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Universität/Hochschule Messbarkeit
Beame
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-19


Liebes Forum,
Ich bin grade dabei die Aufgabe auf dem bild zu lösen



Ich habe da ein paar Schwierigkeiten, da mir nicht bewusst ist wie ich unter dieser abbildung zeigen soll dass das urbild gewisser mengen wieder in einem mengensystem enthalten ist
Meine bisherige idee war,
B \in F (element aus der sigma algebra).
Dann gilt {w in \Omega| Y(w) \in B} = \Omega
Wobei omega dargestellt werden kann als vereinigung abzählbarvieler Mengen Ai
Diese sind Konstant und als einpunkt Mengen Borelmessbar
Damit ist insbesondere dann Y Messbar
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen
Liebe Grüsse
Beame



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1235
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Hey Beame,

Mach dir klar, dass \(Y\) von der Form \(Y(\omega)= \sum\limits_{i \in I}c_i 1_{A_i}(\omega)\) ist, wobei \(c_i \in \mathbb{R}\) konstant für \(i \in I\).

M.a.W: Für \(\omega \in A_i \) gilt: \(Y(\omega)=c_i\).

Also: Wenn \(J \subset I\) die Menge aller Indizes ist, für die \(c_i \in B\) gilt, wie lautet dann das Urbild \(Y^{-1}(B)\)?

Edit: Ein Hinweis noch:
Auch wenn es hier tatsächlich unerheblich ist, ist es meistens jedoch viel angenehmer nicht direkt mit einer allgemeinen Borelmenge \(B\) zu arbeiten, sondern besser mit Mengen der Form \((-\infty, a]\), oder etwa \([a,b]\), denn solche Mengen erzeugen die Borel'sche Sigma-Algebra, daher reicht es die Urbilder solcher Mengen zu betrachten
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Beame
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2018
Mitteilungen: 6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Hey Kampfnudel,
Erstmals vielen Dank für deine Antwort!!
Mir ist noch nicht ganz klar warum ich Y so darstellen darf beziehungsweise das darf ich doch eigentlich nur wenn bekannt ist, dass es sich um eine elementarfunktion/einfache funktion handelt oder habe ich da etwas verpeilt ?
Und ich denke das urbild wäre dann gerade die vereinigung der familie von Sigma Algebren  bzw \(Y^-1(B)={w \in \omega| Y(w) \in B} =UAi\) und da dies eine Familie von sigma Algebren ist müsste diese doch selbst wieder Im mengensystem liegen
Demnach liegt das Urbild im mengensystem und deshalb ist Y messbar
Oder verdtehe ich das Falsch :/ warum erhalte ich dann die Messbarkeit?

Ps: ich bin neu im Forum und komme noch nicht so gut klar mit der Latex Schreibweise und ich entschuldige mich für die fragen es ist mir etwas unangenehm das ich das nicht so ganz verstehe

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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1235
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Wir setzen einfach \(c_i= \frac{1}{\mu(A_i)} \int\limits_{A_i} X ~d\mu\), falls \(\mu(A_i)>0\) und
\(c_i=0\), falls \(\mu(A_i)=0\). Und schwupp, \(Y\) hat die angegebene Form.

Du darfst \(Y\) so darstellen, weil es geht. Und daher weißt du, dass in der Tat \(Y\) eine einfache Funktion ist.

\(A_i\) selbst sind keine Sigma-Algebren. Sie sind Elemente einer Sigma-Algebra, nämlich von \(\mathcal{G}\).

Zu \(Y^{-1}(B)\): Über welche Indizes genau musst du denn die \(A_i\) vereinigen, damit \(Y^{-1}(B)\) rauskommt (das habe ich dir eigentlich ja schon verraten)?

PS: Klick ruhig mal bei meinen Beiträgen (oder auch Beiträgen von anderen Mitgliedern) auf Quote, dann kannst du sehen, wie manche Latex-Befehle geschrieben werden können
\(\endgroup\)


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Beame
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2018
Mitteilungen: 6
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Ich bin gerade etwas verwirrt >.<
Warum betrachte ich denn nun die zwei fälle was bringt es mir denn für die messbarkeit beziehungsweise möchte ich denn darüber auf das Urbild kommen?
Da ich dann die menge über das urbild darstellen kann als \(ci<x\) für alle \(x \in R\) ?
Und ci ist dann messbar weil X messbar ist aber ich weiss doch garnicht ob die Mengen Ai messbar sind >.<
Und wie sieht dann dann nun das urbild aus.. lag ich falsch ?
Zu deiner frage: Wir gehen über die indizes ci in B

Ps: es tut mir leid falls ich mich gerade etwas dumm anstelle
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1235
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Das bringt dir deshalb was, weil du so \(Y\) als einfache Funktion darstellen kannst.

