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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Kompakte Konvergenz einer Reihe
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Universität/Hochschule J Kompakte Konvergenz einer Reihe
Distance
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-13

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Guten Abend :)

Ich versuche aktuell die kompakte Konvergenz einer Funktionenreihe nachzuweisen, jedoch habe ich meine Schwierigkeiten dabei.

Es geht um die Reihe $\sum_{v=0}^{\infty} \frac{(-1)^v}{v!}\frac{1}{z+v}$. Ich möchte zeigen, dass ihre Grenzfunktion holomorph in $\mathbb{C}\backslash \mathbb{-N}$. Um das zu erreichen, möchte ich zeigen, dass diese Reihe kompakt in $\mathbb{C}\backslash \mathbb{-N}$ konvergiert.

In einem Lehrbuch steht dazu, dass eine Reihe $\sum f_v$ von in $D$ meromorphen Funktionen $f_v$ kompakt konvergent in $D$ ist, wenn es zu jedem Kompaktum $K\subset D$ einen Index $m=m(K)\in \mathbb{N}$ gibt, so dass gilt:
1) Jede Polstellenmenge $P(f_v), v\ge m$ ist punktfremd zu $K$.
2) $\sum_{v\ge m} |f_v|_K < \infty$

Ich verstehe nicht, welche Kompaktum ich nehmen soll  :-? . Für Hilfestellungen wäre ich euch sehr dankbar.

Gruß

Distance
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Eigentlich für alle Kompakta. In der Praxis auf einer Menge von Kompkta oder anderen offenen Mengen, die die Definitionsmenge überdeckt, nach Möglichkeit angepaßt an die zu untersuchende Reihe. Hier solltest Du auch beachten, dass "kompakt konvergent" = "lokal gleichmäßig konvergent" gilt.

Um geeignete Mengen zu finden, kannst Du Dir z.B. die Höhenlinien \(|f_n(z)|= c\) oder für eine festen Punkt \(|f_n(z)|= |f_n(z_0)|\) genauer anschauen. Da das ganze sich im Umfeld der \(\Gamma\)-Funktion abspielt, gibt es von dort auch ein paar naheliegende Kandidaten. ;)
\(\endgroup\)


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Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Genau diese Auswahl der Kompakta verstehe ich nicht ganz.

Bei einer anderen Funktionenreihe habe ich gezeigt, dass sie in $\mathbb{C}$ normal konvergiert. Die Kompakta konnte ich dabei sehr simpel konstruieren und habe abgeschlossene Kreisscheiben $B_n:= \{z \in \mathbb{C}: |z| \le n\}, n \in \mathbb{N}$ genommen, da $\mathbb{C}= \cup _{n=1}^{\infty}B_n$. Der Nachweis von $\sum_{v=1}^{\infty}|f_v|$ auf $B_n$ für alle $n\ge 1$ war dann sehr einfach und somit war die Reihe normal konvergent in $\mathbb{C}$.

Hier fällt mir für $\mathbb{C}\backslash \mathbb{-N}$ ehrlich gesagt keine solche Darstellung ein und ärgert mich. D:
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Die Kreise sind hier nicht besonders sinnvoll. Daher auch mein Verweis auf die Höhenlinien. Schau Dir \(|f_n(z)|\leq |f_n(1)|\) einfach etwas genauer an.
\(\endgroup\)


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Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Meinst du das so?

$|f_v(1)|=|\frac{(-1)^v}{v!(1+v)}|=\frac{1}{v!(1+v)}=c$

Falls ja, weiß ich nicht, wohin das hinführen soll. Mit Höhenlinien habe ich mich bisher wenig beschäftigt.

Gruß

Distance

Edit:

Eine "Lösung", die ich dazu gefunden habe, wird folgendermaßen argumentiert:



Hier wird über die Supremumsnorm argumentiert, jedoch ist für mich nicht klar, wieso das gilt.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-13

\(\begingroup\)
Falls ja, weiß ich nicht, wohin das hinführen soll.
Das ist bei viele mathematischen Problemen so. Man fängt an und schaut, ob ein bestimmter Ansatz zu einem Ergebnis führt. Hier versuche ich Dir etwas an die Hand zu geben, damit Du dazu passende Ideen entwickelst. Wenn ich Dir einfach sage, auf welchen Menge die Konvergenz nachgerechnet werden sollte, hast Du beim nächsten Beweis wieder das Problem, diese Mengen zu finden und kein Werkzeug dafür.

