2. Ordnung. Es folgen einige Hinweise auf lesenswerte Beiträge:
    •  Zur Klassifikation von DGLen hat Siah etwas geschrieben.
    •  Wer sich in die Trennung von Veränderlichen einlesen möchte, liest diesen Beitrag von Fabi oder diesen.
    • Rodion hat hier etwas über die Variation der Konstanten bei linearen, inhomogenen DGLen mit nichtkonstanten Koeffizienten geschrieben.
    • Welche Substitutionen manchmal sehr hilfreich sind, erfahrt ihr hier von Tobi oder hier von Sithius.
    • Über die Ricattische DGL ist hier oder auch hier von Spock etwas zu lesen.
    • Die Bernoullische DGL findet sich hier, hier (von pendragon302) oder hier.
    • Exakte DGLen hat sich Spock gewidmet, und zwar hier.
    • Schließlich erfahrt ihr etwas über den integrierenden Faktor an dieser Stelle.


Sorry, falls hier noch nicht alles in Ordnung ist. Demnächst geht's weiter. Danke!

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 2003-11-17 15:59 ]
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 21.08.2005 18:04:12 ]



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