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Mathematik » Topologie » Antipodale Abbildung homotop zur Identität
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Universität/Hochschule J Antipodale Abbildung homotop zur Identität
Tobi95
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Dabei seit: 07.12.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-14

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

Ich würde gerne zeige dass die antipodale Abbildung

\( \iota : S^{2k+1} \rightarrow S^{2k+1} \) mit \( \iota: x \rightarrow -x \) homotop zu \( Id_{S^{k+1}} \) ist für \( 1 \le k \).

Hab leider keine Idee  :-?

Gruß Tobi
\(\endgroup\)


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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-14


Hallo, Tobi,

hast du einen Beweis für k=0?

Wally



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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 719
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Hallo Tobi,

für \(S^1\) gibt es eine naheliegende Homotopie, welche sich auf \(\IR^2\) fortsetzen läßt und dann eine Vorlage für \(\IR^{2k}\) liefert.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Tobi95
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.12.2017
Mitteilungen: 39
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Es gilt  \(S^0 = \{x \in \IR : |x| = 1\} = \{1 , -1\} \)
also gilt die Behauptung. Aber mich interessiert ja nur \(k\) größer gleich 1.

\(\endgroup\)


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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
$k = 0$ ist $S^1 \to S^1$.

(Eine einfache Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, wäre der Abbildungsgrad [der von $S^n \to S^n, x \mapsto -x$ ist $(-1)^{n+1}$], aber das benutzt schwere Sätze, die du vermutlich nicht verwenden darfst. Es geht auch ganz explizit.)
\(\endgroup\)


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Tobi95
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Achso natürlich hab ja \(S^{2k+1}\) XD

Kann ich einfach

\(H(x,t) = (1-2t)x \) nehmen was stetig ist und \( H(x,0) = (1-0)x = x\) und \(H(x,1) = (1-2)x = -x\) nehmen ?

Wie kann ich das auf höhere Dimensionen verallgemeinern ?
\(\endgroup\)


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kurtg
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Die Homotopie muss zu jeder Zeit von der Sphäre nach der Sphäre abbilden. Wenn bei dir $t = \frac{1}{2}$ ist, ist $H(x,\frac{1}{2}) = (1 - 2\frac{1}{2})x = 0x = 0 \not\in S^n$.
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Male dir die Antipode $S^1 \to S^1$ doch mal auf.
\(\endgroup\)


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Tobi95
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Stimmt, mein H verbindet x und -x nur durch eine Gerade :(

Also muss H die Parametrisierung einer Spähre nutzen s.d. die Verbindung nun über den Kreis geht. Sowas wie \(e^{its}\) für ein passendes s oder so ?!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Sowas wie \(e^{its}\) für ein passendes s oder so ?!
Die Idee ist schon richtig, enthält aber noch einen Fehler.
\(\endgroup\)


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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-14


Das sieht schon besser aus.

Am besten gibst du eine Funktion <math>f:[0,1]\to O(2)</math> an mit <math>f(0)=E_2</math> und <math>f(1)=-E_2</math>.

<math>O(2)</math> Ist die Gruppe der orthogonalen (und daher betragserhaltenden) Matrizen.

Wally

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Ja \(e^{\pi ist}\) ist für \(t = 0\) einfach 1 und für ein passendes s dann -x.

Funktioniert \( H(x,t) = e^{i \pi(t+s)}\) dann ist \(H(x,0) = x \) für passendes s und \(H(x,1) = -x \) und x,-x sind durch die Spähre verbunden ??

Leider weiß ich nicht was \(E_1, E_2\) sind frown
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-01-14


Mit <math>E_2</math> meine ich die 2x2-Einheitsmatrix.

In welchem Raum betrachtest du eigentlich <math>S^1</math> bzw <math>S^{2k+1}</math>?

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14

\(\begingroup\)
Über \(\IR^{2(k+1)}\)
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-01-14


OK. Wie willst du im <math>\IR^{2}</math> mit der komplexen Exponentialfunktion multiplizieren?

