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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Reelle Matrix mit imaginärem Eigenwert
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Autor
Universität/Hochschule J Reelle Matrix mit imaginärem Eigenwert
MrMarGaj
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-11

\(\begingroup\)
Hallo liebes Forum,

ich bin auf der Suche nach einem Beispiel für eine Matrix $A$, die mindestens einen imaginären Eigenwert hat. Um es vorweg zu sagen, mir wäre auch sehr damit geholfen, wenn ich wüsste, dass es keines gibt  smile

$A$ sollte in jeder Zeile auf der Diagonale eine negative Zahl haben und an allen anderen Stellen positive Zahlen (oder Nullen), sodass die Summe 0 ist. Also diese Form
$
\begin{pmatrix}
-a_1-a_2-a_3 & a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & -b_1-b_2-b_3 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & -c_1-c_2-c_3 & c_3 \\
d_1 & d_2 & d_3 & -d_1-d_2-d_3
\end{pmatrix}
$  
wobei die Dimension von $A$ prinzipiell beliebig sein kann und alle Konstanten positiv oder 0 sind.

Bereits klar ist mir, dass einer der Eigenwerte immer 0 ist ($A$ hat keinen vollen Rang) und die Summe der Eigenwerte negativ (Spur). Zu jedem komplexen Eigenwert das komplex konjugierte auch ein Eigenwert ist. Es passt also dazu, dass die Spur reell ist.
Für den Fall 2x2 und 3x3 habe ich bereits herausgefunden, dass es keine imaginären Eigenwerte geben kann.

Diese Art von Matrizen korrespondiert zu einer Klasse physikalischer Systeme, und ich hoffe dort ein System mit einer Eigenschaft zu finden die eben einem imaginärem Eigenwert entspricht.
Ich freue mich über jeden Ansatz smile

LG, Marvin
\(\endgroup\)


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-12


Hi MrMarGaj,
solche Matrizen haben immer den Eigenwert 0.
Durch numerische Experimente mit Zufallszahlen und mit 4 x 4- und 5 x 5-Matrizen habe ich festgestellt, dass die Realteile aller anderen Eigenwerte negative Zahlen sind, somit gibt es keine imaginären Eigenwerte.
Warum das so ist, kann ich mir vorläufig nicht erklären, vielleicht lässt sich etwas mit Gerschgorin-Kreisen machen. Ich denke noch weiter nach.
Gruß Buri



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-12


Wenn das so ist, fände ich das eine interessante Beobachtung!



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MrMarGaj
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


2018-01-12 20:12 - Buri in Beitrag No. 1 schreibt:
Durch numerische Experimente mit Zufallszahlen und mit 4 x 4- und 5 x 5-Matrizen habe ich festgestellt, dass die Realteile aller anderen Eigenwerte negative Zahlen sind, somit gibt es keine imaginären Eigenwerte.

Hallo Buri,

Zunächstmal danke für Deine Antwort. Verstehe ich Dein Argument richtig, dass im numerischen Experiment die Realteile immer <0 waren, und daher nie 0 zu erwarten ist?
Ich habe ähnliche numerische Ratespiele mit 4 x 4 Matrizen gespielt und es gab immer mindestens einen komplexen Eigenwert als Ergebnis.. allerdings gibt es auch Beispiele für die alle Eigenwerte reell sind. Damit möchte ich sagen, dass zumindest mein Ratespiel nicht alle Möglichkeiten getroffen hat. Vielleicht ist der Fall eines imaginären Eigenwertes ja ein ähnlich seltenes Ereignis.

Was Gerschgorin-Kreise sind, schaue ich mir morgen mal an  smile .

LG, Marvin



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Hallo,

mit der Spur sollte sich beweisen lassen, dass es keine rein imaginären Eigenwerte gibt. Falls \(i\cdot d\) ein Eigenwert ist, so auch \(-i\cdot d\). Daher wird dann das charakteristische Polynom \(\chi_A\) von \(x^2-d^2\) geteilt. Daraus folgt, dass der zweite Koeffizient von \(\chi_A\) null ist und somit gilt dann \(Spur(A)=0\).

Edit: Das letzte Argument ist falsch
\(\endgroup\)


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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-13


Hi MrMarGaj,
wenn -d das kleinste Diagonalelement von M ist, dann ist M + dI eine Matrix mit lauter Elementen > 0 außerhalb der Diagonalen und ≥ 0 auf der Diagonalen. Nach dem Satz von Perron-Frobenius ist d der Spektralradius von M + dI, und daraus folgt |λ + d| ≤ d für alle Eigenwerte λ von M, und schließlich Re(λ) < 0 oder λ = 0 für alle Eigenwerte λ von M, was zu beweisen war.
Gruß Buri



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-13


Hallo Buri,

mit Deinem Hinweis zu Gerschgorin-Kreisen komme ich ebenfalls zum Ziel. Die Kreise zu den Zeilen sind alle von der Gestalt (Mittelpunkt -r, Radius r), s.d. alle Eigenwerte in einem Kreis K(-R,R) liegen, wobei -R das kleinste Diagonalelement ist - oder habe ich wieder etwas übersehen?



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MrMarGaj
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13


Hallo,

Danke an Buri und TomTom314 für eure Lösungen! Es geht also über Perron-Frobenius. Und mit Geschgorin-Kreisen sieht man ebenfalls anschaulich, dass die Eigenwerte in Kreisen liegen, die die imaginäre Achse in der Null tangieren. Es kann also keine solche Matrix geben. Schade...

Aber Gerschgorin-Kreise sind eine feine Sache, da habe ich etwas über mein Problem hinaus gelernt cool

LG, Marvin



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