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Analysis » Folgen und Reihen » Wert einer Reihe bestimmen
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Universität/Hochschule Wert einer Reihe bestimmen
DoktorDivergenz
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.12.2017
Mitteilungen: 2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-06 15:03

\(\begingroup\)
Hallo liebes Forum,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe \[\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)(n+2)} }\]
Nach einigen Schritten komme ich auf: \[\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+4}\]
ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich weiter verfahren soll, da ich die Reihe in keine geeignete Form bringen kann, um den Satz für geometrische Reihen anwenden zu können. verwirrt

Durch den "Teleskoptrick" weiß ich einfach nicht, wie der Wert dieser Reihe sich berechnen lässt.

Für Hinweise bin ich dankbar.

LG
\(\endgroup\)


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majoka
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.02.2014
Mitteilungen: 717
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-06 16:03

\(\begingroup\)
Hallo und willkommen.

Deine PBZ sollte im wesentlichen stimmen. Allerdings passt der Summationsindex nicht.

Berechne von \[\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2k+4}\] jeweils die Summe für mehrere $n$

Es sollte Dir dann auffallen, dass für steigende $n$ im wesentlichen nur noch $\frac14$ übrigbleibt.

Gruß
majoka
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 852
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-06 16:04


Hallo DoktorDivergenz,
schreibe dir ein Paar Reihenglieder auf, sagen wir mal 5. Dann sollte dir etwas auffallen. Der 'Teleskoptrick' funktioniert hier so, dass sich jeweils ein Term aus dem (n)-Summanden mit einem Term aus dem (n+2)-Summanden addiert wird und die Summe sich genau gegen einen Term aus dem (n+1)-Summanden weghebt. Am Ende bleiben also nur Teile aus dem ersten und dem zweiten Summanden übrig.

lg Wladimir

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 777
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-06 16:13

\(\begingroup\)
Huhu DoktorDivergenz,

herzlich willkommen hier auf dem Planeten! Toll, dass du gleich deinen ersten Beitrag mit \(\LaTeX\) schreibst. Allgemein gilt:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)...(n+N)} }=\frac{1}{N\cdot N!}\)

Willst du das benutzen, müsstest du es aber noch beweisen. Einen Beweis findest du z.B. dort:

LinkGrenzwert einer Reihe bestimmen

Für deinen Ansatz schreibe:

\(\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1/2}{n}+\frac{-1}{n+1}+\frac{1/2}{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\)

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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DoktorDivergenz
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.12.2017
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-07 10:20

\(\begingroup\)
Hallo ihr Lieben. Danke für die vielen und schnellen Antworten.

Ich habe genau das gemacht. Ein paar Folgeglieder eingegeben und geguckt, was passiert. Mein Problem ist einfach, dass ich nicht genau weiß, wie ich den genauen Wert der Reihe jetzt zeigen kann, ohne schwammige Aussagen anzugeben. Zuvor habe ich nur mit geometrischen Reihen gearbeitet. Das war jetzt kein großes Problem.

Für deinen Ansatz schreibe:

\(\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1/2}{n}+\frac{-1}{n+1}+\frac{1/2}{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\)

Hier verstehe ich zum Beispiel auch nicht, wieso man die 1/2 so raus zieht und vorne hinschreiben kann.

Ich scheine etwas auf dem Schlauch zu stehen  confused
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3187
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-07 11:12

\(\begingroup\)
Du kannst mit dem Teleskop-Trick explizit eine Formel für die $m$-te Partialsumme angeben (die sich dann auch mit vollständiger Induktion z.B. belegen lässt). Aus der Formel wird dann der Grenzwert für $m \to \infty$ berechnet.
\(\endgroup\)


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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 401
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-12-07 11:53


Die Umformung ganz ausführlich:

fed-Code einblenden

Grüße Squire



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 777
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-12-07 15:52

\(\begingroup\)
Tatsächlich - so viele Umformungen habe ich mir im Kopf überlegt.  eek

Ich habe aber eigentlich wie folgt gerechnet:

\(\displaystyle \frac{1/2}{n}+\frac{-1}{n+1}+\frac{1/2}{n+2}=\frac{1/2}{n}+\frac{-1/2-1/2}{n+1}+\frac{1/2}{n+2}=\frac{1/2}{n}+\frac{-1/2}{n+1}+\frac{-1/2}{n+1}+\frac{1/2}{n+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\)

 razz

Kommst du damit nun weiter?

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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