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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Spaltenmultiplikation
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Universität/Hochschule Spaltenmultiplikation
juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-21

\(\begingroup\)
Irgendwie einfach erscheinende Augabe:

Wandele eine 1. Matrix A=
$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 0 \\
3 & 0
\end{pmatrix}$

um in folgende: B=
$\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 5 \\
3 & 7
\end{pmatrix}$

d.h. in der 2. Spalte soll die (1. Spalte mal 2)+1 erscheinen.

Geht das mit einer einzigen Matrixmultiplikation?
Danke












\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Hallo,


Geht das mit einer einzigen Matrixmultiplikation?

Nein.

Wir suchen ja eine Matrix $C$ so, dass

$AC=B$

Es kann nämlich keine Matrix geben die von link multipliziert $B$ ergibt. Denn die zweite Spalte von $A$ besteht nur aus Nullen. Und dann würde auch die zweite Spalte von dem Produkt CA nur aus Nullen bestehen.

Es ist $\begin{pmatrix}1&0\\2&0\\3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\\3a&3b\end{pmatrix}$

Dann muss also $b=3$ gelten. Und ebenso $2b=5$ und $3b=7$
Das geht nicht.

Edit: Beitrag korrigiert. Siehe den Beitrag von weird.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
2018-01-21 14:44 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Dann muss also $b=3$ gelten. Und ebenso $2b=5$ und $3b=7$
Das sollte nur in $\mathbb{F}_2$ gelten.

Warum meinst du, dass $2b=5$ in $\mathbb{F}_2$ gilt?  eek
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-21


Edit: Oh, ich habe tatsächlich nicht genau aufgepasst...

Ich dachte b=1, aber das stimmt ja gar nicht...



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Vereinfacht erstmal: finde 9(!) Werte, so dass
$C\vec b = \vec c,
\left(
 \begin{matrix}
  a_1 & b_1 & c_1 \\
  a_2 & b_2 & c_2 \\
  a_3 & b_3 & c_3
 \end{matrix}
\right)

\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\left(
  \begin{matrix}
   3\\
   5\\
   7
  \end{matrix}
\right)$

gelöst wird..
Und dann muss man wahrscheinlich noch ein D finden, so dass $B = CAD^{T}$, aus der urspr[nglichen Frage ist,oder?

Thx



\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Ich denke ich bin etwas überfragt.
Aber was genau ist nun eigentlich die Frage?

Du möchtest aus der der Matrix $A$ die Matrix $B$ erzeugen mithilfe von Matrizenumformungen? Genauer, indem du weitere Matrizen multiplizierst?

\(\endgroup\)


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Nuramon
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-21


Es geht nicht, weil eine Matrix, die aus A durch Matrizenmultiplikation entsteht, nie größeren Rang als A haben kann.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
2018-01-21 16:16 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich denke ich bin etwas überfragt.
Aber was genau ist nun eigentlich die Frage?

Du möchtest aus der der Matrix $A$ die Matrix $B$ erzeugen mithilfe von Matrizenumformungen? Genauer, indem du weitere Matrizen multiplizierst?



An sich wie im ersten Beitrag.
Da das aber nicht so offenbar ist, will ich den Zwischenschritt machem, was doch an sich eine Basistransformation ist. Und aus der kann ich dann das Ursprungsproblem lösen.

Ein Spalten-Tausch der ersten 2 Spalten bei einer 3*3 Matrix geht ja mit
$
 \begin{pmatrix}
  a_1 & b_1 & c_1 \\
  a_2 & b_2 & c_2 \\
  a_3 & b_3 & c_3
 \end{pmatrix}
*
 \begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}
$
Übertragen auf eine 2*3 Matrix.. kann man nach dem ersten Schritt dann durchführen oder irgendwie, wenn ichs wüsste.. ich hab eben keine Zeit mehr. Vielleicht denke ich zu kompliziert.also das im Anfang gesetzte Ziel gilt noch..
eilt nicht ..Danke Grübel, Grüße!

\(\endgroup\)


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juergen007
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Mitteilungen: 2410
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22

\(\begingroup\)
Nochmal präziser:
Sei $\mathbb A$ eine Reguläre Matrix aus $GL(3,\mathbb Z)=\begin{pmatrix}1 & b_1 & c_1\\2&b_2&c_2\\3&b_3&c_3\end{pmatrix}$, wobei die 1. Spalte=$\vec b=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ ist. Und $b_1,c_1,b_2,c_2,b_3,c_3$ beliebig aus Z sind, derart, dass A regulär ist.
Sei weiter $\vec c=\begin{pmatrix}3\\5\\7\end{pmatrix}$.