Mit Höhenlinien habe ich mich bisher wenig beschäftigt.
Da gibt es auch nicht so viel zu lernen. Wenn Du auf das Kriterium für kompakte Konvergenz schaust, muß Du Dir etwas zu \(|f_n|_K\) überlegen. Ein Möglichkeit ist einfach die Mengen \(\{z\in\IC; |f_n(z)|=c\}\) für verschiedene n,c zu berechnen/skizzieren, um das Verhalten der \(f_n\) zu untersuchen (Hier hatte ich \(c:=|f_n(1)|\) vorgeschlagen). Eine andere Möglichkeit ist die Konvergenz der Reihe an ausgewählten Punkten wie z.B. \(z\in\IR_{>0}\)näher zu betrachten.

\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-13


Hallo,
zu jedem Kompaktum gibt es einen Kreis mit Radius R, so daß das Kompaktum in ihm enthalten ist.
Wahle nun |m|=R+1 oder ähnlich. Dann ist die Poleigenschaft erfüllt.
Offensichtlich ist der Nenner >=R. Damit ist exp(R) eine Schranke der Reihe.
Gruß Wauzi

Edit:Schreibfehler ausgebessert


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Ich danke euch beiden für eure Hilfe!

Leider verstehe ich dennoch weiter nicht, wie ich auf diese Mengen komme und damit kompakte Konvergenz der Funktionenreihe gezeigt wird, was ziemlich frustriert.

Ich habe noch versucht, mit $\{z\in \mathbb{C}: Re(z)\ge -N \}\cup \{z\in \mathbb{C}: |Im(z)|>0\}$, $N \in \mathbb{N}$ durch Abschätzungen der Reihe auf diesem Bereich auf etwas zu kommen, aber das hat auch nicht wirklich gefruchtet. Ich bin furchtbar im Abschätzen. Ich weiß, dass ihr gute Hilfestellungen gebt, nur leider verstehe ich das nicht wirklich :/ Tut mir leid für eure Mühen.

Gruß

Distance
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-14


Ich verstehe Dein Problem nicht. Nimm einfach einen Kreis, der Dein Kompaktum einschließt. Und dann m größer als dessen Radius. Dann gibt es für die großen n keine Pole mehr im Kompaktum. Was ist daran nicht zu verstehen?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Zu der Reihe hatte ich mir folgendes vorgestellt:

1) \(\sum f_n(1)\) ist konvergent, bzw. was wichtiger ist absolut konvergent.

2)\(|f_n(z)|=c\) beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt \(-n\) und Radius \(1/(cn!)\). Insbesondere ist \(|f_n(z)|< c\) das Komplement einer Kreisscheibe.

Auf dem Schitt \(\bigcap \{|f_n(z)|< |f_n(1)|\}=\{Re(z)>1\}\) erhält man dann gleichmäßige Konvergenz mit \(\sum |f_n(1)|\) als Majorante. Dieses kann nun unter Berücksichtigung der Polstellen für ähnliche Mengen wiederholt werden, was dann lokal gleichmäßige Konvergenz zeigt.

Die Abschätzung ist im wesentlich dieselbe wie Wauzis in #6 und die, die Du in #4 erwähnt hast.
\(\endgroup\)


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Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Ich habe jetzt noch einmal folgendes versucht:

Sei <math>B_n:= \{z\in \mathbb{C}: Re(z)\ge -N\}\cup \{z\in \mathbb{C}: \abs{Im(z)}\ge \delta >0\}, N \in \mathbb{N}</math>.

Für <math>1\le |z+v|</math> gilt

<math>\frac{(-1)^v}{v!(z+v)} \le \frac{1}{v!\abs{z+v}}\le \frac{1}{v!N}</math>

Damit diese Abschätzung für jedes Kompaktum <math>B_n, n\ge 1</math> gültig ist muss <math>1\le \abs{z+v}</math> gelten. Da <math>Re(z)\le \abs{z}</math> gilt <math>Re(z)+v \le \abs{z+v}</math> und damit ist <math>Re(z)+v \ge -N+v</math> und es muss <math>1\le -N+v \le \abs{z+v}</math> gelten. Dies ist erfüllt für <math>v\ge N+1</math> und für alle Kompakta <math>n \ge 1</math> gilt die Abschätzung

<math>\sum_{v=N+1}^{\infty}\abs{\frac{(-1)^v}{v!(z+v)}}_{B_n}\le \sum_{v=N+1}^{\infty}\frac{1}{v!\abs{z+v}}\le \sum_{v=N+1}^{\infty}\frac{1^v}{v!N} < \infty</math>

Damit konvergiert <math>\sum_{v=N+1}^{\infty}\frac{(-1)^v}{v!(z+v)}</math> gleichmäßig auf <math>B_n</math> für alle <math>n \ge 1</math>. Mit in <math>B_n</math> holomorphen Funktionen <math>f_n</math> konvergiert die Reihe gegen eine in <math>B_n</math> holomorphe Funktion <math>u(z)</math>.

Ist der Weg/die Idee halbwegs richtig?



