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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Herleitung eines Satzes zu allgemeinen Populationsmodellen
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Autor
Universität/Hochschule J Herleitung eines Satzes zu allgemeinen Populationsmodellen
dukesilver
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-12

\(\begingroup\)
Guten Tag,
 
nachdem ich hier längere Zeit stiller Mitleser war und so meine Fragen beantwortet werden konnten, habe ich nun jedoch ein Problem bei dessen Lösung ich Hilfe benötige.
Es geht um einen Satz aus einem Buch zur biologischen Modellierung und bezieht sich auf Populationsmodelle mit n Populationen.
Das Modell mit n Populationen wird wie folgt dargestellt:

fed-Code einblenden
Der entsprechende Satz lautet wie folgt:

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Der Satz wird laut Buch daraus hergeleitet, dass zum einen fed-Code einblenden die Anwendung vom Satz von Picard-Lindelöf ermöglicht, was mir auch klar ist.
Des weiteren wird behauptet, dass fed-Code einblenden schon fed-Code einblenden für alle fed-Code einblenden im Existenzintervall der Lösung fed-Code einblenden impliziert, woraus folgt, dass der Rand von fed-Code einblenden eine invariante Menge ist. Dies ist der erste Knackpunkt.
Ebenso verstehe ich nicht weshalb aus der Invarianz vom Rand von fed-Code einblenden die Invarianz der Menge fed-Code einblenden folgt.

Vielleicht übersehe ich etwas offensichtliches, da mir während meines Studiums invariante Mengen noch nicht begegnet sind und ich auch keine Vorlesung zu Differentialgleichungen gehört habe, stehe ich dennoch ziemlich auf dem Schlauch und wäre für jeden Tipp dankbar.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-12


Ich vermute, Dir fehlen noch Voraussetzungen, insbesondere an die Funktionen gk(x). Eventuell gk(x)>0 für x>0.

Ich denke aber auch, dass die Invarianz des Randes eigentlich keine Rolle spielt. Entscheidend ist, dass man den Rand nicht erreicht, wenn man im Inneren startet.



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dukesilver
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-12


Alles klar, danke schon einmal.
Dass der Autor gk(x)>0 für x>0 voraussetzt erscheint mir nicht wahrscheinlich. Da es sich um ein Populationsmodell handelt, müssen ja die x größer oder gleich 0 sein um biologisch relevant zu sein. Deshalb wäre dann immer gk(x)>0, was auch nicht sinnig wäre, weil sich die Populationen unter gewissen Umständen auch verkleinern sollen.



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haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1435
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-14


Hallo,

eine Vorzeichenbedingung <math>g_k(x)>0</math> scheint mir nicht nötig zu sein.
Die ganze Aufgabe basiert im wesentlichen darauf, dass sich Lösungskurven nicht schneiden können und dass für jede Lösung, die zu irgendeinem Zeitpunkt <math>t_*</math> für ein <math>k</math> die Bedingung <math>x_k(t_*)=0</math> erfüllt, automatisch <math>x_k(t)=0</math> für alle <math>t</math> im maximalen Definitionsbereich ist. Das ist wiederum eine Folge der Eindeutigkeit, die wie dukesilver schon sagte, aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt.

Dazu betrachtet man einfach die DGL, die man erhält, wenn man <math>x_k=0</math> setzt und löst das Anfangswertproblem für die restlichen <math>n-1</math> Differentialgleichungen (ohne die k-te DGL <math>\dot{x}_k(t)=0</math>) mit einer beliebigen Anfangsbedingung. Dieses hat eine eindeutige Lösung und diese ist auch eine Lösung der vollen DGL (ohne, dass man <math>x_k=0</math> setzt) mit <math>x_k(t_0)=0</math>. Wegen der Eindeutigkeit muss es sich also um DIE Lösung zum entsprechenden Anfangswert handeln und damit ist für diese Lösung <math>x_k(t)\equiv 0</math>.

Viele Grüße,
haerter
 


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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dukesilver
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Mitteilungen: 3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Vielen Dank für die Antwort. Das hilft mir sehr.



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