mx^**=cx+kx^*

mx^**+cx+kx^*=A_F*cos v*t

mx^** +dx^*+ cx   = 0

 \big\ vec(m) .

\small\ \red\ Wobei dein anderer Thread komplexer war? Das hier steht doch eigentlich zu Beginn ?

mx^**=-cx-kx^*
 

 x(t)=Ae^(\lambda*t)+Be^(-\lambda*t) 

 an. 

x^** + d/m * x^* + c/m *x =0
\red\ \small\ Habe k zu d gemacht, da k oft für die Federsteifigkeit(-konstante) verwendet wird und nicht für den Dämpfungskoeffizienten.

\omega_0 ^2  = c/m und \delta = d/2m 
\small\ \red\ \delta = Abklingkonstante [ 1/s ] 

x(t) = B *e^\lambda^t
=> x^* = B \lambda *e^\lambda^t
=> x^** = B \lambda^2  *e^\lambda^t

x^**+d/m x^*+c/m x=0

dann mit \omega_0^2=c/m; \delta=d/2m :

x^**+2\delta x^*+\omega_0^2 x=0


dann mit x(t)=B*e^\lambda^t; x^*=B\lambda*e^\lambda^t; x^**=B\lambda^2*e^\lambda^t :

B\lambda^2*e^\lambda^t+2\delta*B\lambda*e^\lambda^t+\omega_0^2 x=0

herausheben von B*e^\lambda^t:

B*e^\lambda^t*(\lambda^2+s\delta\lambda)=\omega_0^2 x

B*e^\lambda^t \textrightarrow x(t)

x(t)=-\omega_0^2 x/\lambda(\lambda+2\delta)

B*e^\lambda^t*(\lambda^2+2\delta\lambda+\omega_0^2)!=0

daraus ergeben sich \lambda_1 und \lambda_2

somit kann ich dann in die formel:

x(t)=A*e^\lambda^t+B*e^ -\lambda^t

einsetzen. ist das soweit noch korrekt?

wie komme ich jetzt auf die randbedingungen um A und B festzulegen?

Mit dem Lösungsansatz
x(t)=C*\ee^(\lambda*t) $ $ \small\ (Ich habe hier 'B' durch 'C' ersetzt, um Verwechselungen mit dem späteren 'B' zu vermeiden.)
wird aus der DGL im ersten Fall ohne Störglied:
C*\ee^(\lambda*t)(\lambda^2+2\delta\lambda+\omega_0^2) \red\ =0
=> $ \lambda^2+2\delta\lambda+\omega_0^2=0
Berechne \lambda_1,2 als Funktion von \delta und \omega_0 mit den Fallunterscheidungen:
1.: $ \delta > \omega_0
2.: $ \delta = \omega_0
3.: $ \delta < \omega_0

Die allgemeine Lösung der DGL lautet dann:
x(t)=A*\ee^(\lambda_1*t)+B*\ee^(\lambda_2*t)
Die beiden Terme mit \ee^(\lambda_1,2*t) lassen sich noch zusammen fassen.

also wenn ich die gleichung

\lambda^2+2\delta\lambda+\omega_0^2

auflöse ergibt sich

-\delta+-sqrt(\delta^2-\omega_0^2)

\lambda_1=-\delta+sqrt(\delta^2-\omega_0^2)
\lambda_2=-\delta-sqrt(\delta^2-\omega_0^2)

somit wäre für die 3 fallunterscheidungen 

1. \delta>\omega_0

    \lambda_1= -\delta<\lambda<=\inf 
    \lambda_2= -\inf<=\lambda< -\delta 
     dies trifft zu bei \delta und \omega>0 ansonsten wird die wurzel negativ

2. \delta=\omega_0
    
    \lambda_1= -\delta
    \lambda_2= -\delta

3. \delta<\omega_0

    \lambda_1= wurzel wird negativ
    \lambda_2= wurzel wird negativ
     wenn beide werte positiv sind
     sind die werte negativ ist die gleichung wie bei 1. in einem wertebereich lösbar.

und jetz bin ich komplett verwirrt, oder habe ich die problemstellung des gleichungslösens falsch verstanden?
wie wird denn hier weiter vorgegangen?

Bei \delta>\omega_0 sind die Lösungen reell und immer kleiner Null. Es ergeben sich exponentiell abnehmende Bewegungen und keine Schwingungen.

Bei \delta<\omega_0 sind die Lösungen konjugiert komplex. Es ergeben sich gedämpfte harmonische Schwingungen.

