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Lineare Algebra » Vektorräume » Dimension von affinen Unterräumen unter affinen Abbildungen
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Autor
Universität/Hochschule J Dimension von affinen Unterräumen unter affinen Abbildungen
BenBo
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.11.2013
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Aus: Heidelberg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-23

\(\begingroup\)
Hallo,

ich verstehe die Gültigkeit nachfolgender Aussage leider nicht.

Sei \(Y\) ein affiner Unterraum von \(X\) und \(f\colon X \to X'\) eine affine Abbildung, dann gilt \(\dim f(Y) \leq \dim Y \).

Eine Abbildung ist affin, wenn es ein Punkt \(P \in X\) gibt und ein \( \varphi \in \operatorname{Hom}_K(T(X),T(X'))\) existiert derart, dass gilt \(f(P \oplus \vec v) = f(P) \oplus \varphi(\vec v) \quad \forall \vec v \in T(X)\), wobei \(T(X) \) der Translationsvektorraum des affinen Raums X ist.

Wieso gilt jetzt \(\dim f(T(Y)) \leq \dim T(Y)\)?
Aus \(\varphi \in \operatorname{Hom}_K(T(X),T(X'))\) folgt die Behauptung ja nicht, da es ja lineare Abbildung gibt mit \(g\colon K^n \to K^m\) mit \(n < m\).

Folgt die Behauptung aus der Definition des affinen Unterraums?
\(\endgroup\)


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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 10:11 - BenBo im Themenstart schreibt:
Aus \(\varphi \in \operatorname{Hom}_K(T(X),T(X'))\) folgt die Behauptung ja nicht, da es ja lineare Abbildung gibt mit \(g\colon K^n \to K^m\) mit \(n < m\).
Die sind dann aber nicht surjektiv.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗
\(\endgroup\)


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BenBo
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Aus: Heidelberg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23 22:12

\(\begingroup\)
Ich verstehe nicht warum der Vektorraumhomomorphismus \(\operatorname{Hom}_K(T(Y),T(Y'))\) surjektiv sein muss?
\(\endgroup\)


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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-24 17:14


Du behauptest, dass man zum Beweis der Aussage nicht über die zugeordnete lineare Abbildung gehen könne, weil die entsprechende Aussage für lineare Abbildungen nicht gelte. Aber du hast diese überhaupt nicht richtig formuliert, denn es wird ja eine Relation zwischen den Dimensionen eines Unterraums Y und des Bildes von Y behauptet, nicht zwischen dem Definitionsbereich und dem Zielbereich (dessen Dimension völlig irrelevant ist, außer Y ist der Definitionsbereich und die Abbildung ist surjektiv.)



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BenBo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24 19:29


okay, vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden



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