\(c_i\) sind nicht messbar oder sonst was, es sind reelle Konstanten, nichts weiter.
Die Messbarkeit bzw. Integrierbarkeit von \(X\) wird hier nur benötigt, um das Integral über \(X\) bilden zu können. das steckt dann in den Konstanten \(c_i\) drin, da brauchst du dir keine weiteren Gedanken zu machen.

Die \(A_i\) sind nach Konstruktion der Sigma-Algebra \( \mathcal{G} \) offensichtlich \( \mathcal{G} \)-messbar.

Mach dir bitte noch mal genau klar, was ein Urbild eigentlich genau ist (nicht nur die Definition, sondern auch was es bedeutet). Dann mach dir klar, dass \(Y\) lediglich die Werte \(c_i\) annimmt.

Ich mach dir mal ein Beispiel vor, dann wird es hoffentlich klarer:
Sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\),
\(f(x)=-5\) für \(x<0\), \(f(x)=3\) für \(0 \leq x \leq 11\), \(f(x)= -1\) für \(x>11\). Also eine einfache Funktion wie oben.
Wir bestimmen das Urbild unter \(f\) von der Menge \(B= \{x \in \mathbb{R}; ~ -4<y \leq 5 \}=(-4,5]\)
Wir müssen also berechnen:
\(f^{-1}(B)= \{x \in \mathbb{R}: ~f(x) \in (-4,5] \}\).
D.h. alle \(x \in \mathbb{R}\), sodass \(f(x)\) zwischen \(-4\) und einschließlich \(5\) landet.
Nach Definition der Funktion \(f\) ist das gerade der Fall, wenn \(f(x)=3\) oder \(f(x)=-1\) gilt. Denn \(3\) und \(-1\) sind die einzigen Werte, die \(f\) annimmt und in \(B\) liegen. Dies gilt nach Definition gerade dann, wenn \(0 \leq x \leq 11 \) oder \(x>11\) gilt. Für \(x<0\) ist \(f(x)=-5 \notin (-4,5]\).
Also ist \(f^{-1}(B)= [0, \infty)\)

Hier in diesem Beispiel sind
\(A_1= (-\infty, 0)\), \(A_2=[0,11]\), \(A_3=(11, \infty)\) sowie \(c_1=-5\), \(c_2=3\) und \(c_3=-1\).
Weil \(c_2\) und \(c_3\) in \(B\) liegen, \(c_1\) aber nicht, ist also \(J=\{2,3\} \subset \{1,2,3 \}=I\), also
\( f^{-1}(B)= \bigcup_{i \in J} A_i= \bigcup_{i \in \{2,3\}} A_i = A_2 \cup A_3\)
\(\endgroup\)


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Beame
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Bei deinem beispiel ist mir noch nicht klar warum dann
\[ f^-1(B)=[0,\inf) sei\]
Ich versuche es mal an meiner aufgabe nochmal
Es sie \(Y:\Omega->\IR \) gegeben durch $Y(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i*1_{A_i})$ für alle \(a_i \in \IR\) mit \(a_i=\cases(1/(\mu(A_i))* \int\limits_{A_i} X ~d\mu,\mu A_i>0;0,\text{sonst})\)
Sei nun B in F dann gilt
\(Y^-1(B)= {\omega \in \Omega | Y(\omega) \in B} \)= UA_i für jedes \(J\subset\ I \) mit \(J={ i\in I | \mu(A_i)>0\text{ und } a_i \in B}\)
\(\endgroup\)


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Beame
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


Ich habe nun verstanden, warum wir die konstante ci so darstellen können aber ich hänge noch dabei  warum das urbild gerade so auszusehen hat und diese dann messbar ist
Kann es sein dass die sigma algebra durch die Urbilder erzeugt werden die nur endlich viele werte annehmen

Nimmt es mir bitte nicht übel aber ich hätte die aufgabe nicht lösen müssen wenn mein Partner nicht aufgegeben hätte
Ich sitze jetzt alleine an den aufgaben und habe alles andere bearbeitet  bis auf die Aufgabe um diese Morgen abgeben zu können



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1235
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Keine Sorge, ich nehme es dir nicht übel :)

Du meinst wohl \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) statt \(B \in \mathcal{F}\).

