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Analysis » Funktionalanalysis » Eindeutigkeit des adjungierten Operators
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Universität/Hochschule J Eindeutigkeit des adjungierten Operators
Sigi7444
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13


Hallo,

Auf der Uni haben wir letzte Woche mit unbeschränkten Operatoren begonnen. Dabei ist mir folgende Behauptung überhaupt nicht klar:

Definiere dom(T*) := {y ∈ H : x → <Tx,y> stetig auf dom(T)}

Für y ∈ dom(T*) lässt sich x → <Tx,y> eindeutig zu einem stetigen linearen Funktional auf H fortsetzen (nach Fréchet-Riesz: <., z>, z ∈ H ).
Schreibe <Tx,y> = <x, z> ∀x ∈ dom(T).
z ist eindeutig durch y festgelegt, da T
dicht definiert ist. Wir setzen dann z = T*y

Meine Fragen dazu sind:

1.)Warum gilt "Für y ∈ dom(T*) lässt sich x → <Tx,y> eindeutig zu einem stetigen linearen Funktional auf H fortsetzen" und wozu benötigt man das? Besonders, das "fortsetzen" verstehe ich hier nicht so richtig. Braucht man die Vortsetzung von x -> <Tx, y> damit man Frechet Riesz anwenden darf?

2.)Ich verstehe nicht warum z eindeutig ist, wenn T dicht definiert ist.

Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

LG, Sigi



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Hey Sigi7444,

zu 1) \(\text{dom}(T)\) ist per Definition ein Unterraum von \(H\). Ein Korollar aus dem Trennungssatz von Hahn-Banach besagt:
Sei \(X\) ein Unterraum eines normierten Vektorraumes \(Y\) und \(f:X \to \mathbb{K}\) ein stetiges, lineares Funktional. Dann lässt sich dieses Funktional zu einem stetigen, linearen Funktional auf ganz \(Y\) fortsetzen. Dieses fortgesetzte Funktional hat die gleiche Norm.

Nun, das bedeutet erstmal, dass das Funktional \( \text{dom}(T) \ni x \mapsto \langle Tx,y \rangle \) eine Fortsetzung auf ganz \(H\) besitzt, die Eindeutigkeit dieser Fortsetzung kann man auch aus einem weiteren Korollar ableiten:
Sei \(X\) ein Unterraum eines normierten Vektorraumes \(Y\). Dann ist \(X\) dicht in \(Y\) genau dann, wenn für jedes \(y^* \in Y^*\) mit \(y^*_{|X}=0\) gilt: \(y^*=0\).
(Man nehme an, \(f_1\) und \(f_2\) wären zwei unterschiedliche Fortsetzungen dieses Funktionals und man betrachte dann die Differenz).

Also ist diese Fortsetzung eindeutig. Das brauchst du, um überhaupt den Satz von Fréchet-Riesz anwenden zu können, denn dieser verlangt nach einem Funktional auf ganz \(H\).
2) ist damit auch erledigt, denn der Satz von Fréchet-Riesz liefert ein eindeutiges \(z\). Und da die Fortsetzung eindeutig ist, ist auch dieses \(z\) eindeutig
\(\endgroup\)


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Sigi7444
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Hallo Kampfpudel,

Danke erstmal für die Antwort. Hatte ganz die Vorraussetzungen für die Anwendbarkeit von Fréchet-Riesz übersehen..
Bezüglich deiner Erklärung zur Eindeutigkeit der Fortsetzung hätte ich noch eine Frage:

Was genau meinst du mit \(y^*\) und \(Y^*\) und was bedeutet die Notation \(y^*_{|X}\).

LG, Sigi7444
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
\(Y^*\) ist der Dualraum von \(Y\), d.h. \(Y^*=L(Y, \mathbb{K}) \). Oft schreibt man auch \(Y'\) statt \(Y^*\), das ist aber Geschmackssache und von Autor zu Autor unterschiedlich. Im Fall eines Hilbertraumes \(H\) kann man jedoch den Dualraum von \(H\) mit \(H\) selbst identifizieren (das sagt quasi der Satz von Fréchet-Riesz: Jede stetige, lineare Abbildung von \(H\) nach \(\mathbb{K}\) ist von der Form \(H \ni x \mapsto \langle x,z \rangle\) für ein eindeutig bestimmtes \(z \in H\)). \(y^*\) ist ein Element aus \(Y^*\), d.h. \(y^*: Y \to \mathbb{K}\) ist linear und stetig.
\(y^*_{|X} \) ist die Einschränkung der Abbildung \(y^*\) auf die Definitionsmenge \(X\).
\(\endgroup\)


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Sigi7444
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Danke, wir hatten tatsächlich den Dualraum von H mit H' bezeichnet.
Habs jetzt verstanden :)

LG, Sigi7444



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