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Mathematik » Strukturen und Algebra » Wohldefiniertheit unter Benutzung der UE vom Tensorprodukt
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Universität/Hochschule Wohldefiniertheit unter Benutzung der UE vom Tensorprodukt
Mandelbrot99
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.02.2017
Mitteilungen: 15
Aus: Heidelberg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-19

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,
ich bin in der Vorbereitung eines Seminarvortrags und dabei das erste Mal über das Tensorprodukt und seine universelle Eigenschaft gestolpert, dessen Definition mir inzwischen auch einleuchtet.
Allerdings habe ich eine Frage zu der Wohldefiniertheit der in einem Beweis konstruierten skalaren Multiplikation. Wie geht man allgemein vor, um die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation eines Tensorprodukts, was vermöge dieser skalaren Multiplikation zu einem Modul werden soll, nachzuweisen?
Es erscheint mir sinnvoll, die UE des Tensorprodukts zu benutzen. Allerdings weiß ich nicht genau, wie die bilineare Abbildung aussehen soll, die einem die Wohldefiniertheit liefert, da die skalare Multiplikation ja bereits eine Abbildung von $L \times A \dot{\otimes} B \to A  \dot{\otimes} B$ ist (damit $A\dot{\otimes} B$ zum $L$-Modul wird) und die UE ja lediglich für $A \times B \to -$ eine eindeutige von $A \dot{\otimes} B \to - $liefert.
(Der Ausdruck $\dot{\otimes}$ bedeutet nur, dass $A,B$ Linksvektorräume sind, also $l a \dot{\otimes}b = a \dot{\otimes}lb$ gilt)

Ich hoffe, mir kann da jemand einen Hinweis geben oder ein allgemeines Vorgehen umreißen.

Vielen Dank im Voraus,

Mandelbrot99
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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3517
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-19


Generell schreibe bitte bei Fragen dazu, was die Bezeichner bedeuten. Hier also A,B,L. Wenn L ein Körper und A,B L-Vektorräume sind, so ist das Tensorprodukt schon als L-Vektorraum definiert, sodass nichts zu tun ist.



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Mandelbrot99
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Aus: Heidelberg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Ok, danke und tut mir leid wegen den Bezeichnungen. Der Hintergrund war der, dass der Kontext eigentlich etwas komplizierter und notationstechnisch schwer zu verdauen ist. Deshalb habe ich versucht, die Aussage etwas einfacher zu formulieren, was aber in die Hose gegangen ist, weil das Tensorprodukt natürlich schon ein Vektorraum ist....
Also (wohl oder übel) der gesamte Kontext:
Seien $L$ ein Körper, $A:= \bigoplus_{\sigma \in G} L u_\sigma, B:=\bigoplus_{\sigma \in G} L v_\sigma, C:=\bigoplus_{\sigma \in G} L w_\sigma$, (wobei $G$ die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $L|K$ ist und $u_\sigma,v_\sigma, w_\sigma$ formale Symbole (nicht weiter wichtig für die Aufgabe).
Sei außerdem $M:=A \dot{\otimes}_L B$ das Tensorprodukt mit $la \dot{\otimes}b = a \dot{\otimes} lb, \quad \forall l \in L, a \in A, b \in B$ (sodass eine Modulstruktur gegeben ist)
Behauptung: $M$ ist ein $C$-Linksmodul vermöge der skalaren Multiplikation
$$l w_\sigma (a \dot{\otimes} b) := l u_\sigma a \dot{\otimes} v_\sigma b$$
für alle $l\in L, \sigma \in G, a\in A, b\in B$
Also gut, nun ist die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachzuweisen mithilfe der UE des Tensorprodukts. Tipps zum allgemeinen Vorgehen sind sehr willkommen.
Danke im Voraus und viele Grüße
Mandelbrot99
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-19

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Dann ist aber wichtig, inwiefern $C$ ein Ring ist, und was dieser mit $A,B$ zu tun hat, und daher spielen die Symbole schon eine Rolle. Wie gesagt, am besten alles hinschreiben und nichts auslassen.