Erste Frage: Wie sind die Koeffizienten in
$
C=\begin{pmatrix}
  a_1 & b_1 & c_1 \\
  a_2 & b_2 & c_2 \\
  a_3 & b_3 & c_3
 \end{pmatrix}*\vec b = \vec c
$?

Finde eine reguläre Matrix, also lineare Abbildung C mit $C\vec b = \vec c$.
Eine mögliche Lösung ist:$
 \begin{pmatrix}
  1 & 1 & 0 \\
 -1 & 0 & 2 \\
  2 & 1 & 1
 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}=  \begin{pmatrix}3\\5\\7\end{pmatrix}$.



Nun finde eine Matrix-Operation $\mathbb C,$ die die Matrix $\mathbb A$ auf eine reguläre Matrix $\mathbb D\in GL(3,\mathbb Z)=\begin{pmatrix}1&3& c_1\\2&5&c_2\\3&7&c_3\end{pmatrix}$ abbildet, so dass $c_1,c_2,c_3$ erhalten bleiben, etwa AC=D oder CA=D.
Gibt es eine solche?
Danke.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-22


Ist das die wörtliche Aufgabenstellung?

Soll es wirklich jeweils <math>GL(3,\mathbb Z)</math> heißen? Die Matrix <math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}</math> hat Determinante 3 und hat somit kein ganzzahliges Inverses. Soll es vielleicht <math>GL(3,\mathbb R)</math> sein?

Den Zusammenhang zum Startbeitrag sehe ich momentan noch nicht.



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Regmorus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-22


Hallo zusammen,

etwas zur Matrix IC: (vielleicht denke ich zu einfach...)

(bin von IR ausgegangen nicht von IZ, IZ leider komplett übersehen, vielleicht hilfts trotzdem...)

Mal angenommen, wir suchen eine Matrix IC mit A*IC=D. Da A nach voraussetzung regulär, werden entsprechend die LGS A*c_1=d_1, A*c_2=d_2, A*c_3=d_3 sogar eind. nach c_1, c_2, c_3 aufgelöst (es sind NICHT die c- bzw. d-EINTRÄGE in den Matrizen gemeint, s. unten ),
wobei:

c_i bzw. d_i, i=1,2,3 die jeweiligen Spalten von ID bzw. von IC bezeichne. Wenn ich mich nicht vertan habe, folgt also die Existenz der Matrix C. Die Berechnung ist allerdings ätzend, falls wir mit Freivariablen rechnen, ich überlasse sie bei gegebenen Koeffizienten lieber dem Rechner. Wr daran Spaß hat, kanns gerne ausrechnen, in Allgemeinform =)

Grüße Reg

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-23


2018-01-22 22:52 - Nuramon in Beitrag No. 9 schreibt:
Ist das die wörtliche Aufgabenstellung?

Soll es wirklich jeweils <math>GL(3,\mathbb Z)</math> heißen? Die Matrix <math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}</math> hat Determinante 3 und hat somit kein ganzzahliges Inverses. Soll es vielleicht <math>GL(3,\mathbb R)</math> sein?

Den Zusammenhang zum Startbeitrag sehe ich momentan noch nicht.
Imho müssen die Matrizen, die ich meine nicht unbedingt invertierbar sein..
Und ich meine allgemeiner: <math>GL(n,\mathbb Q)</math>.

Ich will zeigen, dass es in
<math>\begin{pmatrix}
1 & . & c_1 & d_1& .... \\
2 & . & c_2 & d_2&... \\
3 & . & c_3& d_3&... \\
4 & . & c_4& d_4&... \\
5 & . & . & .&...
.&.&.&.&...
\end{pmatrix}</math>
einen vor oder hintergeschalteten homomorphismus gibt, der diese auf
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 3 & c_1 & d_1& .... \\
2 & 5 & c_2 & d_2&... \\
3 & 7 & c_3 &d_3&... \\
4 & 9 & c_4 &d_4&... \\
5 & 9 & c_5 &d_5&... \\
.&.&.&.&...
\end{pmatrix}
</math>
abbildet unter Festhaltung aller anderen Spalten

Hatte das erst mal auf n = 3 eingeschränt. Punkte bedeuten irgend ein Element aus Q. Das mit den Nullen im startbeitrag ist nicht geignet wegen des spaltenrangs.



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