abs(\phi n_k - 2\pi m) < \epsilon

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Wenn man es für alle \phi zeigen soll, ist die spezielle Wahl von 2\pi unnütz, denn
abs(\phi n_k - 2\pi m) < \epsilon <=> abs(n_k - 2\pi/\phi m) < \epsilon/\phi
Das ist identisch mit der Forderung
abs(n_k - x*m) < \epsilon
für beliebige x. m darf hier eigentlich nicht fest vorgegeben sein, denn sonst ist ja auch x*m fest.

Ich nehme jetzt also mal an, dass zwei (natürliche) Zahlenfolgen n_k und m_k gesucht sind mit
abs(n_k - x*m_k) < \epsilon
für alle \epsilon > 0. Das kann man so lösen: Hat man zwei Zahlen n_k und m_k gefunden mit
n_k - x*m_k = \epsilon,
dann gilt
n_k*z - 1 - x*m_k*z <= \epsilon/2
entweder mit z := floor(1/\epsilon) oder z := ceil(1/\epsilon).
Dann bekommt man n_(k+1) = n_k*z - 1 und m_(k+1) = m_k*z.

Ich habe das mal durchgerechnet für die ersten paar Schritte (Ich habe x = \pi gewählt und mit n_1 = 22, m_1 = 7 gerechnet)
Allerdings ist es nach einigen Schritten divergiert. Über den Grund
bin ich mir unklar, auch, weil ich den Schritt von k nach k+1
nicht nachvollziehen konnte.

Was mir aber aufgefallen ist:
n_k und m_k sollten als Bruch n_k / m_k möglichst genau x annähern.
Das ist ja grundsätzlich immer möglich. Allerdings muss der Bruch
''optimal'' gewählt werden, d.h. der Nenner sollte nicht größer als nötig sein für ein bestimmte Präzision.
Mir scheint, dass die Kettenbruchentwicklung von x zum Ziel führen
könnte.

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Ich hätte wohl \pm 1 schreiben sollen, abhängig vom Vorzeichen. Ich rechne mal die ersten Schritte vor:

22 - \pi*7 = 8.85*10^(-3) (= \epsilon)
=> 1/\epsilon = 112.976... => z = 113

Also
22*113 - \pi*7*113 = 1.000211
bzw. 22*113 - 1 - \pi*7*113 = 2.11*10^(-4)

Jetzt geht es weiter:
2485 - \pi*791 = 2.11*10^(-4) (= \epsilon)
=> 1/\epsilon = 4739.101... => z = 4739

Also
2485*4739 - \pi*791*4739 = 0.9999786...
bzw. 2485*4739 - 1 - \pi*791*4739 = -2.14*10^(-5)

Nächster Schritt:
11776414 - \pi*3748549 = -2.14*10^(-5) (= \epsilon)
=> 1/\epsilon = -46803.65... => z = 46804

Also
11776414*46804 - \pi*3748549*46804 = -1.00000744
bzw. 11776414*46804 + 1 - \pi*3748549*46804 = -7.44*10^(-6)

und damit gilt
551183280857 - \pi*175447087396 = -7.44*10^(-6)
usw. Das Prinzip sollte klar sein.


Ich glaube, mit der Kettenbruchentwicklung kommt man hier nicht zum Ziel. Diese liefert nur einen Näherungsbruch a/b mit der Eigenschaft, dass keine bessere Näherung a'/b' existiert mit b' < b. Über die Güte der Näherung wird damit aber nichts gesagt.