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   Konvergenz von uneigentlichen Integralen |
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Mathematica87
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 |      Themenstart: 2008-04-07 11:39
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Ich habe mal eine generelle Frage zur Konvergen von uneigentlichen Integralen:
Wenn man ein uneigentliches Integral integriert, muss man ja den Grenzwert des Integrals berechnen und ersetzt die Unstetigkeitstelle, bzw. +/-unendlich durch eine Konstante.
Oftmals kann man das Integral nicht sofort bzw. mittels Substitution oder partieller Integration berechnen. Dafür würde man dann das Minoranten- oder Majorantenkriterium benutzen.
Meine Frage lautet: Woher weiß ich bei einem uneiegntlichen Integral von vorne herein, ob es konvergiert oder divergiert? Denn ich muss ja wissen, in welche Richtung ich abschätze.
Vielen Dank im Voraus für eure Antworten!
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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 7381
Aus: Sankt Augustin NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2008-04-07 12:39
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Hallo
Du kannst das genausowenig wie bei Konvergenz oder Divergenz einer Reihe direkt sehen. Erfahrung hilft! Wie bei Reihen ist das erste Kriterium, dass der Integrand gegen 0 gehen muss, wie bei Reihen die Summanden ne Nullfolge bilden müssen.
Oft kann man das Integral als Summe von Teilintegralen auffassen und dann mit Reihenkonvergenz oder div. arbeiten. sonst bleibt dir eben nichts übrig als ne majorante oder Minorante zu finden.
Wenn mans direkt sehen könnte, wären das ja keine problematischen Aufgaben.
Die profs verheimlichen dir i.A. keine Patentlösungen, wenn es sie gibt!
bis dann lula
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Luke
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Dabei seit: 19.10.2006
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Aus: Hannover
 | Beitrag No.2, eingetragen 2008-04-07 12:56
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hallo,
Wenn man ein uneigentliches Integral integriert, muss man ja den Grenzwert des Integrals berechnen und ersetzt die Unstetigkeitstelle, bzw. +/-unendlich durch eine Konstante.
zunaechst mal: man integriert keine intergrale. integrale sind zahlen. das integral ist das was beim integrieren rauskommt.
Oftmals kann man das Integral nicht sofort bzw. mittels Substitution oder partieller Integration berechnen. Dafür würde man dann das Minoranten- oder Majorantenkriterium benutzen.
die letztgenannten kriterien, dienen nur dazu, aussagen darueber zu machen, ob das ganze existiert, wenn man es schon nicht symbolisch integrieren kann, d.h. eine einfache stammfunktion angeben kann. das hat sonst nichts miteinander zu tun. das sind zwei verschiedene zwecke.
und ersetzt die Unstetigkeitstelle, bzw. +/-unendlich durch eine Konstante.
nicht so richtig.
das riemann-integral ist erst mal nur fuer funktionen auf kompakten intervallen definiert. wenn man dann eine folge von kompakten intervallen finden kann die gegen die gesuchte menge konvergiert, ueber die man dann integrieren will (z.b. unbeschraenkte intervalle), dann guckt man sich an ob der limes der integrale irgendwie konvergiert. das ist dann das uneigentliche integral.
  
\ z.b. bei der funktion f(x) = 1/sqrt(x) und das intervall intervall(0,1) man kann nun problemlos fuer jedes \eps > 0 ueber das intervall(\eps, 1) intergrieren. danach macht man den grenzuebergang \eps -> 0. anderes beispiel: die funktion f(x) = exp(-x) und das intervall intervall(0, \inf) fuer jedes R > 0 kann man das ganze auf intervall(0, R) integrieren. R -> \inf liefert das uneigentliche integral. was du da von unstetigkeitsstellen erzaehlst, kann ich nicht nachvollziehen.
Meine Frage lautet: Woher weiß ich bei einem uneiegntlichen Integral von vorne herein, ob es konvergiert oder divergiert? Denn ich muss ja wissen, in welche Richtung ich abschätze.
mit erfahrung kann man schon vorher etwas vermuten. genau das ist die kunst: vermutung aufstellen. und beim abschaetzen braucht man erfahrung.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Luke
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Dabei seit: 19.10.2006
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Aus: Hannover
| Beitrag No.3, eingetragen 2008-04-07 12:57
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Wie bei Reihen ist das erste Kriterium, dass der Integrand gegen 0 gehen muss, wie bei Reihen die Summanden ne Nullfolge bilden müssen.
hallo, das stimmt nicht. es gibt bekannte beispiele. ueberleg mal.
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 7381
Aus: Sankt Augustin NRW
| Beitrag No.4, eingetragen 2008-04-07 13:17
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Hallo Luke
Ich versteh nicht, was du meinst. Wahrscheinlich kann ich schlechter denken als du. Bitte hilf mir auf die Sprünge.
Danke , bis dann lula
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Luke
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Dabei seit: 19.10.2006
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Aus: Hannover
| Beitrag No.5, eingetragen 2008-04-07 13:23
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hallo,
das grundprinzip: spitzen.
\ man hat z.b. eine funktion die so aussieht: in einer bestimmten umgebung von x = k, k \in \IN hat die funktion eine spitze mit flaeche (1/2)^k, die sich nicht gegenseitig ueberschneiden. dazwischen ist die funktion 0. das integral ist nun offensichtlich 2. bekannt sind auch die fresnel-intergrale (google).
erst wenn man fordert, dass die ableitung auch gegen 0 geht, kann man sowas ausschliessen.
[ Nachricht wurde editiert von Luke am 07.04.2008 13:24:04 ]
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
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Aus: Sankt Augustin NRW
| Beitrag No.6, eingetragen 2008-04-07 14:45
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Hallo Luke
Danke für die erinnerung
bis dann lula
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