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Universität/Hochschule Beweis Halbordnung
Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-13 12:17


Hallo Leute,

Ich habe eine Frage beim Beweisen des folgenden Satzes:

fed-Code einblenden

Ich muss hier also die Eigenschaften Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität zeigen.

Beweis:

fed-Code einblenden


Würde dieser Beweis ausreichen? Oder müssen ein paar Einzelheiten ergänzt werden?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Beste Grüße



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-16 16:38


Hallo Trueone,

du hast zwar schon das Thema abgehakt, ich möchte dennoch etwas schreiben. Dein Beweis zur Antisymmetrie ist so nicht richtig.

Antisymmetrie ist die Aussauge: <math>\displaystyle \forall x,y\in A: xHy\wedge yHx\Longrightarrow x=y</math>.

Anstatt das zu zeigen, zeigst Du aber nur, dass <math>\displaystyle {id}_A</math> antisymmetrisch ist, das reicht aber nicht.

Es gibt hier zwei Möglichkeiten:

1. Seien <math>\displaystyle x,y\in A</math> mit <math>\displaystyle xHy</math> und <math>\displaystyle yHx</math>. Dann [Fallunterscheidung...]

2. Überlege Dir (und zeige), dass folgendes gilt: Seien R und R' antisymmetrische Relationen auf A, dann ist auch <math>\displaystyle R\cup R'</math> antisymmetrisch. Überlege Dir dann, dass S (!) und <math>\displaystyle {id}_A</math> antisymmetrisch sind.

Die Beweise zur Reflexivität und Transitivität sehen gut aus.

Gruß
BlakkCube


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'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17 10:57


Danke für die Antwort.

Ich versuche mal die 2 Möglichkeit:

fed-Code einblenden


(3) Zur Transitivität.

Mir kam da folgender Gedanke: S und id_A sind ja transitiv. Aber muss dann die Vereinigung auch zwingend transitiv sein?



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-17 11:40

\(\begingroup\)
Hallo Trueone,

\(A\Longrightarrow B\) heißt nicht "A, wobei B", sondern "wenn A, dann B". Das ist ein wichtiger Unterschied!

Ich muss aber gestehen, dass meine Überlegung falsch ist: Sind R und R' antisymmetrisch, dann ist i.A. \(R\cup R'\) nicht antisymmetisch:

Betrachte \(A=\mathbb{N}\) und R die Relation < und R' die Relation >. Dann sind R und R' asymmetrisch, also insbesondere antisymmetrisch. Es ist ferner \(R\cup R'\) die Relation \(\neq\), denn: \[(x,y)\in R\cup R' \Leftrightarrow x<y \vee x>y \Leftrightarrow x\neq y \] Aber aus \(x\neq y\) und \(y\neq x\) folgt nicht \(x=y\).

Möglichkeit 2 scheidet daher leider aus. Mit Fallunterscheidung kommt man aber im Spezialfall \(H=S\cup {id}_A\) weiter.

2018-05-17 10:57 - Trueone in Beitrag No. 2 schreibt:
(3) Zur Transitivität.

Mir kam da folgender Gedanke: S und id_A sind ja transitiv. Aber muss dann die Vereinigung auch zwingend transitiv sein?

Mein obiges Beispiel zeigt auch: Sind R und R' transitiv, dann muss \(R\cup R'\) nicht zwingend transitiv sein:
Es ist 1<2 und 2>1, also \( (1,2),(2,1)\in R\cup R'\). Mit Transitivität folgte \( (1,1) \in R\cup R'\), also \( 1\neq 1\). Widerspruch.

Anmerkung
Mich hat die Frage umgebtrieben, wann auch \(R\cup R'\) antisymmetrisch sind. Es gilt:
Seien R und R' antisymmetrische Relationen auf A. Dann ist \(R\cup R'\) genau dann antisymmetrisch, wenn \(R^{-1}\cap R' \subseteq {id}_A\). Hierbei ist \((x,y)\in R^{-1} :\Leftrightarrow (y,x)\in R\).


