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Strukturen und Algebra » Gruppen » Wie viele endlich erzeugte Gruppen gibt es?
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Universität/Hochschule Wie viele endlich erzeugte Gruppen gibt es?
BenTallech
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2016
Mitteilungen: 13
Aus: München, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-10 08:47


Hallo Zusammen,

ich frage mich, wie viele endlich erzeugte Gruppen es gibt.

Die Tatsache, dass jedes Erzeugendensystem einer endlich erzeugten Gruppe endlich ist, verführt zum Gedanken, es seien abzählbar viele. Andererseits kann man doch eine endlich erzeugte Gruppe für jede reelle Zahl konstruieren, indem man diese einfach als Erzeuger nimmt.

Als nächstes frage ich mich, wie viele endlich erzeugte freie Gruppen es gibt. Hier dürfen keine Relationen zwischen den Erzeugern bestehen; inuitiv sind es also weniger als es endlich erzeugte Gruppen gibt.

Als letztes noch die Frage, wie viele endlich erzeugte Gruppen es gibt, die eine freie Untergruppe endlichen Indexes enthalten.

Danke für Eure Hilfe!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3240
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-14 12:30


Es gibt jeweils "Klassen-viele" solcher Gruppen, genauer gesagt: es gibt genauso viele wie es Mengen gibt.
Aber das ist auch nicht das, wofür man sich normalerweise interessiert. Man fragt in der Regel nach der Anzahl der Gruppen (mit vorgegebenen Eigenschaften) *bis auf Isomorphie*. Dann gibt es vermutlich Kontinuum-viele (also genauso viele wie es reelle Zahlen gibt) endlich-erzeugte Gruppen bis auf Isomorphie.
(Die immer noch große Anzahl kommt dadurch zustande, dass man zwar nur abzählbar viele Wörter in einer endlich-erzeugten freien Gruppe hat, aber davon beliebig viele als Relationen auswählen kann, und insbesondere nicht endlich viele ausreichen müssen: es gibt endlich-erzeugte Gruppen, die nicht endlich-präsentiert sind.)
Einen vollständigen Beweis habe ich aber (noch) nicht. (Der Vorschlag von dir geht jedenfalls nicht, weil die so konstruierten Gruppen mit einer Ausnahme allesamt unendlich zyklisch und daher zueinander isomorph sind.)
Ich vermute, dass sich die Zahl nicht ändert, wen man eine freie Untergruppe von endlichem Index fordert. Oder soll die freie Gruppe endlich-erzeugt sein?
Bei freien Gruppen ist das einfacher: Bis auf Isomorphie gibt es nur eine freie Gruppe vom Rang r, für jede natürliche Zahl r, und daher gibt es auch nur abzählbar viele endlich-erzeugte freie Gruppen bis auf Isomorphie.
(Es gibt sogar auch nur abzählbar viele endlich-präsentierte Gruppen bis auf Isomorphie.)



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