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-14


Inwiefern ist Bn ein Kompaktun?
Eigentlich ist es nicht mal definiert, denn was ist n?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Hast Recht. Das eben geschriebene war Unfug.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15


2018-01-14 12:19 - TomTom314 in Beitrag No. 9 schreibt:
Zu der Reihe hatte ich mir folgendes vorgestellt:

1) <math>\sum f_n(1)</math> ist konvergent, bzw. was wichtiger ist absolut konvergent.

2)<math>|f_n(z)|=c</math> beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt <math>-n</math> und Radius <math>1/(cn!)</math>. Insbesondere ist <math>|f_n(z)|< c</math> das Komplement einer Kreisscheibe.

Auf dem Schitt <math>\bigcap \{|f_n(z)|< |f_n(1)|\}=\{Re(z)>1\}</math> erhält man dann gleichmäßige Konvergenz mit <math>\sum |f_n(1)|</math> als Majorante. Dieses kann nun unter Berücksichtigung der Polstellen für ähnliche Mengen wiederholt werden, was dann lokal gleichmäßige Konvergenz zeigt.

Die Abschätzung ist im wesentlich dieselbe wie Wauzis in #6 und die, die Du in #4 erwähnt hast.

Bei 1.)
Für <math>z=1</math> ist <math>f_n(1)=\frac{(-1)^v}{v!(v+1)}=\frac{(-1)^v}{(v+1)!}</math> und somit <math>\sum_{v=0}^{\infty}\abs{\frac{(-1)^v}{(v+1)!}}\le \sum_{v=0}^{\infty}\frac{1}{(v+1)!}<\infty </math> konvergent.

Bei 2.) Verstehe ich, dass <math>\abs{f_n(z)}=c</math> den Kreisrand beschreibt um den Mittelpunkt <math>-n</math> und <math>\abs{f_n(z)}<c</math> das innere der Kreisscheibe.
Für <math>\abs{f_n(z)}<\abs{f_n(1)}</math> erhalte ich <math>\frac{1}{v!\abs{z+v}}<\frac{1}{(v+1)!}</math>, also <math>1<Re(z)</math>. Bzw. für <math>a \in \mathbb{R}</math> erhält man <math>a<Re(z)</math>. Jedoch sehe ich hier nicht, wie das das Problem der Polstellen umgeht und wie die Konvergenz auf <math>\mathbb{C}\backslash-\mathbb{N}</math> folgt. :/

Ich weiß, dass ich mich hier vermutlich ziemlich dumm anstelle.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-01-15


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Wow! Vielen Danke, Wauzi.

Deine Konstruktion finde ich schön.

Eine Frage hätte ich noch: Du bist in deiner Konstruktion die Bedingungen durchgegangen, die ich in meinem 1. Post aus einem Lehrbuch zitiert habe. Da ich Kompaktheit in <math>\mathbb{C}\backslash\mathbb{-N}_0</math> haben will, definiere ich dann meine Kompakta so?: <math>K_R:= \{z\in \mathbb{C}\backslash\mathbb{-N}_0}:\abs{z}\le R\}</math>

Ist das dann noch eine kompakte Menge?



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Halt Stop.

Hab mir die Stelle im Buch noch 1-2 mal durchgelesen. Da steht "Eine Reihe <math>\sum f_v</math> von in <math>D</math> meromorphen Funktionen <math>f_v</math> ist kompakt konvergent in <math>D</math>, wenn..."

Meine <math>f_v</math> sind meromorphe Funktionen in <math>\mathbb{C}</math>. Mit Kompakta <math>K_R:=\{ z\in \mathbb{C}:\abs{z}\le R\}</math> ist <math>\mathbb{C}= \cup_{R=1}^{\infty}K_R</math>. Für jedes Kompaktum <math>K_R \subseteq \mathbb{C}</math> lassen sich mit Hilfe deiner Konstruktion die am Anfang genannten Bedingungen erfüllen, wodurch die Reihe kompakt konvergent in <math>\mathbb{C}</math> ist.

Nach Konvergenzsatz konvergiert die Reihe somit gegen eine in <math>\mathbb{C}</math> meromorphe Funktion. Nach dem gleichen Satz für <math>U \subset \mathbb{C}</math>, sodass <math>f_v</math> in <math>U</math> keinen Pol hat und dort holomorph ist, konvergiert die Reihe <math>\sum f_v</math> kompakt gegen eine in <math>U</math> holomorphe Funktion.

Damit hätte ich alle Schritte, sodass <math>\sum_{v=0}^{\infty}\frac{(-1)^v}{v!(z+v)}</math> kompakt gegen eine in <math>\mathbb{C}\backslash \mathbb{-N}</math> holomorphe Funktion konvergiert.

Danke schön :)



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