Ich hab mich am Ende ein wenig vertan, ich meine natürlich, dass \(c_2\) und \(c_3\) in \(B\) liegen und \(c_1\) nicht, habs oben korrigiert. Dann sollte auch klar sein, warum \(f^{-1}(B)=[0,\infty)\) ist.

Ne, die Sigma-Algebra wird nicht durch Urbilder erzeugt, die nur endlich viele Werte annehmen (was soll das bedeuten?), die Sigma-ALgebra \(\mathcal{G}\) wird erzeugt von den Mengen \(A_i\), das sind erstmal einfach nur irgendwelche disjunkten Mengen.

Nun, was dir aus dem Beispiel klar geworden sein sollte, ist folgendes:
Um \(Y^{-1}(B)\) zu bestimmen, müssen wir gerade die \(\omega \in \Omega\) bestimmen, für die \(Y(\omega) \in B\) gilt.
\(Y\) nimmt genau die Werte \(c_i\), \(i \in I\), an. D.h. wir müssen gucken, für welche Indizes \(i\) die Werte \(c_i\) in \(B\) liegen. Dafür definiere ich mir die (kleinere Indexmenge) \(J:= \{i \in I: ~c_i \in B \}\). So gilt ja gerade \(c_i \in B\), falls \(i \in J\) sowie \(c_i \notin B\), falls \(i \in I \setminus J\).

Jetzt ist doch klar, dass gerade die \(\omega \in \Omega\) in \(Y^{-1}(B)\) liegen, für die \(Y(\omega)=c_i \) für ein \(i \in J\) gilt (denn genau dann ist ja \(Y(\omega) \in B\)). Das sind aber doch genau die \(\omega \in \Omega\), für die \(\omega \in A_i\) für ein \(i \in J\) gilt.
D.h. dies sind genau die \(\omega\), für die \(\omega \in \bigcup_{i \in J} A_i\) gilt.
D.h. \(Y^{-1}(B)= \bigcup_{i \in J} A_i\).

Was nützt uns das jetzt?
Wir wollten ja zeigen, dass \(Y\) \(\mathcal{G}\)-\(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)-messbar ist. Das heißt man muss für eine Menge \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) zeigen, dass \(Y^{-1}(B) \in \mathcal{G}\) liegt.
Aber \(\mathcal{G}\) wird ja gerade durch die Mengen \(A_i\) erzeugt, das heißt doch insbesondere, dass \(A_i \in \mathcal{G}\) für alle \(i \in I\) gilt. Da Sigma-Algebren abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen sind (d.h. abzählbare Vereinigungen von Elementen aus der Sigma-Algebra liegen wieder in dieser sigma-Algebra), liegt insbesondere auch \( Y^{-1}(B)= \bigcup_{i \in J} A_i \in \mathcal{G}\). Und das war zu zeigen.
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Beame
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

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Ich hab da noch eine  frage undzwar warum ist das denn klar beziehungsweise habe ich es richtig verstanden dadurch dass Y(w)=ci ist und ci in B liegt gilt auch Y(w) in B und jetzt mal doof ausgedrüclt wenn wir das urbild betrachten gilt ja dann w in Y^-1(B).


Jetzt ist doch klar, dass gerade die \(\omega \in \Omega\) in \(Y^{-1}(B)\) liegen, für die \(Y(\omega)=c_i \) für ein \(i \in J\) gilt (denn genau dann ist ja \(Y(\omega) \in B\)). Das sind aber doch genau die \(\omega \in \Omega\), für die \(\omega \in A_i\) für ein \(i \in J\) gilt.

Ps: vielen Dank für deine Geduld, Hilfe und das Beispiel das hat mir echt weiter geholfen :)
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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-04-19

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Ja klar, wenn \(Y(\omega)=c_i \in B\), dann ist auch \(Y(\omega) \in B\). \(Y(\omega)\) und \(c_i\) sind ja gleich. Wenn also das eine ein Element von \(B\) ist, dann auch das andere (wie gesagt, sie beschreiben ja genau das gleiche)

Ja, das Urbild \(Y^{-1}(B)\) ist eine Teilmenge von \(\Omega\), da liegen also klein \(\omega\) drin :)
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