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  Vollständige Induktion x^(n*m)=(x^n)^m |
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3komma14
Aktiv 
Dabei seit: 25.09.2008
Mitteilungen: 36
Aus: berlin
 |      Themenstart: 2008-11-19 18:47
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Hallo ich muss die im Titel genannte Gleichung x^nm=(x^n)^m mit n,m E N und x E R per vollständiger Induktion beweisen. Ich habe den folgenden Ansatz:
  
IA: x^1*m = (x^1)^m ist offensichtlich richtig. IV: x^nm = (x^n)^m n,m\el\ \IN x\el\ \IR IS: x^((n+1)*m) = x^(nm+m) = x^nm x^m = (x^n)^m x^m
Leider komme ich damit nicht zum gewünschten ergebnis.
Ausserdem muss ich die Gleichung noch für n,m E R beweisen. Dafür fehlt mir allerdings jeglicher Anstatz.
Danke schon mal für ein paar Tipps.
pi
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Undertaker
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Dabei seit: 17.10.2006
Mitteilungen: 1126
Aus:
| Beitrag No.1, eingetragen 2008-11-19 20:19
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 34707
Aus: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2008-11-19 20:21
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2008-11-19 18:47 - 3komma14 im Themenstart schreibt:
1. Leider komme ich damit nicht zum gewünschten ergebnis.
2. Ausserdem muss ich die Gleichung noch für n,m E R beweisen.
Hi 3,14,
1. Dann mache Induktion nach m, das klappt.
2. Es muß dann x > 0 angenommen werden.
Der Beweis erfolgt in drei Schritten:
a) Beweis für alle ganzen Zahlen.
b) Beweis für die rationalen Zahlen.
c) Beweis für reelle Zahlen.
Einzelheiten der Beweise bei b) und c) hängen sehr stark davon ab, wie die Potenz xn für x > 0 definiert ist, es gibt dafür mindestens drei verschiedene Möglichkeiten.
Was man bei c) in jedem Fall tun muß, ist, die Stetigkeit der Potenzfunktion zu beweisen. Bei manchen Definitionen der Potenz ist das leichter, bei anderen schwieriger.
Bei b) muß man mehrmals davon Gebrauch machen, daß x < y genau dann gilt, wenn xn < yn, wobei x, y > 0 und n ≥ 1 eine ganze Zahl ist.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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3komma14
Aktiv 
Dabei seit: 25.09.2008
Mitteilungen: 36
Aus: berlin
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2008-11-19 20:37
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danke,
zu1.
kann ich einfach n+1 einsetzen aber am ende das ganze für m+1 umformen?
zu2.
a) für alle ganzen zahlen >0 hab ich es ja schon also muss das ganze dann ja nur noch für alle ganzen zahlen <0 tun. Geht das auch mit vollständiger induktion? oder kann ich mit der nur zeigen das wenn es für das kleinste gilt und für n+1 gilt das es dann allgemein gilt. also nicht auch wenn es für das größte und für n-1 gilt ist es richtig?
b+c) So wirklich eingeführt wird die Potenz im skript nirgendwo, es wird nur recht früh gesagt das x^2=x*x. Die Potenz mit einem beliebigem exponenten taucht dann bei der bernoulli ungleichung auf, wird aber nirgendwo wirklich definiert.
Und was die für c scheinbar notwendige stetigkeit der Potenzfunktion angeht, wir hatten noch keine stetigkeit.
gibt es villeicht einen anderen weg? irgendwelche umformungen?
edit
mir ist gerade aufgefallen das ich das ganze nicht für n,m E R sondern n,m E Q beweisen muss. Sorry für den fehler.
[ Nachricht wurde editiert von 3komma14 am 19.11.2008 20:53:41 ]
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