Die Mathe-Redaktion - 17.01.2018 18:54 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktZur Award-Abstimmung
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 852 Gäste und 33 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Tschebyscheff-Ungleichung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Tschebyscheff-Ungleichung
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-25




Kann mir jemand weiterhelfen?
Für a hab ich den Erwartungswert 1/6n und die Varianz 5/36n, aber bei der Tschebyscheff-Ungleichung komm ich garnicht weiter, egal wie ich einsetze..
Danke im Voraus!



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-25


Huhu kathalina,

eine unmittelbare Umformulierung der Tschebycheff-Unglchung besagt <math>\mathbb{P}(|Z-EZ| < \epsilon) \geq 1 - \frac{\mathrm{Var}(Z)}{\epsilon^2} </math> für eine Zufallsvariable <math>Z</math>.

Varianz <math>\mathrm{Var}(X_n)</math> und Erwartungswert <math>EX_n</math> der Zufallsvariablen <math>X_n</math> hast Du ja bereits (richtig) bestimmt. Für die Zufallsvariablen <math>Y_n=\frac{X_n}{n}</math> solltest Du die entsprechenden Werte ebenfalls leicht ermitteln können.

Betrachte dann die umformulierte Tschebycheff-Ungleichung (s.o.) für diese <math>Y_n</math>. Es ergibt sich eine Ungleichung, die Du leicht nach <math>n</math> umformen kannst.

lg, AK.



Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-25


Ich versteh das mit der neuen Zufallsvariable nicht.
Ist es nicht das selbe, wenn ich die WSL von (X-1/6n) und die WSL von (X/n-1/6) berechne?
Warum benötige ich die neue ZV?

Durch umformen komm ich am Ende auf n = 0,00036 aber das macht ja bei WÜrfen keinen Sinn oder steh ich gerade auf dem Schlauch?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-25


Huhu kathalina,

ohne zu sehen, was Du rechnest können wir Dir nicht helfen...

Und natürlich musst Du ggf. auf eine ggf. auf eine ganze Zahl aufrunden, aber <math>n_0=1</math> ist sicher nicht die korrekte Lösung.

lg, AK.



Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13 19:57


Wie kann ich denn den Erwartungswert und die Varianz der neuen Zufallsvariable bestimmen?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-14 11:24

\(\begingroup\)
Huhu Kathalina,

Du hast das doch bereits getan (siehe Post #2), Du solltest das eben nur ordentlich aufschreiben.

Der E'wert $\mathbb{E}(\frac{X_n}{n})$ beträgt $1/6$, die Varianz entsprechend $\mathbb{V}(\frac{X_n}{n}) = \frac{5}{36n}$.

lg, AK.
\(\endgroup\)


Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 17:26


die Varianz von Yn müsste doch dann auch 5/36 sein (statt 5/36n) oder nicht?

also geh ich in der Annahne richtig, dass ich den erwartungswert und die varianz für yn einfach durch E(x) /n berechnen kann?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 17:48


Angenommen die Varianz wäre 5/36n (warum das n nicht wegfällt versthe ich nicht)

dann steht auf der rechten Seite
1- (VarX/0,01^2) und das soll gleich 0,5 sein
Wenn ich das nach der Varianz auflöse , komme ich auf
1- (VarX/0,01^2) = 0,5
0,5 = VarX *100
VarX = 5/1000

5/36n= 5/1000
n= 36/1000 ??

Ich versteh nicht wo mein Denkfehler ist



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-14 18:00

\(\begingroup\)
Huhu kathalina,

ist $S$ eine Zufallsvariable, welche die Anzahl der Sechsen bei einmaligen Würfelwurf zählt, so beträgt deren Erwartungswert $\mathbb{E}S=\frac{1}{6}$ und ihre Varianz $\mathbb{V}S=\frac{5}{36}$

Damit ergibt sich dann $\mathbb{E}X_n=\frac{n}{6}$ und $\mathbb{V}X_n=\frac{5}{36}n$ (wie in Post #2), sowie weiter $\mathbb{E}\frac{X_n}{n}=\frac{n}{6}$ sowie $\mathbb{V}\frac{X_n}{n}=\frac{5}{36n}$ (und nicht wie in Post #6), denn es gilt für unabhängige Zufallsvariablen $A$ und $B$ und $c\in \mathbb{R}$ ja:
$\mathbb{E}(A+B) = \mathbb{E}A+\mathbb{E}B$, $\mathbb{V}(A+B)=\mathbb{V}A+\mathbb{V}B$ sowie $\mathbb{E}(cA)=c\mathbb{E}A$ und $\mathbb{V}(cA)=c^2\mathbb{V}A$.

lg, AK.

EDIT: War doch alles in Ordnung und ich habe es wieder (re-)korrigiert.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 18:05


Jetzt versteh ich garnichts mehr.
Kannst du mir sagen wie du auf die Werte kommst?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-14 18:10

\(\begingroup\)
Und nun zur Tschebycheff-Ungleichung:

Damit die rechte Seite von $\mathbb{P}(|\frac{X_n}{n}-\frac{1}{6}| < \epsilon) \geq 1 - \frac{\mathbb{V}(\frac{X_n}{n})}{\epsilon^2}$ mindestens $0.5$ ist, muss mit $\epsilon=0.01$ also gelten:

$1 - \frac{50 000}{36\cdot n } \geq 0.5$ bzw. $n \geq \frac{100000}{36}$ und somit $n\geq 2778$.

lg, AK.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
\(\endgroup\)


Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-14 18:18


2018-01-14 18:05 - kathalina in Beitrag No. 9 schreibt:
Jetzt versteh ich garnichts mehr.
Kannst du mir sagen wie du auf die Werte kommst?

