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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Zeigen, dass Z_2 ein Körper ist
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Universität/Hochschule J Zeigen, dass Z_2 ein Körper ist
Username1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-16 17:40


Hallo,

ich bins schon wieder. Ich habe meine erste Lineare Algebra Vorlesung hinter mir und auf dem Aufgabenblatt, welches ich bekommen habe steht folgende Aufgabe:

fed-Code einblenden

Da ich gerade erst angefangen habe bin ich natürlich bei allem mathematischen, was ich anpacke etwas unsicher. Insbesondere, da wir Körper der Form Zn noch nicht in der Vorlesung hatten. Deswegen wollte ich fragen, ob meine Herangehensweise im Prinzip stimmt.

Ich zeichne eine Multiplikations- und Additionstabelle und schreibe die additiv bzw. multiplikativ inversen und neutralen Elemente einfach aus (1x1 mod 2 =1, 0x0 mod 2 =0 usw.). Danach ziehe ich die Distributiv-, Kommutativ- und Assoziativgesetze heran. Hier schreibe ich dann z.B. für das Kommutativgesetz 1+0 mod 2 = 1 und 0+1 mod 2 = 1 und für das Distributivgesetz 1x(1+0) mod 2 = 1 und 1x1+1x0 mod 2 = 1.

Wäre die Aufgabe auf diese Art gelöst? Muss ich die jeweiligen Anwendungen der Körperaxiome für alle Kombinationen der Elemente ausschreiben (also 1x(1+0) und 1x(0+1), eigentlich folgt letzteres aus ersterem mit dem nachgewiesenen Kommutativgesetz, oder?)? Gibt es eine bessere (oder falls ich falsch liege eine richtige) allgemeinere Möglichkeit, die für Zn Körper gilt?

Sorry wenn ich hier mit allzu Trivialem ankomme, ich bin einfach etwas nervös soweit es das Studium betrifft.

Gruß

Un95



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Username1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16 18:18


Vielleicht hier gleich dazu den Aufgabenteil b):

fed-Code einblenden

Ich würde hier einfach eine Multiplikationstabelle für die Spalte in der die Zahl 3 steht aufschreiben und direkt daraus

fed-Code einblenden

folgern. Wäre das so in Ordnung oder mache ich es mir zu einfach?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-16 19:21

\(\begingroup\)
Hallo,


Deswegen wollte ich fragen, ob meine Herangehensweise im Prinzip stimmt.

Im Prinzip gehst du richtig vor.
Du musst eben die Körperaxiome nachrechnen.
Die Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze so zu zeigen wie du es vorhast ist etwas mühselig.

Besser wäre es definitiv es allgemein für $a,b,c\in\mathbb{Z}_2$ zu zeigen, damit du es nicht für alle Kombinationen machen musst.
Außerdem solltest du auch kurz begründen weshalb du eben genau so rechnen darfst.

Noch besser ist es aber, wenn du dir überlegst weshalb sich diese Gesetze direkt von $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ auf $(\mathbb{Z}_2,+,\cdot)$ überträgt.

Zu deiner zweiten Frage:


Ich würde hier einfach eine Multiplikationstabelle für die Spalte in der die Zahl 3 steht aufschreiben und direkt daraus folgern. Wäre das so in Ordnung oder mache ich es mir zu einfach?

Du machst dir dann ziemlich viel arbeit.
Eine ganze Tabelle ist nicht notwendig.
Es reicht ja ein Element anzugeben, welches nicht invertierbar ist.
Das wäre eben mit $\overline{3}$ oder $\overline{5}$ gegeben.

Hier kannst du dann natürlich einfach alle Möglichkeiten durchgehen.
\(\endgroup\)


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Username1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16 19:56


Erst einmal danke für die Antwort. Ich hatte es nur so ausführlich vor, da ich mir nicht ganz darüber im klaren bin, wie ich es allgemein auf eine mathematisch korrekte Weise zeige. Wäre es z.B. in Ordnung zu schreiben:

a+b mod 2 = b+a mod 2  

mit der Begründung, dass a,b Elemente von R sind und somit für die jeweiligen Elemente, die vor mod stehen das Kommutativgesetz (etc.) gilt?

Bezüglich der zweiten Frage, ich hatte auch nur vor ein Element durchzugehen. Das meinte ich mit "eine Multiplikationstabelle für die Spalte in der die Zahl 3 steht".



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-16 20:03


Ja, alles was du schreibst sollte richtig sein.



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Username1995
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16 20:06


Alles klar. Vielen dank für deine Hilfe!



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