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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17 14:53

\(\begingroup\)

Möglichkeit 2 scheidet daher leider aus. Mit Fallunterscheidung kommt man aber im Spezialfall \(H=S\cup {id}_A\) weiter.


Wie muss man bei so einer Fallunterscheidung denn vorgehen? Welche Fälle muss man z.B bei Antisymmetrie angeben?
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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-17 17:20

\(\begingroup\)
Naja, Du möchtest zeigen: Seien \(x,y\in A\) so, dass \(xHy\) und \(yHx\) gilt. Zu zeigen: x=y. Da \(H=S\cup {id}_A\) heißt \(xHy\) gerade \(xSy\) oder \((x,y)\in {id}_A\). Also sind formal 4 Fälle zu unterscheiden.

1. Fall \((x,y)\in S\) und \((y,x)\in S\)
2. Fall \((x,y)\in S\) und \((y,x)\in {id}_A\)
3. Fall \((x,y)\in {id}_A\) und \((y,x)\in S\)
4. Fall \((x,y)\in {id}_A\) und \((y,x)\in {id}_A\)



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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17 19:44

\(\begingroup\)
2018-05-17 17:20 - BlakkCube in Beitrag No. 5 schreibt:
Naja, Du möchtest zeigen: Seien \(x,y\in A\) so, dass \(xHy\) und \(yHx\) gilt. Zu zeigen: x=y. Da \(H=S\cup {id}_A\) heißt \(xHy\) gerade \(xSy\) oder \((x,y)\in {id}_A\). Also sind formal 4 Fälle zu unterscheiden.

1. Fall \((x,y)\in S\) und \((y,x)\in S\)

fed-Code einblenden


2. Fall \((x,y)\in S\) und \((y,x)\in {id}_A\)


fed-Code einblenden


3. Fall \((x,y)\in {id}_A\) und \((y,x)\in S\)


fed-Code einblenden


4. Fall \((x,y)\in {id}_A\) und \((y,x)\in {id}_A\)

fed-Code einblenden

Bin irgendwie total unsicher...
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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-17 20:35

\(\begingroup\)
Woher rührt die Unsicherheit? Das sieht doch gut aus, wenn Du im 1. Fall dazu schreibst, dass wegen \((y,x)\notin S\) die Implikation \(xSy\wedge ySx\Longrightarrow x=y \) wahr ist, weil die Prämisse falsch ist.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17 20:45

\(\begingroup\)
2018-05-17 20:35 - BlakkCube in Beitrag No. 7 schreibt:
Woher rührt die Unsicherheit? Das sieht doch gut aus, wenn Du im 1. Fall dazu schreibst, dass wegen \((y,x)\notin S\) die Implikation \(xSy\wedge ySx\Longrightarrow x=y \) wahr ist, weil die Prämisse falsch ist.

Oh, das hätte ich jetzt nicht erwartet :)

Jetzt bleibt nur noch die Transitivität. Dann müssten es ja die gleichen 4 Fälle sein oder?
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-18 15:33

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2018-05-17 20:45 - Trueone in Beitrag No. 8 schreibt:
Jetzt bleibt nur noch die Transitivität. Dann müssten es ja die gleichen 4 Fälle sein oder?

So sieht es aus. Im Beitrag No. 0 hast du tatsächlich nur zwei Fälle behandelt. Du kannst das schon so aufschreiben, wie im Themenstart, aber dann musst Du es auch komplett auflösen:

\[((x,y)\in S \vee (x,y)\in {id}_A)\wedge((y,z)\in S \vee (y,z)\in {id}_A) \Leftrightarrow ((x,y)\in S \wedge (y,z) \in S)\vee((x,y)\in S \wedge (y,z) \in {id}_A)\vee((x,y)\in {id}_A \wedge (y,z) \in S)\vee((x,y)\in {id}_A \wedge (y,z) \in {id}_A)\]
Hier sieht man dann auch, welche 4 Fälle behandelt werden müssen.


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Ich hab es mal versucht.

fed-Code einblenden

Bei Fall 2 und Fall 3 bin ich mir allerdings nicht sicher ob es ausreicht



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Trueone hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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