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-14


Keine Ahnung war nur so ne Idee. Hab grad leider garkein durchblick confused



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-01-14


Dann probier den Fall <math>k=0</math> mal mit einer Matrix zu lösen. Du musst nur die Exponentialfunktion in Real- und Imaginärteil auseinandermontieren.

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
Für die Exponentialfunktion gilt \(e^{2 \pi i x} = cos(2 \pi x) + i sin(2 \pi x) \), wie hilft mir das weiter ?

Wegen der Funktion f fällt mir nur die Drehabbildung ein :

\(f: [0,1] \rightarrow O(2), t \rightarrow \begin{pmatrix}
cos(\pi t) & - sin (\pi t) \\
sin (\pi t) &  cos (\pi t)\\
\end{pmatrix} \).

Dann is \(f(0) = \begin{pmatrix}
cos(\pi 0) & - sin (\pi 0) \\
sin (\pi 0) &  cos (\pi 0)\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\) und \(f(1) = \begin{pmatrix}
cos(\pi 1) & - sin (\pi 1) \\
sin (\pi 1) &  cos (\pi 1)\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\)

Wenn ich jetzt meinen Punkt \(x = (x_1,x_2)\) nenne gilt

\(H(x,t) := f(t)x = \begin{pmatrix}
cos(\pi t) & - sin (\pi t) \\
sin (\pi t) &  cos (\pi t)\\
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
x_1  \\
x_2\\
\end{pmatrix}\)

Dies ergibt \(H(x,0) = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\\
\end{pmatrix}* x = E_2 *x = x \) und \(H(x,1) = \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\\
\end{pmatrix} * x = -E_2 *x = -x\)

Wie kann ich das nun auf höhere Dimensionen erweitern ?
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-01-15


Wenn du das für <math>O(4)</math> schaffst, schaffst du das auch allgemein for <math>O(2k)</math>.

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
Ich kenn leider nurnoch die O(3) Drehmatrix

\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &cos(x) & -sin(x) \\
0& sin(x) & cos(x)\\
\end{pmatrix}\)

 wobei die 1 auf der Hauptdiagonalen liegt und die Drehachse angibt. Leider kenn ich keine höhere Dehmatrix.
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-01-15


Für ungerade Dimensionen des Raum ist das unmöglich, denn die Determinante der Einheitsmatrix ist 1 und die der negativen -1, und da gibt es keinen stetigen Weg durch die invertierbaren Matrizen.

Darum sollst du aus 2 <math>O(2)</math> Ideen eine <math>O(4)</math> Idee produzieren.

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
Über welche Achse soll ich den drehen ?

\(\begin{pmatrix}
1 & ... & 0 & 0 & 0 \\
... & cos(\pi t) & ... & -sin(\pi t) & 0 \\
0 & ... & 1 & ... & 0\\
0 & sin(\pi t)  & ...& cos(\pi t) &0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\)

wäre ja eine höherdimensionale Drehmatrix, oder bin ich da komplett auf dem Holzweg ?

Bin grad ziemlich ratlos  confused
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-01-15


Letzter Tipp: Blockmatrix.

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
Etwar so :

\(\begin{pmatrix}
A & 0 & 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & 0 \\
0 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & A
\end{pmatrix}\) mit \(A = \begin{pmatrix}
cos(\pi t) & -sin(\pi t)\\
sin(\pi t) & cos(\pi t)
\end{pmatrix}\)

Der grad würde schonmal passen  confused
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-01-15


Das ist OK. Beweise einfach, dass das die gesuchte Homotopie liefert.

Wally



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euler90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)


\[ F:S^{2k+1} \times [0,\pi],\quad (x, θ) \mapsto cos(θ)x + sin(θ)x    \] sollte funktionieren.

Grüße euler90
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-01-15


Und wenn <math>\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}</math> ist?

Wally



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Tobi95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-15


Alles klar und Vielen Dank !! biggrin



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euler90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-01-15

\(\begingroup\)
Mhh, was ist, wenn man

\[ F(x,\theta) = \frac{1}{\| \cos(\theta) x + \sin(\theta) x \|} \cos(\theta) x + \sin(\theta) x \]
nimmt ?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2018-01-15


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Wally



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