\small\ (\ee^(-\delta+-\dsj\omega)t $ mit \dsj^2=-1 $ und $ \omega=sqrt(\omega_0^2-\delta^2)) 

-\delta+-sqrt(\delta^2-\omega_0^2)
<=> -\delta+-sqrt(\omega_0^2 - \delta^2 *(-1))
=> -\delta+- j sqrt(\omega_0^2 - \delta^2)

LG GrandPa

x(t)=C*\ee^(-\delta+-sqrt(\delta^2-\omega_0^2))t 

und im Fall 3. dank eurer erklärung

x(t)=C*\ee^(-\delta+-\dsj\omega)t $ mit \dsj^2=-1 $ und $ \omega=sqrt(\omega_0^2-\delta^2) 

Da es sich bei 2. um einen spezialfall (aperiodischer grenzfall?) handelt nehme ich nicht an, dass man einfach

x(t)=C*\ee^ -\delta*t

ansetzen kann oder? laut recherche wird hier noch D*t*\ee^ -\delta*t angehängt. woran liegt das?


sind diese drei unterschiedlichen fälle vergleichbar mit den in der angabe geforderten oder müssen die jetzt auch noch extra berechnet werden?

mx^**+cx+dx^*=F*cos\nue*t

mit 2\delta=d/m und \omega^2=c/m ergibt sich

x^**+2\delta x^*+\omega^2 x=(F*cos\nue*t)/m

des weiteren hab ich ein beispiel gefunden wo der autor x_0=F_0/c setzt und sich für ihn dann daraus ergibt:

x^**+2\delta x^*+\omega^2 x=\omega^2 x_0 cos \nue t

ich frage mich wie man auf die rechte seite dieser gleichung kommt, bzw wie man hjier weiter vorgeht. ist das dann analog zum vorigen beispiel indem man x^**, x^* und x ersetzt?

\delta^2 = \omega^2 =0 d.h. \delta = \omega 

=>\lambda_1 = \lambda_2


=> x = C * e^(- \delta*t)

(ungedämpft)

mx^**+cx = F*cos\Omega t oder wieder wie oben

x^**+c/m x = F/m *cos\Omega t

mit c/m = \omega_0 ^2

In diesem Beispiel lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
x_P=A cos(\nue*t)+B sin(\nue*t)
x^*_P=...
x^**_P=...
Durch Einsetzen in die gegebene DGL erhält man die Bestimmungsgleichungen für A und B.

x=A*cos(v*t)+B*sin(v*t)
x^*=v*[-A*sin(v*t)+B*cos(v*t)]
x^**=-v^2*[A*cos(v*t)+B*sin(v*t)

einsetzten in gegebene DGL:

-v^2*[A*cos(v*t)+B*sin(v*t)]+d/m *v*[-A*sin(v*t)+B*cos(v*t)]+
+c/m *A*cos(v*t)+B*sin(v*t)

ist das soweit noch richtig, oder habe ich hier einen fehler drin? bzw. wie bekommt man hieraus die bestimmungsgleichungen für A und B?

das lösen der homogenen DGL also wieder mx^**+dx^*+cx=0 müsste ja genau gleich wie bei Bsp 1 verlaufen oder? (inkl. der selben ergebnisse)

habe jetzt wie früher noch \omega^2 und 2*\delta eingesetzt

-v^2*[A*cos(v*t)+B*sin(v*t)]+2*\delta *v*[-A*sin(v*t)+B*cos(v*t)]+
+\omega^2 *A*cos(v*t)+B*sin(v*t)

hier kann man noch cos(v*t) und sin(v*t) herausheben:

cos(v*t)*[-v^2*A+2*\delta*v*B+\omega^2*A]+
+sin(v*t)*[-v^2*B-2*\delta*v*A+\omega^2*B]=F*cos(v*t)

hier bin ich dann mit meinem latein am ende. wie kann man das weiter lösen, bzw. wie kommt man hier auf A und B? 

wenn ich das richtig verstanden habe ist die lösung dann die bewegungsgleichung einer der 3 fälle aus Bsp1 plus dieser partikulären lösung oder?

Die unbestimmten Konstanten A und B der partikulären Lösung bekommt man durch einen Koeffizientenvergleich mit der Störfunktion S(t), die richtig lautet:
S(t)=F/m cos(\n\ t), d.h., ein sin\-Term tritt hier nicht auf.
Daraus ergeben sich zwei Bestimmungsgleichungen für A und B.

Und für \omega ist schon das in Beitrag 13 definierte \omega_0 einzusetzen.
\small (Das Quadrat der Eigen\-(Kreis)Frequenz \omega_0 des unbedämpften Systems ist \omega_0^2=c/m
\small und von der Eigen\-(Kreis)Frequenz \omega=sqrt(\omega_0^2-\d^2) des bedämpften Systems zu unterscheiden.) 

-v^2*A+2*\delta*v*B+c/m*A=F/m

bzw

-v^2*B-2*\delta*v*A+c/m*B=0

Die Gleichungen aufgrund des Koeffizientenvergleichs sind im Prinzip erstmal richtig. Aber das Vorzeichen des Terms
2*\delta*v*B
solltest Du nochmal überprüfen.

Alle Größen bis auf A und B sind gegeben bzw. als bekannt anzunehmen.
Du hast also zwei Unbekannte und zwei Gleichungen.
Ich nehme doch stark an, dass Du dieses lineare Gleichungssystem wirst lösen können.