Ich war wohl verwirrt und es war doch alles in Ordnung.  Beitrag #8 ist entsprechend korrigiert.



Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 18:47


Ihre Werte ergeben für mich keinen Sinn

also der Erwartungswert und Varianz von X ist mir klar
Dann ist der Erwartungswert von Xn das n-fache davon
aber warum ist Varianz nicht das n fache ? Also warum hab ich im nenner plötzlich 6 statt 36?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-14 19:06

\(\begingroup\)
Huhu kathalina,

im Nenner der Varianz steht eine 36, das ist korrekt. Da ist mir beim hin und her editieren ein Versehen passiert. Post #8 ist also noch einmal upgedatet worden.

Wie kommt man nun auf die Varianz?

Ausgangspunkt ist (mit den Bezeichnungen von Beitrag #8):
$\mathbb{V} S = \frac{5}{36}$
und somit (wegen $\mathbb{V}(A+B)=\mathbb{V}A+\mathbb{V}B$)
$\mathbb{V} X_n = \frac{5n}{36}$
und mit $\mathbb{V}(cA)=c^2\mathbb{V}A$ folgt
$\mathbb{V} \frac{X_n}{n} = \frac{5}{36n}$.

Deine Frage scheint auf die Beziehung $\mathbb{V}(cA)=c^2\mathbb{V}A$ für $c\in\mathbb{R}$ und eine Zufallsvariable $A$ abzuzielen. Dies gilt schlicht aufgrund der Definition der Varianz und der Linearität des Erwartungswertes:

$\mathbb{V}(cA) = \mathbb{E}(cA-\mathbb{E}(cA))^2 = \mathbb{E}(cA)^2-(\mathbb{E}(cA))^2 = c^2\mathbb{E}A^2-c^2(\mathbb{E}A)^2=c^2(\mathbb{E}A^2-(\mathbb{E}A)^2) = c^2 \mathbb{V}(A)$.

lg, AK.
\(\endgroup\)


Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 19:13


VIelen dank ! aber müssten es am Ende nicht 50000/18 sein?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-01-14 19:18

\(\begingroup\)
$\frac{100000}{36}=\frac{50000}{18}$, diesmal kommen wir beide zum gleichen Ergebnis :)
\(\endgroup\)


Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 19:22


zum Glück.

Könntest du mir jetzt noch den Ansatz für den Teil mit dem Grenzwertsatz sagen?



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2703
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-01-14 19:56

\(\begingroup\)
Huhu kathalina,

der zentrale Grenzwertsatz besagt ja in seiner einfachsten Form:

Ist $X_n$ eine Folge unabhängiger und ideentisch verteilter Zufallsvariablen mit $\mathbb{V}(X)<\infty$, so konvergiert $\frac{\sum_{j=1}^{n}X_j-\mathbb{E}(X_1)}{\sqrt{n \mathbb{V}(X_1)}}$ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung für $n\to\infty$.

Das heisst, man kann Folgen von standarisierten Summen (im Grenzwert) durch die Normalverteilung approximieren.

Wie wendet man das nun konkret an? Will kann eine Wahrscheinlichkeit $\mathbb{P}(\sum_{j=1}^n X_j < a)$ abschätzen, so standardisiert man den Ausdruck zunächst und wendet dann des Grenzwertsatz an, in dem man abschätzt:
$\mathbb{P}(\sum_{j=1}^n X_j < a) = \mathbb{P}(\frac{\sum_{j=1}^n(X_j-\mathbb{E}X_1)}{\sqrt{n \mathbb{V}(X_1)}} < \frac{a-n \mathbb{E}X_1}{\sqrt{n \mathbb{V}(X_1)}}) \approx \mathbb{P}(\chi < \frac{a-n \mathbb{E}X_1}{\sqrt{n \mathbb{V}(X_1)}})$, wobei $\chi$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable meint.

Versuche dieses Vorgehen hier anzuwenden. Beachte hierbei, dass Deine $X_n$ bereits Summen sind. Überprüfe auch, ob Teile der für die Standarisierung notendigen Ausdrücke bereits anzutreffen sind...

lg, AK.
\(\endgroup\)


Wahlurne Für AnnaKath bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.09.2014
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14 20:00


Die zentrierte, normalisierte Variable ist
Xn* := X- E(Xn)/(Var(xn))^(1/2)
= X- (1/6n)/(5/36n)^(1/2)

Die relative Häufigkeit ist
Sn:= 1/N (Xn)   also Xn=NSn

Gesucht ist also ein N mit

0,5 < P ( Sn < 0,01)  =P ( Xn < 0,01N)
= P ( 0,01N - (1/6n)/((5/36n)^(1/2)) < Xn*)



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]



Wahlurne Für kathalina bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kathalina hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]