Es scheint mir, dass deine (vervollständigte) Frage mit der hier identisch ist: Linkkohomologische Brauergruppe
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Mandelbrot99
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Dabei seit: 04.02.2017
Mitteilungen: 15
Aus: Heidelberg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Ah stimmt, ist tatsächlich genau die selbe Übungsaufgabe. Die Familien $\{u_\sigma\}_{\sigma \in G}, \{v_\sigma\}_{\sigma \in G}, \{w_\sigma\}_{\sigma \in G}$ sollen die Basen der entsprechenden $L$-VR sein.
Allerdings habe ich noch eine Frage: Und zwar warum Du nicht auf die UE zurück greifst, weil wir doch eigentlich, da wir eben zwei $L$-Links Vektorräume $A,B$ haben und somit die Multiplikation auf $A \dot{\otimes} B$ eben via $la \dot{\otimes} b = a \dot{\otimes} l b$ (anstatt wie bei einem Links- und einem Recht-VR $a \otimes l b = a l \otimes b$). Damit folgt dann ja auch für die skalier Multiplikation:
$$l w_\sigma(a \dot{\otimes} b) = l u_\sigma a \dot{\otimes} v_\sigma b = l u_\sigma v_\sigma a \dot{\otimes} b,$$
was doch $L$-linear ist oder irre ich mich da?
Vielen Dank und viele Grüße,
Mandelbrot99
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-19

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1. Ich greife auf die u.E. zurück.
2. Die $L$-Skalarmultiplikation muss nicht weiter wiederholt werden. Es geht um eine $C$-Skalarmultiplikation.
3. Die Gleichungskette ist nicht wohlgeformt:
- Was soll $u_{\sigma} v_{\sigma}$ bedeuten?
- Beachte, dass $v_{\sigma}$ nicht aus $L$ kommt.
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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Ok, stimmt...
Ja das war etwas unglücklich formuliert, es war die Aussage in dem anderen Beitrag betreffend, dass $x \otimes_L y \mapsto z (x \otimes_L y)$ eine wohldefinierte $K$-lineare Abbildung ist, man aber nicht auf die UE des Tensorprodukts über $L$ zurückgreifen kann, da die Abbildung nicht $L$-linear ist im Allgemeinen.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Ja. Du kannst dir einmal überlegen, in welchen (seltenen) Fällen diese Abbildung $L$-linear ist (also $(x,y) \mapsto z(x \otimes_L y)$ $L$-bilinear ist).
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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Ok, dafür müsste für $\lambda \in L$ gelten:
$$l u_\sigma \lambda a \otimes_L v_\sigma y = \lambda l u_\sigma a \otimes_Lv_\sigma y$$
das $\lambda$ also mit $u_\sigma, l $ kommutieren. Allerdings ist das Zentrum der Algebra $K$ und nicht $L$, also müssten $u_\sigma, v_\sigma,l$ in $K$ liegen ?
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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Eine kleine Frage habe ich noch:
Bei dem Schritt mit dem Pfeil:
$
\begin{align*}
\sum_{a \in G} (\ell_a u_a c x) \otimes (v_a y) &= \sum_{a \in G} (\ell_a a(c)u_a x) \otimes_L (v_a y) \overset{\downarrow}{=} \sum_{a \in G} (a(c) \ell_a u_a x) \otimes_L (v_a y) \\ &= \sum_{a \in G} (\ell_a u_ax) \otimes_L (a(c) v_a y) = \sum_{a \in G} (\ell_a u_ax) \otimes_L (v_a c y),
\end{align*}
$
Gilt diese Gleichheit, weil $a(c)\in K$, da wir uns ja zunächst um den Fall $x \otimes_Ky$ kümmern? Könnten wir dann nicht $c$ direkt nach vorne durchreichen oder entgeht mir was ?
Danke für die Mühe und viele Grüße
Mandelbrot99
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-20


K liegt im Zentrum der Algebra, aber L nicht. Daher kann man weder c noch a(c), was i.A. nicht in K liegt, durchreichen.

In dem Schritt wird aber einfach die Kommutativität fon L benutzt.



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Mandelbrot99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20


Alles klar, danke!



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