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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Äquivalenzrelation auf einem direkten System top. Räume
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Autor
Universität/Hochschule J Äquivalenzrelation auf einem direkten System top. Räume
Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 93
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-15


Hallo,

ich habe eine Frage zur Definition der Äquivalenzrelation auf direkten Systemen top. Räume.

Sei jetzt A ein direktes System mit der Familie (Xi,fji) und den üblichen Eigenschaften eines direkten Systems. Dann ist die Äquivalenzrelation in unserer Vl so definiert:
Wir betrachten folgende Äquivalenzrelation auf der direkten Summe der Xi:
(xi,i)∼(fji(xi),j).
Wenn ich das richtig verstehe, verknüpfe ich doch aus jedem Xi die Punkte, die durch die fij verbunden sind.
Müsste das dann nicht auch schon heißen, dass wenn zwei Punkte aus einer Menge Xi in derselben Äquivalenzklasse sind, dass sie dann schon gleich sind, weil sonst ein Punkt aus einer Menge mit einem kleineren Index auf die beiden Punkte abbilden würde?



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3596
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-15


Zwei Punkte in derselben Äquivalenzklasse müssen nicht gleich sein. Warum sollte das so sein? Aber in dem Quotientenraum "werden" sie gleich.



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45484
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-15


Hi Aegon,
nein. Wenn die Äquivalenzrelation die Gleichheit wäre, dann hätte es keinen Sinn, sie zu betrachten. Habe ich dich vielleicht falsch verstanden?
Es wäre nützlich zu wissen, ob die fji von Xi nach Xj abbilden oder in anderer Richtung. Vermutlich steckt das in der Definition eines direkten Systems (im Gegensatz zu einem invers gerichteten System) drin.
Du hast dieselbe Frage auch in einem anderen Forum gestellt.
Anstelle des Begriffes "direktes System" ist die Benutzung von "direktem Limes" oder "Kolimit" empfehlenswert, damit kann man nämlich meine oben gestellte Frage beantworten, siehe hier.
Verwirrung entsteht hier durch die Verwendung der Bezeichnung fjianstelle von fij, es ist nicht klar, wie man damit umgehen soll.
Gruß Buri



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Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 93
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Hallo,

bei uns in der VL wird $f_{ji}$ verwendet, deshalb habe ich es übernommen.

Ich habe mich wohl sehr unklar ausgedrückt:

Meine Frage war folgende:
Seien $x,y$ zwei Punkte in $X_i$ und sei $f_{ji}:X_i \rightarrow X_j, f_{ji}(x)= f_{ji}(y)$, also werden $x,y$ auf denselben Punkt in $X_j$ abgebildet. Dann sind ja auch $x,y$ in derselben Klasse, da es ja eine Äquivalenzrelation ist.
Dann müsste es aber laut Definition der Äquivalenzrelation auch eine Funktion geben, die o.B.d.A. $x$ auf $y$ abbildet.
Die einzige Funktion die wir aber auf $X_i \rightarrow X_i$ haben ist die Identität. Müssten dann nicht $x,y$ schon gleich sein (in meiner ersten Beschreibung war das die Frage, ob zwei Punkte im selben Raum nicht gleich sein müssten, wenn sie in derselben Klasse sind).
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3596
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
2017-12-18 09:54 - Aegon in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann müsste es aber laut Definition der Äquivalenzrelation auch eine Funktion geben, die o.B.d.A. $x$ auf $y$ abbildet.

Nein. Die Definition ist so zu verstehen, dass es sich um die von der genannten Relation (die noch keine Äquivalenzrelation ist, weil sie weder symmetrisch noch transitiv ist) erzeugten Äquivalenzrelation handelt. Konkret sieht diese dann so aus: Zwei Elemente in der disjunkten Vereinigung, etwa a in Xi und b in Xj, sind genau dann äquivalent, wenn es ein k gibt, das größergleich i und j ist, sodass a und b dasselbe Bild in Xk besitzen.
\(\endgroup\)


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Aegon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 93
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18


Hallo,

alles klar, ja das war natürlich nicht so genial von mir.... danke!



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Aegon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Aegon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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