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Hallo!

Ich versuche gerade den Abelschen Satz zu verstehen:

Der Grenzwertsatz von Abel:

Die Potenzreihe sum(a_k x^k , k=0,\inf) habe den Konvergenzradius r>0 und sei auch für x=r konvergent. Dann ist die Reihe im Abgeschlossenen Intervall [0,r] gleichmäßig konvergent. Die Funktion f(x):=sum(a_k x^k , k=0,\inf) ist dann stetig und es gilt: lim(x->r,f(x))=f(r)=sum(a_k r^k , k=0,\inf)

Ich versuche gerade zu versthe, was mir der Satz sagen will:

Also, man hat eine Potenzreihe gegeben und diese soll dann auch auf dem Rand des Konvergenradis konvergent sein.
Also wenn ich mir nun meine Potenzreihe nehme und den Grenzwert bilde, dann erhalte ich eine funktion f(r), hmmm..

Ich kann mit diesem Saz irgentwie nichts afangen, kann da jemand helfen?

Grüße

Drop

Du missverstehst da etwas: f(r) ist keine Funktion, sondern f(r). \(Wer hätte es gedacht\)
Das ist eine reelle Zahl, nämlich genau die, die danach steht: Der Wert der Potenzreihe, wenn man x=r einsetzt. Eben f(r)... f ausgewertet an der Stelle r.

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Achso, ja gut, wenn man das so sieht;)

Aber wozu ist der Satz da, ich meine, ja gut es ist der Wert der Potenzreihe an der Stelle r und weiter....

Ich habe hier ein Beispiel:

Sei ln(1+x)=sum((-1)^n x^(n+1) / (n+1) , n=0,\inf)


Formel:
Es ergibt mit für x=1,
ln(2)=sum((-1)^n/ (n+1) , n=0,\inf)

Dann ist die Frage in meinem Skript:
Darf mann x=1 in die Potenzreihe einsetzen? Der konvergenzradius von 
sum((-1)^n x^(n+1) / (n+1) , n=0,\inf) ist 1.

Und nu benutzt man den Grenzwert von Abel und sagt:

Da sum((-1)^n/ (n+1) , n=0,\inf) existiert, kann dieser Satz angewandt werden, und es folgt:

sum((-1)^n/ (n+1) , n=0,\inf)= lim(x->1,(-1)^n x^(n+1)/(n+1))=lim(x->1,ln(1+x))

Alo ich meine was erreiche ich damit, im grundegenommen ist es doch einfach, ich werte die Funktion an einer stelle aus, oder nicht?! Warum, dann so umständlich, setze doch gleich die Eins oder die Stelle, an der ich die meine Funktion betrachte.

Drop



 

Ohne den Satz von Abel kannst du die Funktion f(x) nur innerhalb__ des Konvergenzradius als sum(a_k*x^k,k) darstellen. Selbst wenn du f stetig auf den Rand des Konvergenzkreises fortsetzen kannst, weißt du nicht, ob diese Darstellung dort immer noch gültig ist.
Es kann doch sein, dass es zwar einen Grenzwert gibt, aber die Reihenentwicklung nicht mehr gilt. Simples Beispiel: f(x)=sum(1*x^k,k=0,\inf). Für abs(x)<1 ist das die Funktion 1/(1-x). Die kann man natürlich stetig auf den Randpunkt x=-1 fortsetzen \(sogar auf \IC\\\{1\}\). Außerhalb von abs(x)<1 ist die Reihenentwicklung für f aber nicht mehr gültig, da die Reihe dann eben gar nicht mehr konvergiert.

Wer in Analysis ein bisschen aufgepasst hat, weiß, dass es in vielen Fällen Gegenbeispiel gibt, wenn es um allzu großzügige Folgerungen aus den verschiedenen Konvergenzen gibt. Also könnte man vermuten, dass auch bei Potenzreihen ein solcher Fall vorliegt: Es wäre a priori zumindest denkbar, dass es eine Potenzreihe gibt, die zwar auf dem Rand konvergiert, dort aber den ''falschen'' Wert liefert, weil das keine stetige Fortsetzung aus dem Inneren wäre.

Der Satz von Abel erlaubt es dir jetzt, die Reihenentwicklung doch__ in Randpunkten zu nutzen, vorausgesetzt, dass sie überhaupt sinnvoll ist \(d.h. dass die Reihe konvergiert\).
Der Satz zeigt also wieder einmal, wie gutartig analytische Funktionen \(in diesem Fall Potenzreihen\) sind: Wenn es überhaupt sinnvoll ist, vom Wert der Reihe in Randpunkten zu sprechen, dann ist das auch das der ''richtige'' Wert.